湖南省長沙市一中等名校聯考聯合體2024-2025學年高三數學上學期11月聯考試卷時量：120分鐘滿分：150分得分______一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知（為虛數單位），則的虛部為（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，若球與圓柱的體積之比為，則拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.26.已知，設，則（）A. B.0 C.1 D.27.已知雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，又雙曲線與直線交于，兩點，點為右支上一動點，記直線，的斜率分別為，，曲線的左、右焦點分別為，.若，則下列說法正確的是（）A.B.雙曲線的漸近線方程為C.若，則的面積為1D.雙曲線的離心率為8.高斯是德國聞名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號.用他的名字定義的函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數，已知數列滿意，，，若，為數列的前項和，則（）A.999 B.749 C.499 D.249二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.某科技學校組織全體學生參與了主題為“創意之匠心，技能動天下”的文創大賽，隨機抽取了400名學生進行成果統計，發覺抽取的學生的成果都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組的取值區間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）A.在被抽取的學生中，成果在區間內的學生有160人B.圖中的值為0.020C.估計全校學生成果的中位數約為86.7D.估計全校學生成果的80%分位數為9510.已知函數，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于點對稱B.在上的值域為C.若，則，D.將的圖象向右平移個單位長度得的圖象11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.函數在上不具有單調性B.不是周期函數C.函數為偶函數D.當時，函數的最小值是012.如圖，在直角梯形中，，，，將沿翻折，得到大小為的二面角，，分別是，的中點.則（）A.B.異面直線與所成角的正弦值為C.二面角的大小為D.三棱錐的表面積為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.如圖，四邊形是邊長為8的正方形，若，且為的中點，則______.14.若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線重合，則______.15.設拋物線的焦點為，準線為，過第一象限內的拋物線上一點作的垂線，垂足為.設，直線與相交于點.若，且的面積為，則直線的斜率______，拋物線的方程為______.16.已知函數在上的最大值與最小值分別為和，則函數的圖象的對稱中心是______.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（10分）已知內角，，的對邊分別為，，，若（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長.18.（12分）已知等差數列的前項和為，公差不等于零，，（1）求數列的通項公式；（2）設，求證（且）19.（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點，作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.20.（12分）2024年卡塔爾世界杯將于當地時間11月20日開賽，某國家隊為了考察甲球員對球隊的貢獻，現作如下數據統計：甲球隊總計勝負未參與競賽3070參與競賽10總計70（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該球隊成功與甲球員參賽有關聯？（2）依據以往的數據統計，甲球員能夠勝任前鋒、中場、后衛三個位置，且出場率分別為：0.2，0.5，0.3；在甲出任前鋒、中場、后衛的條件下，球隊輸球的概率依次為：0.2，0.2，0.7，則：①當甲參與競賽時，求該球隊某場競賽輸球的概率；②當甲參與競賽時，在球隊輸了某場競賽的條件下，求甲球員擔當中場的概率；③假如你是教練員，應用概率統計有關學問，該如何運用甲球員？附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828.21.（12分）已知函數，（1）求和的極值；（2）證明：22.（12分）設橢圓：的左、右焦點分別為，.，是該橢圓的下頂點和右頂點，且，若該橢圓的離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）經過點的直線：交橢圓于，兩點（點在點下方），過點作軸的垂線交直線于點，交直線于點，求證：為定值.名校聯考聯合體2024年秋季高三11月聯考數學參考答案題號123456789101112答案DACBBDCAACDBDCDACD一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.D【解析】因為，所以，虛部為.故選D.2.A【解析】因為，，所以.故選A.3.C|【解析】因為，又，所以.故選C.4.B【解析】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高.則球的體積，圓柱的體積，∴.所以，則其準線方程為，故選B.5.B【解析】依題意，，，，故選B.6.D【解析】因為，所以由組合數的性質得，所以，令，得，即.令，得，所以，故選D.7.C【解析】因為雙曲線：的焦點到漸近線的距離為1，則，所以雙曲線方程為：，由可得，設，，則，即，∴，設則，，所以，即，又，，，所以，∴，即，故A錯誤；所以雙曲線：，，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故B錯誤，D錯誤；若，則，所以，的面積為1，故C正確.故選C.8.A【解析】由，得，又，所以數列是以4為首項，5為公比的等比數列，則；①由得，，又，所以數列是常數列，則，②由①②聯立可得.因為，所以即，所以故所以，則.故選A.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）9.ACD【解析】由題意，成果在區間內的學生人數為，故A正確；由，得，故B錯誤；設中位數為，則，得，故C正確；低于90分的頻率為，設樣本數據的80%分位數為，則，解得，故D正確.故選ACD.10.BD【解析】由題得，令，則，，故A錯誤；當時，，.故B正確；因為的周期，所以若，則，，故C錯誤；將的圖象向右平移個單位長度得的圖象，故D正確.故選BD.11.CD【解析】對于A，當時，在上為增函數，當時，在上為減函數，A錯誤；對于B，定義域是，，因此是函數的一個周期，B錯誤；對于C，由得，函數定義域是，關于原點對稱，，，∴，所以函數為偶函數，C正確；對于D，當時，故在上為減函數，在上為增函數，∴當時，取得最小值0，D正確.12.ACD【解析】由題意知，，，，取的中點，連接，，因為，，分別為，的中點，所以，，又，所以，如圖，以為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以所以，故A正確；由，設異面直線與所成的角為，則，，故B錯誤；設平面的一個法向量為，又，由得令，得，，則，又易知平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，則又易知二面角為銳角，故，，故C正確；由，，，則為等腰三角形，所以又，，在中，由余弦定理得，，，所以又，，所以三棱錐的表面積為，故D正確，故選ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.20【解析】以為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，則，，所以.14.0|（解析]由切點，，則在點處的切線方程為，即；由切點，，則在點處的切線方程為，即由題知：兩條直線是同一條直線，則：化簡得：.∴15.（隨意填對一空得3分）【解析】如圖所示，，，所以∵軸，，，∴所以四邊形為平行四邊形，∴，，∴解得，代入可取，∴解得，∴，∴16.【解析】已知，則，故函數在定義域內為非奇非偶函數，令，則，則在定義域內為奇函數，設的最大值為，則最小值為，則的最大值為，最小值為，則，∴，.∴當時，，∴關于中心對稱.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.【解析】（1）因為，所以所以，（2）因為的面積為，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周長為.18.【解析】（1）易得所以，所以.（2）由題意，.故又對且時，∴得證.19.【解析】（1）由題設，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.又平面，∴平面平面（2）設，如圖，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，又，可得，∴，，，所以，，若是平面的一個法向量，則令，則由于直線與平面所成角的正弦值為，∴，解得或由題知，為與平面的交點，故點到平面的距離為點到平面的距離的倍，又平面平面，所以點到平面的距離就是點到直線的距離，在中，，，故點到直線的距離為則點到平面的距離為∴點到平面的距離為或20.【解析】（1）依題意，，，，，零假設為：球隊成功與甲球員參賽無關，則觀測值依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該球隊成功與甲球員參賽有關聯，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.（2）①設表示“甲球員擔當前鋒”；表示“甲球員擔當中場”；表示“甲球員擔當后衛”；表示“球隊輸掉某場競賽”，有，，，，則所以該球隊某場競賽輸球的概率是0.35.②由①知，球隊輸的條件下，甲球員擔當中場的概率③由①知，球隊輸的條件下，甲球員擔當前鋒的概率球隊輸的條件下，甲球員擔當后衛的概率由②知，所以，應當多讓甲球員擔當前鋒.21.【解析】（1）因為，所以，當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以當時，取得極大值，無微小值；當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，當時，有極大值，無微小值.（2）令則令，則在上恒成立，所以在上單調遞增，又，所以存在，使得，即所以時，，，單調遞減，時，，，單調遞增，令，則在