【創新方案】版高中數學第一章1.6NO.2三角函數模型的簡單應用課下檢測新人教A版必修4一、選擇題1．圖為一簡諧運動的圖像，則下列判斷正確的是()A．該質點的振動周期為0.7sB．該質點的振幅為5cmC．該質點在0.1s和0.5s時速度最大D．該質點在0.3s和0.7s時加速度最大解析：周期為2×(0.7－0.3)＝0.8s，故A錯；由題中圖像可知，振幅為5cm，故B對；在最高點時，速度為零，加速度最大，故C，D錯．答案：B2．某人的血壓滿足函數式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數為()A．60 B．70C．80 D．90解析：由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，又f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,\f(1,80))＝80，故每分鐘心跳次數為80.答案：C3．如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪自點A開始旋轉，15s旋轉一圈．水輪上的點P到水面距離y(m)與時間x(s)滿足函數關系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有()A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5解析：∵T＝15，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15)，顯然ymax－ymin的值等于圓O的直徑長，即ymax－ymin＝6，故A＝eq\f(ymax－ymin,2)＝eq\f(6,2)＝3.答案：A4．動點A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12s旋轉一周．已知時間t＝0時，點A的坐標是(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，則當0≤t≤12時，動點A的縱坐標y關于t(單位：s)的函數的單調遞增區間是()A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]解析：由已知可得該函數的最小正周期為T＝12，則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，又當t＝0時，A的坐標為(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，∴此函數為y＝sin(eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3))，t∈[0,12]，可解得此函數的單調遞增區間是[0,1]和[7,12]．答案：D二、填空題5．一個物體相對于某一固定位置的位移y(cm)和時間t(s)之間的一組對應值如下表所示：t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0則可近似地描述該物體的位移y和時間t之間關系的一個三角函數模型為________．解析：設y＝Acos(ωt＋φ)，則A＝4，T＝0.8，∴ω＝2.5π.代入最高點(0.4,4.0)，得φ＝π.∴y＝－4cos2.5πt.答案：y＝－4cos2.5πt6．如圖，顯示相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(m)在某天從0～24時的變化情況，則水面高度h關于時間t的函數關系式為________________．解析：設h＝Asin(ωt＋φ)，由圖像知A＝6，T＝12，∴eq\f(2π,ω)＝12，得ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，點(6,0)為“五點法”中的第一點，故eq\f(π,6)×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴h＝6sin(eq\f(π,6)t－π)＝－6sineq\f(π,6)t.答案：h＝－6sineq\f(π,6)t7．某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm，秒針均勻地繞點O旋轉．當時間t＝0時，點A與鐘面上標12的點B重合，將A、B兩點的距離d(cm)表示成t(s)的函數，則d＝________，其中t∈[0,60]．解析：經過ts秒針轉了eq\f(π,30)trad.由圖知sineq\f(πt,60)＝eq\f(\f(d,2),5)，所以d＝10sineq\f(πt,60).答案：10sineq\f(πt,60)cm8．電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數I＝Asin(ωt＋eq\f(π,6))(A>0，ω≠0)的圖像如圖所示，則當t＝eq\f(1,50)秒時，電流強度是________安．解析：由圖像可知A＝10，周期T＝2×(eq\f(4,300)－eq\f(1,300))＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π.∴I＝10sin(100πt＋eq\f(π,6))．當t＝eq\f(1,50)秒時，I＝10sin(2π＋eq\f(π,6))＝5.答案：5三、解答題9．如圖所示，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖像，且圖像的最高點為S(3,2eq\r(3))；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P兩點間的距離．解：依題意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x，x∈[0,4]．∴當x＝4時，y＝2eq\r(3)sineq\f(2π,3)＝3.∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝eq\r(8－42＋0－32)＝eq\r(42＋32)＝5(km)．即M、P兩點間的距離為5km.10．在一個港口，相鄰兩次高潮發生時間相距12h，低潮時水的深度為8.4m，高潮時為16m，一次高潮發生在10月10日4：00.每天漲潮落潮時，水的深度d(m)與時間t(h)近似滿足關系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若從10月10日0：00開始計算時間，選用一個三角函數來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數關系；(2)10月10日17：00該港口水深約為多少？(精確到0.1m(3)10月10日這一天該港口共有多少時間水深低于10.3m?解：(1)依題意知T＝eq\f(2π,ω)＝12，故ω＝eq\f(π,6)，h＝eq\f(8.4＋16,2)＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin(eq\f(π,6)t＋φ)＋12.2；又因為t＝4時，d＝16，所以sin(eq\f(4π,6)＋φ)＝1，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以d＝3.8sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＋12.2.(2)t＝17時，d＝3.8sin(eq\f(17π,6)－eq\f(π,6))＋12.2＝3.8sineq\f(2π,3)＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＋12.2＜10.3，有sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＜－eq\f(1,2)，因此2kπ＋eq\f(7π