第第頁第13講雙曲線【題型歸納目錄】題型一：雙曲線的定義、條件題型二：求雙曲線的標準方程題型三：雙曲線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：雙曲線的簡單幾何性質題型六：求雙曲線的離心率題型七：求雙曲線離心率的取值范圍題型八：由雙曲線離心率求參數的取值范圍題型九：雙曲線中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【知識點梳理】知識點一：雙曲線的定義在平面內，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(大于0且)的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．知識點詮釋：1、雙曲線的定義中，常數應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質“兩邊之差小于第三邊”來理解；2、若去掉定義中的“絕對值”，常數滿足約束條件：()，則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若()，則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；3、若常數滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線(包括端點)；4、若常數滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；5、若常數，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．知識點二：雙曲線的標準方程1、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；2、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中橢圓、雙曲線的區別和聯系：橢圓雙曲線根據|MF1|+|MF2|=2a根據|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2(b＞0)0＜a＜c，c2－a2=b2(b＞0)，(a＞b＞0)，(a＞0，b＞0，a不一定大于b)(a最大)(c最大)標準方程統一為：方程Ax2+By2=C(A、B、C均不為零)表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上．知識點詮釋：3、當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標軸上．4、雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．5、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數，如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．6、對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．知識點三：求雙曲線的標準方程①待定系數法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程．知識點四：雙曲線的簡單幾何性質雙曲線(a＞0，b＞0)的簡單幾何性質范圍雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側，是無限延伸的．因此雙曲線上點的橫坐標滿足x≤-a或x≥a．對稱性對于雙曲線標準方程(a＞0，b＞0)，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線(a＞0，b＞0)是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心．頂點①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點．②雙曲線(a＞0，b＞0)與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為A1(-a，0)，A2(a，0)，頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點．③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設B1(0，-b)，B2(0，b)為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸．實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長．①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．②雙曲線的焦點總在實軸上．③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．離心率①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率．由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊．所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度．③等軸雙曲線，所以離心率．漸近線經過點A2、A1作y軸的平行線x=±a，經過點B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形(如圖)，矩形的兩條對角線所在直線的方程是．我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．知識點四：雙曲線兩個標準方程幾何性質的比較標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數，如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．知識點五：雙曲線的漸近線(1)已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．(2)已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，根據已知條件，求出即可．(3)與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為(，焦點在軸上，，焦點在y軸上)(4)等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設為．知識點六：雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．雙曲線，如圖：(1)實軸長，虛軸長，焦距(2)離心率：；(3)頂點到焦點的距離：，；【典例例題】題型一：雙曲線的定義、條件例1．已知動點滿足，則動點P的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線【答案】C【解析】因為的幾何意義是動點到點與的距離之差為2，又因為，所以由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線右支．故選：C例2．方程所表示的曲線是(

)A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分 D．直線的一部分【答案】C【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線的方程，由于的值只能取大于等于1的數，推斷出方程表示的曲線為雙曲線的一部分．兩邊平方，可變為，即，表示的曲線為雙曲線的一部分；故選：C．題型二：求雙曲線的標準方程例3．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點為，，且雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2；(2)焦點在y軸上，焦距為10，且經過點；(3)經過點，.【解析】(1)因為雙曲線的焦點在軸上，故可設方程為：，又焦點為，，故可得，又雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2，即，則，又.故雙曲線方程為：.(2)因為雙曲線焦點在軸上，故可設雙曲線方程為，又其焦距為10，故可得；又該雙曲線過點，則，故，故雙曲線方程為：.(3)不妨設雙曲線方程為：，因其過點，，故可得，聯立方程組可得：，故所求雙曲線方程為：.題型三：雙曲線的綜合問題例4．(多選題)已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，若四邊形為矩形且，則下列正確的是(

)A． B．E的漸近線方程為C．矩形的面積為 D．E的離心率為【答案】AD【解析】不妨設點A在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形為矩形，由雙曲線的定義可得：，則，對A：∵四邊形為矩形，則，A正確；對B：由選項A可得：，則，，注意到雙曲線E的焦點在x軸上，則E的漸近線方程為，B錯誤；對C：矩形的面積為，C錯誤；對D：由A選項知，，所以，D正確.故選：AD.題型四：軌跡方程例5．已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】設，因為，所以，又因為直線與直線的斜率之積為，所以，整理得.故選：C.例6．動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內切，則動圓圓心P的軌跡方程是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】圓N：的圓心為，半徑為，且，設動圓的半徑為，則，即.即點在以為焦點，焦距長為，實軸長為，虛軸長為的雙曲線上，且點在靠近于點這一支上，故動圓圓心P的軌跡方程是故選：A例7．已知一個動圓P與兩圓和都外切，則動圓P圓心的軌跡方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設動圓半徑為，由于動圓P與兩圓和都外切，所以，，即，可知動圓P圓心的軌跡為以為焦點，實軸長為4的雙曲線的左支，即，，，所以動圓P圓心的軌跡方程為，故選：A.題型五：雙曲線的簡單幾何性質例8．已知是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，則該雙曲線的焦距為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因為是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，所以，即，即，又因為，解得，所以c=2，所以該雙曲線的焦距為.故選：D例9．已知雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線C的焦點到漸近線的距離為12，則雙曲線C的焦距為(

)A．30 B．24 C．15 D．12【答案】A【解析】依題意，右焦點到漸近線的距離，解得，所以雙曲線C的焦距為30.故選：A.題型六：求雙曲線的離心率例10．若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設且，故，所以，雙曲線漸近線為，其中一條與平行，所以，則.故選：A例11．已知雙曲線()的左右焦點分別是，，點在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為(

)A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】雙曲線的漸近線為，設，，則，因為點在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，所以點在漸近線上，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A題型七：求雙曲線離心率的取值范圍例12．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，又，所以，，又，即，，所以離心率．故選：C．例13．已知點F是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是(

)A． B．(1，2)C． D．【答案】D【解析】因為雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，所以，因為是鈍角三角形，所以是鈍角，即，因為過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，所以，又，所以，即，即，解得或(舍去)，所以雙曲線的離心率的取值范圍是，故選：D例14．已知雙曲線=1(a>0，b>0)的左?右焦點分別為F1(﹣c，0)，F2(c，0)，點P在雙曲線的右支上，且滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍是(

)A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(2，)【答案】D【解析】，，，，，解得，.故選：D題型八：由雙曲線離心率求參數的取值范圍例15．已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，，若C的離心率為，則的值為______．【答案】3【解析】由及雙曲線的定義可得，所以，，因為，在中，由余弦定理可得，即，所以，即，解得或(舍去).故答案為：3例16．若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，解得，則，故虛軸長.故答案為：.題型九：雙曲線中的范圍與最值問題例17．已知雙曲線的方程為，如圖所示，點，是圓上的點，點為其圓心，點在雙曲線的右支上，則的最小值為______【答案】.【解析】由雙曲線，可得，則，如圖所示，設點的坐標為，則點是雙曲線的焦點，根據雙曲線的定義，可得，所以，又由是圓上的點，圓的圓心為，半徑為，所以，所以，當點在線段上時，取得等號，即的最小值為.故答案為：.例18．已知是雙曲線的右焦點，動點在雙曲線左支上，為圓上一點，則的最小值為_______________.【答案】9【解析】記雙曲線的左焦點為，則，根據雙曲線的定義可得，先求出，再由圓的性質，即可得出結果.記雙曲線的左焦點為，則，根據雙曲線的定義可得，則，因此，當，，三點共線時，取等號；又為圓的圓心，即，且該圓的半徑為，則，即，因為為圓上一點，根據圓的性質可得，，即，，，四點共線時，取得最小值.故答案為：.題型十：焦點三角形例19．已知點F1，F2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.【答案】16【解析】雙曲線，所以，，所以，，是雙曲線左支上的點，，，在△中，由余弦定理得，，△的面積為.故答案為：.例20．已知點分別是雙曲線的下、上焦點，若點是雙曲線下支上的點，且，則的面積為________.【答案】16【解析】因為是雙曲線下支上的點，所以，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==0，所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16故答案為：【過關測試】一、單選題1．與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為(

)A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為；圓的標準方程為，圓心為，半徑為，設所求動圓圓心為，圓的半徑為，由于動圓與圓、圓均外切，則，所以，，因此動圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支.故選：B.2．已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】由點，，可得，又由，可得，根據雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，且，可得，則，所以點的軌跡方程為.故選：C.3．已知雙曲線上一點到左焦點的距離為10，則的中點到坐標原點的距離為(

)A．3或7 B．6或14 C．3 D．7【答案】A【解析】設雙曲線的右焦點為，連接，是的中位線，∴，∵，，∴或，∴或，故選：A.4．已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則三角形的面積為(

)A．2 B． C． D．【答案】D【解析】設，則，而，且，所以，故，故選：D.二、填空題5．已知