2025八年級上冊數數學(RJ)14.2.2完全平方公式114．2.2完全平方公式1．會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的運算．(重點)2．靈活運用完全平方公式進行計算．(難點)一、情境導入1．教師引導學生復習平方差公式．學生積極舉手回答．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．教師肯定學生的表現，并講解：這節課我們學習另一種特殊形式的多項式與多項式相乘——完全平方公式．二、合作探究探究點一：完全平方公式【類型一】直接運用完全平方公式進行計算利用完全平方公式計算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接運用完全平方公式進行計算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法總結：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．【類型二】構造完全平方式如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．解析：先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式確定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法總結：兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．【類型三】運用完全平方公式進行簡便運算利用乘法公式計算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.解析：原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式計算即可得到結果．解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.方法總結：運用完全平方公式進行簡便運算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．【類型四】靈活運用完全平方公式求代數式的值已知x－y＝6，xy＝－8.(1)求x2＋y2的值；(2)求代數式eq\f(1,2)(x＋y＋z)2＋eq\f(1,2)(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，將x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化簡eq\f(1,2)(x＋y＋z)2＋eq\f(1,2)(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；(2)∵eq\f(1,2)(x＋y＋z)2＋eq\f(1,2)(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝eq\f(1,2)(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋eq\f(1,2)[(x－y)2－z2]－xz－yz＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)y2＋eq\f(1,2)z2＋xy＋xz＋yz＋eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)y2－xy－eq\f(1,2)z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20.方法總結：通過本題要熟練掌握完全平方公式的變式：(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy.【類型五】完全平方公式的幾何背景我們已經接觸了很多代數恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數恒等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此等式是()A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2解析：空白部分的面積為(a－b)2，還可以表示為a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故選C.方法總結：通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．探究點二：添括號后運用完全平方公式計算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．解析：利用整體思想將三項式轉化為二項式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括號的符號法則．解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.方法總結：利用完全平方公式進行計算時，應先將式子變成(a±b)2的形式．注意a，b可以是多項式，但應保持前后使用公式的一致性．三、板書設計完全平方公式1．探究公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2；2．完全平方公式的幾何意義；3．利用完全平方公式計算．本節的探討方式和上節類似，都是通過“做一做”和“試一試”讓學生在代數和幾何兩方面理解完全平方公式．完全平方公式分為兩數和的平方和兩數差的平方兩種形式，教學中可以將兩個公式寫作一個公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，有助于學生的記憶．在探究兩數差的平方公式時，因為學生通過前面的學習已經掌握了幾何的說明方法，因此可以讓學生自己畫圖證明．14.2.2完全平方公式教學目標：完全平方公式的推導及其應用；完全平方公式的幾何解釋；視學生對算理的理解，有意識地培養學生的思維條理性和表達能力．教學重點與難點：完全平方公式的推導過程、結構特點、幾何解釋，靈活應用.教學過程：一、提出問題，學生自學問題：根據乘方的定義，我們知道：a2=a?a，那么(a+b)2應該寫成什么樣的形式呢？(a+b)2的運算結果有什么規律？計算下列各式，你能發現什么規律？（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______；

(m+2)2=_______；（2）(p?1)2=(p?1)(p?1)=_______；

(m?2)2=_______；學生討論，教師歸納，得出結果：(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1

(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4(2)(p?1)2=(p?1)(p?1)=p2?2p+1

(m?2)2=(m?2)(m?2)=m2?4m+4分析推廣：結果中有兩個數的平方和，而2p=2?p?1，4m=2?m?2，恰好是兩個數乘積的二倍(1)(2)之間只差一個符號．推廣：計算(a+b)2=__________；(a?b)2=__________.

得到公式，分析公式結論：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a?b)2=a2?2ab+b2

即：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍．二、幾何分析：你能根據圖(1)和圖(2)的面積說明完全平方公式嗎？圖(1)大正方形的邊長為(a+b)，面積就是(a+b)2，同時，大正方形可以分成圖中①②③④四個部分，它們分別的面積為a2、ab、ab、b2，因此，整個面積為a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，即說明(a+b)2=a2+2ab+b2.類似地可由圖(2)說明(a?b)2=a2?2ab+b2.三、例題：例1．應用完全平方公式計算：(1)(4m+n)2

(2)(y?)2

(3)(?a?b)2

(4)(b?a)2解答：(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2(2)(y?)2=y2?y+(3)(?a?b)2=a2+2ab+b2(4)(b?a)2=b2?2ba+a2例2．運用完全平方公式計算：(1)1022

(2)992解答：(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404(2)992=(100?1)2=10000?200+1=9801四、添括號法則在公式里的運用問題：在運用公式的時候，有些時候我們需要把一個多項式看作一個整體，把另外一個多項式看作另外一個整體，例如：(a+b+c)(a?b+c)和(a+b+c)2，這就需要在式子里添加括號；那么如何加括號呢？它有什么法則呢？它與去括號有何關系呢？學生回顧去括號法則，在去括號時：a+(b+c)=a+b+c，a?(b+c)=a?b?c反過來，就得到了添括號法則：a+b+c=a+(b+c)，a?b?c=a?(b+c)理解法則：如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．也是：遇“加”不變，遇“減”都變．總結：添括號法則是去括號法則反過來得到的，無論是添括號，還是去括號，運算前后代數式的值都保持不變，所以我們可以用去括號法則驗證所添括號后的代數式是否正確．五、小結：1．完全平方公式的結構特征：公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍．2．添括號法則：如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．利用添括號法則可以將整式變形，從而靈活利用乘法公式進行計算，靈活運用公式進行運算.14．3因式分解14．3.1提公因式法1．理解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關系．會用提取公因式的方法分解因式．(重點)2．會確定公因式以及提出公因式后的另外一個因式．(難點)一、情境導入1．多媒體展示，讓學生完成．計算：(1)m(a＋b＋c)；(2)(a＋b)(a－b)；(3)(a＋b)2.學生通過回憶前面所學的解題方法，完成解題，并積極作答：(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.2．學生通過對比上題發現：(1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.3．教師肯定學生的表現，說明其過程正好與整式的乘法相反，它是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，該過程叫做因式分解，這節課我們就來探討它．二、合作探究探究點一：因式分解的概念下列從左到右的變形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故①不是因式分解；②把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故④是因式分解；故選B.方法總結：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現形式，整式乘法是多項式的表現形式．探究點二：提公因式法分解因式【類型一】確定公因式多項式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各項的公因式是()A．abcB．3a2b2C．3a2b2cD．3ab解析：系數的最大公約數是3，相同字母的最低指數次冪是ab，∴公因式為3ab.故選D.方法總結：確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：(1)定系數，即確定各項系數的最大公約數；(2)定字母，即確定各項的相同字母因式(或相同多項式因式)；(3)定指數，即各項相同字母因式(或相同多項式因式)的指數的最低次冪．【類型二】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：將原式各項提取公因式即可得到結果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法總結：提公因式法的基本步驟：(1)找出公因式；(2)提公因式并確定另一個因式．【類型三】利用因式分解簡化運算計算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.解析：(1)首先提取公因式13，進而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，進而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.方法總結：在計算求值時，若式子各項都含有公因式，用提取公因式的方法可使運算簡便．【類型四】利用因式分解整體代換求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式變形后，將a＋b與ab的值代入計算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法總結：求代數式的值，有時要將已知條件看作一個整體代入求值．【類型五】因式分解與三角形知識的綜合△ABC的三邊長分別為a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，請判斷△ABC是等邊三角形、等腰三角形還是直角三角形？并說明理由．解析：對已知條件進行化簡后得到a＝c，根據等腰三角形的概念即可判定．解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴(a－c)＝0或(1＋2b)＝0，即a＝c或b＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．方法總結：通過提公因式分解因式，找出三邊的關系來判定三角形的形狀．【類型六】運用因式分解探究規律閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題