第一章特殊平行四邊形回顧與思考

1.如圖，已知點

D

，

E

，

F

分別是△

ABC

各邊的中點，則下列

說法正確的是（

C

）A.四邊形

ADEF

不一定是平行四邊形B.當

DE

⊥

BC

時，四邊形

ADEF

是矩形C.當

AB

＝

AC

時，四邊形

ADEF

是菱形D.當△

ABC

是等邊三角形時，四邊形

ADEF

是正方

形（第1題圖）C2.如圖，在菱形

ABCD

中，點

E

是邊

AB

上一點，

DE

＝

AD

，連

接

EC

.

若∠

ADE

＝36°，則∠

DEC

的度數為（

B

）A.56°B.54°C.50°D.48°（第2題圖）B

A.3B.4C.5（第3題圖）B4.（2022·重慶）如圖，在正方形

ABCD

中，對角線

AC

，

BD

相

交于點

O

.點

E

，

F

分別為

AC

，

BD

上一點，且

OE

＝

OF

，連接

AF

，

BE

，

EF

.

若∠

AFE

＝25°，則∠

CBE

的度數為

?.（第4題圖）65°

（第5題圖）

（第6題圖）7.如圖，已知四邊形

ABCD

的對角線

AC

⊥

BD

于點

O

，分別過

點

C

，

D

作

CE

∥

BD

，

DE

∥

AC

，

CE

和

DE

交于點

E

，連接

AE

，交

BD

于點

F

，點

O

，

F

分別為

AC

，

AE

的中點.（1）求證：四邊形

ODEC

是矩形；（1）證明：∵

CE

∥

BD

，

DE

∥

AC

，∴四邊形

ODEC

是平行四邊形.又∵

AC

⊥

BD

，∴∠

DOC

＝90°.∴?

ODEC

是矩形.（2）若

OF

＝1，∠

CAE

＝30°，求

AC

的長.

8.如圖，已知點

O

是菱形

ABCD

對角線的交點，

CE

∥

BD

，

EB

∥

AC

，連接

OE

，交

BC

于點

F

.

（1）求證：

OE

＝

CB

；（1）證明：∵

CE

∥

BD

，

EB

∥

AC

，∴四邊形

OBEC

為平行四邊形.∵四邊形

ABCD

為菱形，∴

AC

⊥

BD

.

∴∠

BOC

＝90°.∴?

OBEC

為矩形.∴

OE

＝

CB

.

9.（2022·賀州）如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝8，

BC

＝

6，點

E

，

F

分別是

AD

，

AB

的中點，∠

ADC

的平分線交

AB

于

點

G

，點

P

是線段

DG

上的一個動點，則△

PEF

周長的最小值

為

?.

【解析】如答圖，在

CD

上取點

H

，使

DH

＝

DE

，連接

EH

，

PH

，

FH

，過點

F

作

FK

⊥

CD

于點

K

.

在矩形

ABCD

中，∠

A

＝

∠

ADC

＝90°，

AD

＝

BC

＝6，

CD

＝

AB

＝8，∴△

DEH

為等腰

直角三角形.∵

DG

平分∠

ADC

，∴

DG

垂直平分

EH

.

∴

PE

＝

PH

.

∴△

PEF

的周長等于

PE

＋

PF

＋

EF

＝

PH

＋

PF

＋

EF

≥

FH

＋

EF

.

∴當

F

，

P

，

H

三點共線時，△

PEF

的周長最小，最小值

為

FH

＋

EF

.

答圖

答圖

答圖

11.如圖，在矩形

ABCD

中，已知∠

BAD

的平分線

AE

與

BC

邊交

于點

E

，點

P

是線段

AE

上一定點（其中

PA

＞

PE

），過點

P

作

AE

的垂線與

AD

邊交于點

F

（不與點

D

重合）.一個直角三角形

的直角頂點落在點

P

處，兩直角邊分別交

AB

邊和

AD

邊于點

M

，

N

.

（1）求證：△

PAM

≌△

PFN

；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是矩形，

∴∠

BAD

＝90°.∵∠

BAD

的平分線

AE

交

BC

邊于點

E

，∴∠

BAE

＝∠

EAD

＝45°.∵

PF

⊥

AP

，∴∠

PAF

＝∠

PFA

＝45°.∴

PA

＝

PF

.

∵∠

MPN

＝90°，∠

APF

＝90°，∴∠

MPN

－∠

APN

＝∠

APF

－∠

APN

，即∠

MPA

＝∠

NPF

.

又∵

PA

＝

PF

，∠

MAP

＝∠

NFP

＝45°，∴△

PAM

≌△

PFN

（ASA）.（2）若

PA

＝3，求

AM

＋

AN

的長.

12.如圖，在△

ABC

中，已知

AC

＝9，

AB

＝12，

BC

＝15，點

P

為

BC

邊上一動點，

PG

⊥

AC

于點

G

，

PH

⊥

AB

于點

H

.

（1）求證：四邊形

AGPH

是矩形.（1）證明：∵

AC

＝9，

AB

＝12，

BC

＝15，∴

AC2＋

AB2＝

BC2.∴∠

A

＝90°.又∵

PG

⊥

AC

，

PH

⊥

AB

，∴∠

AGP

＝∠

AHP

＝90°.∴四邊形

AGPH

是矩形.（2）在點

P

的運動過程中，

GH

的長是否存在最小值？若存

在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

13.（選做）如圖，在邊長為1的正方形

ABCD

中，點

K

在

AD

上，連接

BK

.

過點

A

，

C

作

BK

的垂線，垂足分別為

M

，

N

，點

O

是正方形

ABCD

的中心，連接

OM

，

ON

.

（1）證明：△

ABM

≌△

BCN

；

（2）請判定△

OMN

的形狀，并說明理由；（2）解：△

OMN

是等腰直角三角形.理由如下：如圖，連接

OB

.

∵點

O

是正方形

ABCD

的中心，∴

OA

＝

OB

，∠

OBA

＝∠

OAB

＝45°＝∠

OBC

，