第一章特殊平行四邊形專題1矩形、正方形中的四個常考模型數學九年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數學九年級上冊BS版01專題解讀◎問題綜述

幾何變換主要是平移、翻折、旋轉三大變換，它們最大的特征都是只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小.四邊形作為初中階段最核心的內容之一，逐漸被用來作為呈現知識和能力的載體.常見模型如下：1.折疊中的“十字架”模型.

如圖，在正方形ABCD中，EG⊥FH，則有EG＝FH.

2.旋轉中的“手拉手”模型.

如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，可得到△BP'A，則△

BPP'為等腰直角三角形.3.旋轉中的“K”模型.如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線的交點，直角EOF繞點O旋轉.若OE，OF分別與射線DA，AB交于點G，H，則△

AGO≌△BHO，△OGH是等腰直角三角形.4.正方形中的半角模型.從正方形的一個頂點出發的兩條線所夾的角等于正方形內角的一半，并且與正方形的邊（或其延長線）相交.（1）如圖1，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，則：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周長為正方形ABCD邊長的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；④MN2＝BM2＋DN2.圖1（2）如圖2，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠

DFE，則EF＝DF－BE.

圖2數學九年級上冊BS版02典例講練類型一

折疊中的“十字架”模型

如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB＝3，BC＝9.在邊AD上取一點E，在BC上取一點F，將紙片沿EF折疊，點C恰好落在點A處，點D落在點D'處，則線段EF的長度為

?.

【點撥】矩形的翻折變換其本質就是“十字架”模型，關鍵是

根據翻折變換的性質找出圖形中隱含的等量關系，靈活運用勾

股定理來解決線段長度問題.

如圖，在矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點D在邊BC上，且CD＝3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊.若點A的對應點A'恰好落在邊OC上，點B為點B'的對應點，則OE的長為

?.

類型二

旋轉中的“手拉手”模型

一節數學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內一點，PA＝1,PB＝2,PC＝3.你能求出∠APB的度數嗎？圖1小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點B按逆時針方向旋轉90°，得到△BP'

A，連接PP'，求出∠APB的度數；思路二：將△APB繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CP'

B，連接PP'，求出∠APB的度數.（1）請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程；圖1

圖2

【點撥】正方形兩鄰邊相等且垂直，聯想到構造“手拉手”全等三角形解決問題.

如圖，點G是正方形ABCD對角線DB的延長線上任意一點，以線段BG為邊作一個正方形BEFG，線段CE和AG相交于點H.

（1）求證：CE＝AG，CE⊥AG；

（2）若AB＝2，BG＝1，求CE的長.

類型三

旋轉中的“K”模型

如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F.

（1）求證：△AOE≌△BOF.

（2）若兩個正方形的邊長都為a，則正方形A1B1C1O繞點O轉動時，兩個正方形重疊部分的面積是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出面積.

【點撥】計算正方形中不規則圖形的面積時，可利用割補法，將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積.

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是直線AD上的一點，連接

CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點C，E，F，G按逆時針方向排列），直線BE與直線GD交于點H.

若AE＝2，AB＝4，則點F到GH的距離為

?.

類型四

正方形中的半角模型

如圖，在正方形ABCD中，點E是AB上一點，點F是AD延長線上一點，且DF＝BE.

（1）求證：CE＝CF.

（2）若點G在線段AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD

成立嗎？為什么？【點撥】解決半角模型問題的方法有兩種.方法一：把半角一側的三角形通過旋轉變換或軸對稱變換構造新的全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等、對應角相等來轉化邊和角，進而可以探究新的邊邊關系或角角關系；方法二：截長補短.

如圖，在正方形ABCD中，已知點E，F分別為BC，CD上一點，點M為EF上一點，點D，M關于直線AF對稱.（1）求證：點B，M關于直線AE對稱；證明：（1）如圖，連接DM，BM.

∵點D，M關于直線AF對稱，∴AF垂直平分DM.

∴AD＝AM，FD＝FM.

又∵AF＝AF，∴△DAF≌△MAF（SSS）.∴∠AMF＝∠ADF＝90°.∴∠AME＝90°.又∵