1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答.2、列一元二次方程解應用題中常見問題：（1）數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a.（2）增長率問題：增長率=增長數量/原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2,即原數×（1+增長百分率）2=后來數.（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程.（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解.（5）銷售問題：利潤=售價—進價=進價×利潤率，總利潤=銷售量×單件利潤3．列一元二次方程解應用題的“六字訣”（1）審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系.（2）設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數.（3）列：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程.（4）解：準確求出方程的解.（5）驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.（6）答：寫出答案.【考點1】增長率問題【例1】（2022·新疆·烏魯木齊市第七十四中學九年級期末）為應對新冠疫情，較短時間內要實現全國醫用防護服產量成倍增長，有效保障抗擊疫情一線需要，某醫用防護服生產企業1月份生產9萬套防護服，該企業不斷加大生產力度，3月份生產達到12.96萬套防護服.(1)求該企業1月份至3月份防護服產量的月平均增長率.(2)若平均增長率保持不變，4月份該企業防護服的產量能否達到16萬套？請說明理由.【變式1.1】（2021·云南·富源縣第七中學九年級期中）2020年疫情期間，某地教育局出臺《中小學線上教學工作實施方案》，推出名師公益大課堂，為學生提供線上直播教學．據統計，第一批次公益課受益的學生為4萬人，第三批次公益課受益的學生為4.84萬人，每個批次受益學生人數的平均增長率相同.(1)求每個批次的平均增長率；(2)按照這個增長率，預計第四批次公益課受益的學生將達到多少萬人？【變式1.2】（2021·甘肅·靜寧縣阿陽實驗學校九年級階段練習）受益于國家支持新能源汽車發展和“帶一路”發展戰略等多重利好因素，某市某汽車零部件生產企業的利潤逐年提高，據統計2017年利潤為2億元，2019年利潤為3.38億元.(1)求該企業從2017年到2019年利潤的年平均增長率；(2)若2020年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業2020年的利潤能否超過4億元？【變式1.3】（2022·浙江金華·八年級期末）金華市區某超市以原價為40元/瓶的價格對外銷售某種洗手液，為了減少庫存，決定降價銷售，經過兩次降價后，售價為32.4元/瓶.(1)求平均每次降價的百分率.(2)金華市區某學校為確保疫情復學后工作安全、衛生、健康、有序，學校決定購買一批洗手液(超過200瓶)．該超市對購買量大的客戶有優惠措施，在32.4元/瓶的基礎上推出方案一：每瓶打九折；;方案二：不超過200瓶的部分不打折，超過200瓶的部分打八折．學校應該選擇哪一種方案更省錢？請說明理由.【考點2】傳染問題【例2】（2022·浙江紹興·八年級期末）請根據圖片內容，回答下列問題：(1)每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設每輪傳染人數相同）？【變式2.1】（2022·云南紅河·九年級期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？【變式2.2】（2022·全國·九年級課時練習）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染，請用一元二次方程的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，那么經過三輪感染后，被感染的電腦共有多少臺？【變式2.3】（2022·全國·九年級）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻開始持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有64人患新冠肺炎（假設每輪傳染的人數相同）．求：(1)每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？(2)如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？【考點3】營銷問題【例3】（2022·安徽·合肥市五十中學新校八年級期中）某商場銷售一批運動服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，為了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現，每套運動服每降價2元，商場平均每天可多售出1套.(1)當每套運動服降價x元時，商場每天可售出運動服套用含x的代數式表示(2)若商場每天要盈利3150元，則每套運動服應降價多少元？(3)商場每天的盈利能否達到3250元？若能，請求出此時每套運動服應降價多少元？若不能，請說明埋由.【變式3.1】（2022·浙江寧波·八年級期末）位于寧波市江北區的保國寺以其精湛絕倫的建筑工藝聞名全國，其中大雄寶殿（又稱無梁殿）更是以四絕“鳥不棲，蟲不入，蜘蛛不結網，梁上無灰塵”吸引了各地游客前來參觀．據統計，假期第一天保國寺的游客人數為5000人次，第三天游客人數達到7200人次.(1)求游客人數從假期第一天到第三天的平均日增長率；(2)據悉，景區附近商店推出了保國寺旅游紀念章，每個紀念章的成本為5元，當售價為10元時，平均每天可售出500個，為了讓游客盡可能得到優惠，商店決定降價銷售．市場調查發現，售價每降低0.5元，平均每天可多售出100個，若要使每天銷售旅游紀念章獲利2800元，則售價應降低多少元？【變式3.2】（2022·黑龍江哈爾濱·八年級期末）為積極響應新舊動能轉換，提高公司經濟效益，某科技公司近期研發出一種新型高科技設備，經過市場調研發現，每臺售價為45萬元時，年銷售量為550臺．假定該設備的年銷售量y（單位：臺）和銷售單價x（單位：萬元）成一次函數關系y=?10x+b.(1)求年銷售量y與銷售單價x的函數關系式；(2)已知每臺設備成本價為30萬元，根據相關規定，此設備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則該設備的銷售單價應是多少萬元？【變式3.3】（2022·山東淄博·八年級期末）2022年北京冬季奧運會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯合舉行，冬奧會吉祥物為“冰墩墩”.(1)據市場調研發現，某工廠今年二月份共生產500個“冰墩墩”，為增大生產量，該工廠平均每月生產量增加20%，則該工廠在四月份能生產多少個“冰墩墩”？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個，每個盈利40元，在每個降價幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，則每個“冰墩墩”應降價多少元？【考點4】面積問題【例4】（2021·湖北·襄陽市樊城區青泥灣中學九年級階段練習）如圖所示，學校準備在教學樓后面搭建一簡易矩形自行車車棚，一邊利用教學樓的后墻(可利用的墻長為18m)，另外三邊利用學校現有總長38m的鐵欄圍成.(1)若圍成的面積為180m2，試求出自行車車棚的長和寬；(2)為使用方便，決定在車棚左右兩側各開一個寬為1m的小門，此時能圍成的車棚的面積能否為200m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由.【變式4.1】（2021·四川·榮縣一中九年級階段練習）今年榮縣一中計劃擴大校園綠地面積，現有一塊長方形綠地ABCD，它的短邊AB長為6m，若將短邊AB增大到與長邊AD相等（長邊不變），使擴大后的綠地的形狀是正方形AEFD，則擴大后的綠地面積比原來增加16m2，求擴大后的正方形綠地邊長.【變式4.2】2022·浙江杭州·八年級期末）某小區計劃用40米的籬笆圍一個矩形花壇，其中一邊靠墻（墻足夠長，籬笆要全部用完）.(1)如圖1，問AB為多少米時，矩形ABCD的面積為200平方米？(2)如圖2，矩形EMNF的面積比（1）中的矩形ABCD面積減小20平方米，小明認為只要此時矩形的長MN比圖①中矩形的長BC少2米就可以了．請你通過計算，判斷小明的想法是否正確.【變式4.3】2022·浙江紹興·八年級期末）有一塊長28cm，寬12cm的矩形鐵皮.(1)如圖1，如果在鐵皮的四個角裁去四個邊長一樣的正方形后，將其折成底面積為192cm2的無蓋長方體盒，求裁去的正方形的邊長.(2)由于需要，計劃制作一個有蓋的長方體盒，為了合理利用材料，某學生設計了如圖2的裁剪方案，陰影部分為裁剪下來的邊角料，其中左側的兩個陰影部分為正方形，若剩余部分恰好能折成一個底面積為130cm2的有蓋盒，請你求出裁去的左側正方形的邊長.【考點s】動態幾何問題【例5】（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．點P從點A出發，沿AB邊以1cm/s的速度向點B移動；點Q從點B同時出發，沿BC邊以2cm/s的速度向點C移動．規定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．問經過幾秒后，P，Q兩點的距離是42cm？點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q同時從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.(1)幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？(2)幾秒后，PQ的長度等于5cm？(3)△PBQ的面積能否等于8cm2？【變式5.2】（2021·江蘇泰州·九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發，沿AB邊向點B以1cm/秒的速度運動，同時，點Q從點B出發沿BC邊向點C以2cm/秒的速度移動．如果P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，回答下列問題：(1)點P運動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8cm2；(2)設點P運動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為Scm2，寫出S與t的函數關系式，并指出t的取值范圍.∠ABC＝30°.點P從點B出發，沿B→A→C以每秒3cm的速度向終點C運動，同時點Q從點B出發以每秒3cm的速度向終點C運動，其中一點到達終點即停止．設點P的運動時間為t.(1)當t＝2秒時，求△BPQ的面積；(2)PQ能否與△ABC的一條邊平行，如果能，求出此時t的值；如不能，說明理由；(3)△BPQ的面積能否為△ABC面積的三分之一？如果能，請求出的值；如果不能，請說明理由.【考點6】圖表信息問題【例6】（2022·全國·九年級專題練習）某電廠規定，該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過x度，那么這個月這戶居民只交10元電費；如果超過x度，這個月除了交10元電費外，超過部分按每度元交費.(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了x度的規定，試寫出超過部分應交的電費用含x的代數式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據其中的數據，求電廠規定的x度是多少.月份用電量/度交電費總數/元2月2545【變式6.1】（2022·全國·九年級專題練習）某市為鼓勵居民節約用水，對居民用水實行階梯收費，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費.（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應繳納水費多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況：月份用水量（噸）交水費總金額（元）462524根據上表數據，求規定用水量a的值【變式6.2】2021·全國·九年級專題練習）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環境保護局協同自來水公司為鼓勵居民節約用水，減少污水排放，規定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費＋污水處理費）.（1）某市區居民2018年3月份用水量為8噸，超過規定水量，用a的代數式表示該用戶應交水費多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；月份用水量（噸）交水費總金額（元）47705540根據上表數據，求規定用水量a的值.【變式6.3】（2020·內蒙古·二模）為了節約用水，不少城市對用水大戶作出了兩段收費的規定．某市規定：月用水量不超過規定標準a噸時，按每噸1.6元的價格交費，如果超過了標準，超標部分每噸還要加收元的附加費用．據統計，某戶7、8兩月的用水量和交費情況如下表：月份用水量（噸）交費總數（元）7264895（1）求出該市規定標準用水量a的值；（2）寫出交費總數y（元）與用水量x（噸）的函數關系式，并利用函數關系計算，當某月份用水量為150噸時，應交水費多少元？【考點7】數字問題【例7】（2020·山西臨汾·模擬預測）在日歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律，如圖是2019年1月份的日歷．我們任意選擇其中所示的菱形框部分將每個菱形框部分中去掉中間位置的數之后，相對的兩對數分別相乘，再相減，例如：9×11?3×17=48，13×15?7×21=48．不難發現，結果都是48.（1）請證明發現的規律；（2）若用一個如圖所示菱形框，再框出5個數字，其中最小數與最大數的積為435，求出這5個數的最大數；（3）小明說：他用一個如圖所示菱形框，框出5個數字，其中最小數與最接判斷他的說法是否正確不必敘述理由）【變式7.1】（2022·全國·九年級課時練習）解讀詩詞(通過列方程算出周瑜去世時的年齡)：大江東去浪淘盡，千古風流數人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學算得快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數，十位數字比個位數字小三，個位數字的平方等于他去世時的年齡.【變式7.2】（2021·江蘇蘇州·九年級期中）把黑色三角形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有1個黑色三角形，第②個圖案中有3個黑色三角形，第③個圖案中有6個黑色三角形……按此規律排列下去，解答下列問題：（1）第5個圖案中黑色三角形的個數有個.（2）第n個圖案中黑色三角形的個數能是50個嗎？如果能，求出n的值；如果不能，試用一元二次方程的相關知識說明道理.【變式7.3】（2022·全國·九年級專題練習）2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數（如圖所示），圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積能否為33或65，若能求出最小數：若不能請說明理由.【考點8】工程問題【例8】（2022·重慶市第七中學校一模）甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計劃每天各施工5米，因地質情況不同，兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬.(1)若工程結算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米.(2)實際施工開始后，因地質情況及實際條件比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖a米．乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖a米．若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多(7a?12)萬元．求a的值.【變式8.1】（2022·重慶巴蜀中學二模）為了提升干線公路美化度，相關部門擬定派一個工程隊對39000米的公路進行路面“白改黑”工程．該工程隊計劃使用一大一小兩種型號設備交替的方式施工，原計劃小型設備每小時鋪設路面30米，大型設備每小時鋪設路面60米.(1)由于小型設備工作效率較低，該工程隊計劃使用大型設備的時間比使用小型設備的時間多，當這個工程完工時，小型設備的使用時間為多少小時？(2)通過勘察、又新增了部分支線公路美化，結果此工程的實際施工里程比最初擬定的里程39000米多了9000米，于是在實際施工中，小型設備在鋪設公路效率不變的情況下，使用時間比原計劃增加了18m小時，同時，因為新增的工人操作大型設備不夠熟練，使得比原計劃每小時下降了m米，使用時間增加了(150+2m)小時，求m的值.【變式8.2】（2022·全國·九年級專題練習）“端午臨中夏，時清日復長”．臨近端午節，一網紅門店接到一批3200袋粽的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽數比乙組2天加工的粽數多300袋．兩組同時開工，甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單.(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽；(2)兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務．已知甲、乙兩組加工的天數均為整數，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽？【變式8.3】（2022·云南·云大附中九年級期末）公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，帶動了市場頭盔的銷量．某頭盔經銷商5至7月份統計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題.(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)為了達到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產線生產頭盔，經過一段時間后，發現一條生產線最大產能是900個/天，但如果每增加一條生產線，每條生產線的最大產能將減少30個/天，現該廠要保證每天生產頭盔3900個，在增加產能同時又要節省投入的條件下（生產線越多，投入越大），應該增加幾條生產線？【考點9】行程問題【例9】（2021·安徽·郎溪實驗一模）甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？【變式9.1】（2022·全國·九年級專題練習）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發現前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車.（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？【變式9.2】（2018·福建泉州·九年級期中）某學校為培養青少年科技創新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設計了點做圓周運動的一個雛型．如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動.甲運動的路程lcm與時間ts滿足關系：l=t2+t（t≥0），乙以4cm/s的速度勻速運動，半圓的長度為21cm.（1）甲運動4s后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？【變式9.3】（2019·河南·鄭州四中實驗學校九年級期中）某日王老師佩戴運動手環進行快走鍛煉，兩次鍛煉后數據如下表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x（0＜x＜0.5）.注：步數×平均步長＝距離.（1）根據題意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老師發現好友中步數排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結束后又走了500米，使得總步數恰好為24000步，求王老師這500米的