7下期末復習專題

平行線判定與性質(壓軸模型)

@專題練習

解答題(共25小題)

1.(2023春?倉山區校級期中)如圖，直線AC〃BD,連接AB,直線AC,BD及線段AB

把平面分成①，②，③，④四個部分，當動點P落在某個部分時，連接PA,PB,構成N

PAC,ZAPB,NPBD三個角.(規定：線上各點不屬于任何部分且點P,A,B三點不

共線)

(1)當動點P落在第①部分時，求證：ZAPB=ZPAC+ZPBD；

(2)當動點P落在第②部分時，直接用等式表示/PAC,ZAPB,NPBD之間的數量關

系；

(3)當動點P落在第③部分時，用等式表示/PAC,ZAPB,/PBD之間的數量關系，

并寫出動點P的具體位置和相應的結論，選擇其中一種結論加以證明.

③

gc③40③1c③1c

②〉P①②/①②/①②/①

B④DB④DB@DB@D

備用圖

2.(2023春?宜都市期中)已知，直線AB〃CD,點E、F分別在直線AB、CD上，點P

是直線AB與CD外一點，連接PE、PF.

(1)如圖1,若/AEP=45°,ZDFP=105°,求/EPF的度數；

(2)如圖2,過點E作/AEP的角平分線EM交FP的延長線于點M,NDFP的角平分

線FN交EM的反向延長線交于點N,若NM與3NN互補，試探索直線EP與直線FN

的位置關系，并說明理由；

(3)若點P在直線AB的上方且不在直線EF上，作NDFP的角平分線FN交NAEP的

角平分線EM所在直線于點N,請直接寫出/EPF與/ENF的數量關系.

A---------E---?-----B---

CFDCFD

圖1圖2備用圖

3.（2023春?深圳期中）我們知道同一平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系.

（1）觀察與思考：如圖1,若AB〃CD,點P在AB、CD內部，NBPD、ZB,ND之

間的數量關系為，不必說明理由；

（2）猜想與證明：如圖2,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點

Q.利用（1）中的結論（可以直接套用）求/BPD、/B、/D、NBQD之間有何數量

關系？并證明你的結論；

（3）拓展與應用：如圖3,設BF交AC于點M,AE交DF于點N,已知/AMB=140°,

ZANF=105°.利用（2）中的結論直接寫出/B+NE+NF的度數為度，ZA

比NF大度.

4.（2022春?市南區校級期中）已知：直線a〃b，點A和點B是直線a上的點，點C和點

D是直線b上的點，連接AD,BC,設直線AD和BC交于點E.

③

(1)在如圖1所示的情形下，若ADJ_BC,求/ABE+/CDE的度數；

(2)在如圖2所示的情形下，若BF平分NABC,DF平分/ADC,且BF與DF交于點

F,當NABC=64°,ZADC=72"時，求NBFD的度數；

（3）如圖3,當點B在點A的右側時，若BF平分NABC,DF平分/ADC,且BF,DF

交于點F,設NABC=a,/ADC=0,用含有a,。的代數式表示/BFD的補角.

5.（2022?南京模擬）如圖1,AB,BC被直線AC所截，點D是線段AC上的點，過點D

作DE〃AB,連接AE,ZB=ZE.

(1)求證：AE〃BC；

(2)將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ,連接DQ.若NE=65°,

①如圖2,當DELDQ時，則NQ的度數是；

②在整個運動中，當/Q=2/EDQ時，求/Q的度數.

6.(2022春?江海區期中)如圖，直線AB〃CD,直線MN與AB,CD分別交于點M,N,

ME,NE分別是NAMN與NCNM的平分線，NE交AB于點F,過點N作NG±EN交

AB于點G.

(1)若NAMN=70°,則NMNG=；

(2)求證：EM〃NG；

(3)連接EG,在GN上取一點H,使/HEG=NHGE,作NFEH的平分線EP交AB于

點P,求/PEG的度數.

7.(2022春?江夏區校級月考)如圖，AB〃CD,點P為AB上方一點，E在直線AB上.

(1)如圖1,求證：ZP-ZPEB-ZC；

(2)如圖2,點F為直線CD上一點，NPEB、NCFP的角平分線所在直線交于點Q,

求NP與NQ的數量關系；

(3)如圖3,N為AB、CD之間一點，且在NCPE內部，NEPN=nNCPN、ZDCN=

ZPCN,當2/CNP-NPEA=180°恒成立時，n=.

圖1圖2圖3

8.(2022春?思明區校級期末)如圖1,AB〃CD,E為AB上一點，點P在線段CE上，

且PD〃CF.

(1)求證：/AEC+/DCF=NDPE；

(2)如圖2,在線段CF上取點H,使NHPF=NHFP,若CD平分NECF,PQ平分N

EPH,NHPQ+/AEC=90°,試判斷PF與EF的大小關系.

圖1F圖2F

9.(2022春?房山區期末)如圖，由線段AB,AM,CM,CD組成的圖形像￡,稱為

形BAMCD”.

(1)如圖1,￡形8人1\4?口中，若AB〃CD,ZAMC=60°,則NA+NC=

(2)如圖2,連接￡形8人1\4?口中B,D兩點，若NABD+NBDC=160°,ZAMC=a,

試猜想/BAM與/MCD的數量關系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當點M在線段BD的延長線上從上向下移動的過程中,

請直接寫出/BAM與/MCD所有可能的數量關系.

10.(2022春?武昌區期末)如圖1,AB〃CD,點E在AB上，點H在CD上，點F在直

線AB,CD之間，連接EF,FH,/BEF=a,ZFHD=0.

(1)直接寫出/EFH的度數為；

(2)如圖2,若HM平分/CHF,MN平分NBEF,證明：ZEFH+2ZM=180°；

(3)如圖3,若NBEN=^NBEF,NMHC=L/FHC,則NM=.(用

含有n,a,B的式子表示)

11.（2022春?吉安期中）如圖1,已知直線CD〃EF,點A、B分別在直線CD、直線EF

上，P為兩平行線間一點.

圖1圖2圖3

猜想

（1）猜想/DAP,NFBP,/APB之間有什么數量關系？并說明理由.

應用

（2）利用（1）的結論解答：

①如圖2,APi、BPi分別平分NDAP、ZFBP,請你直接寫出NP與/Pi的數量關系，

不需要說明理由；

②如圖3,AP2、BP2分別平分/CAP、ZEBP,若NAPB=a,求/AP2B的大小（用含a

的代數式表示）.

12.(2022春?涪陵區校級期中)AB〃CD,直線EF交AB于點E,交CD于點F,點G在

CD上，點P在直線EF右側、且在直線AB和CD之間，連接PE、PG.

(1)如圖1,求證：ZEPG=ZBEP+ZPGD；

(2)如圖1,連接EG,若EG平分NPEF,ZBEP+ZPGE=110°,ZPGD=AzEFD,

2

NPGD=30°.求/BEP的度數；

(3)如圖2,若EF平分NPEA,NPGD的平分線GN所在的直線與EF相交于點H,則

/EPG與/EHG之間的數量關系，并說明理由.

圖1圖2

13.（2022?天津模擬）如圖，直線AB〃CD,直線EF與AB、CD分別交于點G、H,Z

EHD=a（00<a<90°）.小安將一個含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使

點N、M分別在直線AB、CD上，且在點G、H的右側，ZP=90°,NPMN=60°.

（1）填空：ZPNB+ZPMDZP（填“>”或“=”）；

（2）若/MNG的平分線NO交直線CD于點O,如圖②.

①當NO〃EF,PM〃EF時，求a的度數；

②小安將三角板PMN保持PM〃EF并向左平移，在平移的過程中求/MON的度數（用

含a的式子表示）.

14.（2022春?朝陽區校級期中）如圖1,AB〃CD,點E,F分別在直線CD,AB上，Z

BEC=2/BEF,過點A作AG_LBE的延長線交于點G,交CD于點N,AK平分NBAG,

交EF于點H,交BE于點M.

圖1圖2

(1)直接寫出NAHE,ZFAH,/KEH之間的關系：.

(2)若/BEFT/BAK,求NAHE.

2

(3)如圖2,在(2)的條件下，將aKHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉，旋

轉時間為t,當KE邊與射線ED重合時停止，則在旋轉過程中，當aKHE的其中一邊與

△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值.

15.(2021秋?王益區期末)已知：ZAOB=a(0°<a<90°),一塊三角板CDE中，Z

CED=90°,NCDE=30°,將三角板CDE如圖所示放置，使頂點C落在OB邊上，經

過點D作直線MN〃OB交OA邊于點M,且點M在點D的左側.

(1)如圖，若CE〃OA,ZNDE=45°,貝Ua=°；

(2)若/MDC的平分線DF交OB邊于點F,

①如圖，當DF〃OA,且a=60°時，試說明：CE〃OA；

②如圖，當CE〃OA保持不變時，試求出NOFD與a之間的數量關系.

16.(2022春?游仙區校級期末)如圖1,E點在BC上，NA=ND,ZACB+ZBED=180°.

(1)求證：ABZ/CD；

(2)如圖2,AB〃CD,BG平分/ABE,與NEDF的平分線交于H點，若/DEB比N

DHB大60°,求NDEB的度數.

(3)保持(2)中所求的/DEB的度數不變，如圖3,BM平分NEBK,DN平分/CDE,

作BP〃DN,則NPBM的度數是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由.

17.(2022春?沈丘縣期末)如圖1,將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中/ONM

=30°,ZOCD=45°

（1）觀察猜想

將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點O與點N重合，CD與

MN相交于點E,則NCEN=°.

（2）操作探究

將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉，使一邊OD在/MON的內部，如圖

3,且OD恰好平分NMON,CD與NM相交于點E,求NCEN的度數；

（3）深化拓展

將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，當邊OC旋

轉°時，邊CD恰好與邊MN平行.（直接寫出結果）

18.（2022春?廣州期中）如圖1,MN〃PQ,直線AD與MN、PQ分別交于點A、D,點

B在直線PQ上，過點B作BGLAD,垂足為點G.

（1）求證：ZMAG+ZPBG=90°；

（2）若點C在線段AD上（不與A、D、G重合），連接BC,NMAG和/PBC的平分

線交于點H,請在圖2中補全圖形，猜想并證明/CBG與/AHB的數量關系：

（3）若直線AD的位置如圖3所示，（2）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不

成立，請直接寫出/CBG與NAHB的數量關系.

19.（2022春?廣陵區期中）（1）光線從空氣中射入水中會產生折射現象，同時光線從水

中射入空氣中也會產生折射現象，如圖1,光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣

中，形成光線b,根據光學知識有/1=/2,Z3=Z4,請判斷光線a與光線b是否平行,

并說明理由；

（2）如圖2,直線EF上有兩點A、C,分別引兩條射線AB、CD.已知/BAF=150°,

NDCF=80°,射線AB、CD分別繞點A、點C以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉

動，設時間為t秒，當射線CD轉動一周時，兩條射線同時停止.則當直線CD與直線

AB互相垂直時，t=秒.

圖1圖2

20.(2022春?廣陵區期中)已知，AB〃CD,點E為射線FG上一點.

(1)如圖1,若NEAF=30°,NEDG=40°,則NAED=°；

(2)如圖2,當點E在FG延長線上時，此時CD與AE交于點H,則NAED、NEAF、

NEDG之間滿足怎樣的關系，請說明你的結論；

(3)如圖3,DI平分NEDC,交AE于點K,交AI于點L且NEAI：ZBA1=1：2,Z

AED=22°,ZI=20°,求NEKD的度數.

21.(2022?天津模擬)已知，直線AB〃DC,點P為平面上一點，連接AP與CP.

(1)如圖1,點P在直線AB、CD之間，當NBAP=60°,/DCP=20°時，求/APC.

(2)如圖2,點P在直線AB、CD之間，NBAP與NDCP的角平分線相交于點K,寫出

NAKC與/APC之間的數量關系，并說明理由.

(3)如圖3,點P落在CD外，/BAP與NDCP的角平分線相交于點K,NAKC與N

APC有何數量關系？并說明理由.

22.(2022春?臨淄區期末)“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起

見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針

旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交

叉照射巡視.若燈A轉動的速度是每秒2度，燈B轉動的速度是每秒1度.假定主道路

是平行的，即PQ〃MN,且NBAM：ZBAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=°；

(2)若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈

轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過

C作NACD交PQ于點D,且NACD=120°,則在轉動過程中，請探究/BAC與NBCD

的數量關系是否發生變化？若不變,請求出其數量關系；若改變，請說明理由.

23.(2022秋?鯉城區校級期末)如圖,己知AB〃CD,NBAE=30°,ZDCE=60°,EF、

EG三等分NAEC(即/AEF=NFEG=NGEC).

(1)求NAEF的度數；

(2)EF〃AB嗎？為什么？

D

24.(2020秋?市中區期末)“成綿樂高鐵”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋

轉探照燈.如圖1所示燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從

BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是每

秒3度，燈B轉動的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ〃MN,且NBAM：

ZBAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=；

(2)若燈B射線先轉動15秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈

轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時開始轉動，兩燈射出的光束交于點C,則在燈B射線到達BQ

之前，A燈轉動幾秒時，NACB=120°.

圖2

25.(2021春?滁州期末)已知AB〃CD,線段EF分別與AB,CD相交于點E,F.

圖1圖2圖3

(1)請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答：

如圖1,當點P在線段EF上時，已知/A=35°,ZC=62°,求NAPC的度數；

解：過點P作直線PH〃AB,

所以NA=NAPH,依據是；

因為AB〃CD,PH〃AB,

所以PH〃CD,依據是；

所以NC=(),

所以NAPC=()+()=ZA+ZC=97°.

(2)當點P,Q在線段EF上移動時(不包括E,F兩點)：

①如圖2,ZAPQ+ZPQC=ZA+ZC+180°成立嗎？請說明理由；

②如圖3,/APM=2/MPQ,ZCQM=2ZMQP,NM+/MPQ+/PQM=180°,請直

接寫出/M,NA與NC的數量關系.

I⑥知識集結

1.方向角

方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角

(1)方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準，來描述物體所處的方向.

(2)用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊,

故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.(注意幾個方向的角平分線按日

常習慣，即東北，東南，西北，西南.)

(3)畫方向角

以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.

2.角的計算

①NAOB是NAOC和/BOC的和，記作：ZAOB=ZAOC+ZBOC./AOC是NAOB和

NBOC的差，記作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射線OC是NAOB的三等分線，則/

AOB=3/BOC或/BOC=_1/AOB.

3

(2)度、分、秒的加減運算.在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加

減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60.

(3)度、分、秒的乘除運算.①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位.②除法：

度、分、秒分別去除，把每一次的余數化作下一級單位進一步去除.

3.垂線

(1)垂線的定義

當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

(2)垂線的性質

在平面內，過一點有且只有一條直線與己知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

4.平行線

在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種：平行和相交(重合除外).

(1)平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線.

記作：a〃b；

讀作：直線a平行于直線b.

(2)同一平面內，兩條直線的位置關系：平行或相交，對于這一知識的理解過程中要注意:

①前提是在同一平面內：

②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線.

5.平行線的判定

(1)定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成:

同位角相等，兩直線平行.

(2)定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成:

內錯角相等，兩直線平行.

(3)定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡單說

成：同旁內角互補，兩直線平行.

(4)定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

(5)定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

6.三角形的面積

(1)三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即SA=工X底X高.

2

(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

7.三角形內角和定理

(1)三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內角，且

每個內角均大于0°且小于180°.

(2)三角形內角和定理：三角形內角和是180°.

(3)三角形內角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角.在

轉化中借助平行線.

(4)三角形內角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數.①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系,

用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

8.角平分線的定義

(1)角平分線的定義

從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.

(2)性質：若OC是/AOB的平分線則NAOC=/BOC=L/AOB或NAOB=2/AOC=

2ZBOC.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規作圖法等，要注意積累，多動手實踐.

9.余角和補角

(1)余角：如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角.叩其中一個角是

另一個角的余角.

(2)補角：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角.即其中一個角

是另一個角的補角.

(3)性質：等角的補角相等.等角的余角相等.

(4)余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯.

注意：余角(補角)與這兩個角的位置沒有關系.不論這兩個角在哪兒，只要度數之和滿足

了定義，則它們就具備相應的關系.

10.垂線

(1)垂線的定義

當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

(2)垂線的性質

在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

11.平行公理及推論

(1)平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行公理中要準確理解“有且只有”的含義.從作圖的角度說，它是“能但只能畫出

一條”的意思.

(3)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

(4)平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結論在證明直

線平行時應用.

12.平行線的性質

1、平行線性質定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相

等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補..簡單說成：兩直線平行，同旁

內角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

13.平行線的判定與性質

(1)平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系.平行線的性質是由平行關系

來尋找角的數量關系.

(2)應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆.

(3)平行線的判定與性質的聯系與區別

區別：性質由形到數，用于推導角的關系并計算；判定由數到形，用于判定兩直線平行.

聯系：性質與判定的已知和結論正好相反，都是角的關系與平行線相關.

(4)輔助線規律，經常作出兩平行線平行的直線或作出聯系兩直線的截線，構造出三類角.

參考答案與試題解析

1.【考點】平行線的性質.

【專題】動點型；探究型；線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】(1)如圖1,延長BP交直線AC于點E,由AC〃BD,可知/PEA=/PBD.由

ZAPB=ZPAE+ZPEA,可知/APB=NPAC+NPBD；

(2)過點P作AC的平行線，根據平行線的性質解答；

(3)根據P的不同位置，分三種情況討論.

【解答】解：(1)解法一：如圖1延長BP交直線AC于點E.

VAC/7BD,

AZPEA=ZPBD.

ZAPB=ZPAE+ZPEA,

???NAPB=/PAC+NPBD；

圖1圖2圖3

解法二：如圖2,

過點P作FP〃AC,

.'.ZPAC=ZAPF.

VAC//BD,

???FP〃BD.

???NFPB=NPBD.

???NAPB=NAPF+NFPB.

=ZPAC+ZPBD；

解法三：如圖3,

VACZ/BD,

.,.ZCAB+ZABD=180°,

NPAC+NPAB+NPBA+NPBD=180°.

又NAPB+NPBA+NPAB=180°,

JNAPB=NPAC+NPBD.

(2)不成立.

(3)(a)當動點P在射線BA的右側時，結論是：

ZPBD=ZPAC+ZAPB.

(b)當動點P在射線BA上，結論是：

或NPAC=NPBD+NAPB或NAPB=O°,

ZPAC=ZPBD(任寫一個即可).

(c)當動點P在射線BA的左側時，

結論是NPAC=NAPB+NPBD.

選擇（a）,

證明：如圖4,連接PA,連接PB交AC于M.

VAC/7BD,

，/PMC=NPBD.

又；NPMC=NPAM+NAPM（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）,

；./PBD=/PAC+NAPB.

選擇（b）證明：如圖5,

:點P在射線BA上，

...NAPB=O度.

；AC〃BD,

NPBD=NPAC.

.-.ZPBD=ZPAC+ZAPB,

或NPAC=NPBD+NAPB,

或NAPB=O°,NPAC=NPBD.

選擇（c）,

證明：如圖6,連接PA,連接PB交AC于F,

：AC〃BD,

.\ZPFA=ZPBD.

ZPAC=ZAPF+ZPFA,

NPAC=ZAPB+ZPBD.

【點評】此題考查了角平分線的性質；是一道探索性問題，旨在考查同學們對材料的分

析研究能力和對平行線及角平分線性質的掌握情況.認真做好（1）（2）小題，可以為

（3）小題提供思路.

2.【考點】平行線的性質；余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】（1）過P作PQ〃AB,根據平行線的性質可得NEPF=120。；

（2）EP〃FN,根據角平分線的定義和三角形外角的性質可得N4=2N1=/AEP,進而

可得結論；

（3）根據角平分線的定義和平行線的性質分情況討論即可.

【解答】解：（1）如圖，過P作PQ〃AB,

；AB〃CD,

；.PQ〃CD,

.-.ZQPE=ZAEP=45°,ZQPF=Z1800-ZDFP=180°-105°=75°,

...NEPF=NQPE+NDFP=45°+75°=120°.

故NEPF=120°；

(2)EP〃FN,如圖，

理由：?.?EM平分NAEP,FN平分NMFD,

.\ZAEP=2Z1,NMFD=2N3,

由(1)得，ZM=Z1+ZCFM=Z1+(180°-2Z3)=Z1+(180°-2Z4),

VAB/7CD,

AZ3=Z4,

由三角形外角的性質可得，ZN=Z4-Z2=Z4-Zl,

???/1\4與32?4互補，

AZ1+(180°-2Z4)+3(Z4-Zl)=180°,

整理得，Z4=2Z1=ZAEP,

???EP〃FN；

(3)@ZEPF+2ZENF=180°.如圖，

???NCFH=NEHF,ZEKF=ZDFK,

YFN平分NDFP,ME平分NAEP,

/.ZCFH=180°-2ZDFK,ZAEP=2ZAEM=2ZKEN,

由外角的性質得，NEPF=NEHF-NAEP=1800-2ZDFK-2ZAEM,ZENF=Z

EKF+ZKEN=ZDFK+ZAEM,

???NEPF=180°-2ZENF,

.".ZEPF+2ZENF=180°.

?ZEPF=2ZENF-180°?如圖,

VAB/7CD,

NPKB=NPFD=2NDFN,

由外角的性質得，ZEPF=ZPKB-ZBEP=ZPKB-(180°-2NMEP)=2NDFN+2

ZAEM-180°,

由（1）得，ZENF=ZDFN+ZNEK=ZDFN+ZAEM,

2ZENF=2ZDFN+2ZAEM,

AZEPF=2ZENF-180°.

【點評】本題考查平行線判定和性質，角平分線的定義，三角形外角與內角的關系，根

據題意理清各角之間的關系是解題關鍵.

3.【考點】平行線的性質.

【分析】（1）過點P作PE〃AB,根據兩直線平行，內錯角相等可得NB=N1,ZD=

N2,再根據/BPD=/l+/2即可得解；

（2）連接QP并延長，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答；

（3）依據（2）中的結論、三角形的內角和及三角形的外角和即可求得.

【解答】解：（1）過點P作PE〃AB,

；AB〃CD,

；.AB〃EP〃CD,

=ND=/2,

.,.ZBPD=ZB+ZD；

（2）如圖，連接QP并延長，

結論：ZBPD=ZBQD+ZB+ZD.

ZBPD=（ZBQP+ZB）+（ZDQP+ZD）=ZBQD+ZB+ZD.

（3）VZANF=105°,

；./ENF=/B+NE+/F=180°-105°=75°,

ZA=ZAMB-ZB-ZE,

NF=180°-ZANF-ZB-ZE,

AZA-ZF=ZAMB+ZANF-180°=65°.

故答案為：NBPD=NB+/D；75,65.

B_X

【點評】本題考查了平行線的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

的性質，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵.

4.【考點】平行線的性質；余角和補角；垂線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】（1）過點E作EG〃AB,根據a〃b,可得EG〃CD,得/ABE+NCDE=NBED

=90。；

（2）過點F作FH〃AB,結合（1）的方法，根據BF平分NABC,DF平分NADC,即

可求/BFD的度數；

（3）過點F作FH〃AB,結合（1）的方法，根據BF平分NABC,DF平分NADC,設

NABC=a,NADC=0,即可用含有a,0的代數式表示NBFD的補角.

【解答】解：（1）過點E作EG〃AB,

ABa

①

???a〃b,

???EG〃CD,

???NABE=NBEG,ZCDE=ZDEG,

???NABE+NCDE=ZBEG+ZDEG=ZBED,

VAD±BC,

JNABE+NCDE=ZBED=90°；

(2)如圖，過點F作FH〃AB,

圖2

???FH〃CD,

/.ZABF=ZBFH,NCDF=NDFH,

JNBFD=ZABF+ZCDF=ZBFH+ZDFH,

YBF平分/ABC,DF平分NADC,ZABC=64°,ZADC=72°,

???NABF=-1/ABC=32°,ZCDF=-1/ADC=36°,

22

???NBFD=NABF+NCDF=68°；

(3)如圖，過點F作FH〃AB,

圖3

\?a〃b,

???FQ〃CD,

，NABF+NBFQ=180°,NCDF=NDFQ,

ZBFD=ZBFQ+ZDFQ=180°-ZABF+ZCDF

：BF平分/ABC,DF平分NADC,ZABC=a,ZADC=p,

.?.NABF”/ABC=La，NCDF=上/ADC=J-B,

2乙22A2P

...NBFD=180°-ZABF+ZCDF=180°R,

22P

；./BFD的補角=^aB.

22P

【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線定義，解決本題的關鍵是掌握平行線的性

質.

5.【考點】平移的性質；平行線的判定與性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【分析】(1)根據平行線的性質得到NBAE+/E=180°,利用等量代換得到/BAE+

ZB=180°,即可證出.

(2)①過點D作DM〃PQ,則DM〃AE,根據平行線的性質即可得到答案.

②兩種情況，運用類比的方法，當點P在線段AD上時;過點D作DF〃AE交AB于點F,

根據平行線的性質即可得到答案；當點P在線段DA的延長線上時，過點D作DF〃AE

交AB于點F,根據平行線的性質即可得到答案.

【解答】(1)證明：VDE/7AB

AZBAE+ZE=180°

又；NB=/E

.,.ZBAE+ZB=180°

；.AE〃BC

(2)解：①如圖，

過點D作DM〃PQ,貝ljDM〃AE,

；./E=NEDM,NQ=NMDQ,

AZE+ZQ=ZEDM+ZMDQ=90°,

而NE=65°,

ZQ=90°-65°=25°,

故答案為：25°.

②如圖，當點P在線段AD上時，

過點D作DF//AE交AB于點F,

；PQ〃AE,

；.DF〃PQ,

.?.NQDF=180°-ZQ,

VZQ=2ZEDQ,

即NEDQ蔣NQ，

VZE=65°,

.\ZEDF=180°-65°=115°,

???NQDF=1150卷NQ=1800-NG

如圖，當點P在線段DA的延長線上時，過點D作DF〃AE交AB于點F,

,:PQ〃AE,

???DF〃PQ,

.?.ZQDF=180°-ZQ,

???NQ=2NEDQ,即NEDQ=/NQ，

VZE=65°,

.\ZEDF'=180°-65°=115°,

1800-ZQ-^ZQ=115°-

.*./Q=130°,

綜上所述：NQ的度數為國二或130°.

3

【點評】此題考查了平移的性質，平行線的判定和性質，解題關鍵是熟練掌握相關知識

并正確作出輔助線.

6.【考點】平行線的判定與性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；幾何直觀；推理能力.

【分析】(1)根據平行線的性質求出/CNM=110°,由角平分線定義求出NENM的度

數，即可得到結論；

(2)根據平行線的性質以及角平分線得到定義，即可得出/MEN=90°,再根據NG_L

EN,即可得到/MEN+/ENH=180°,進而得到EM〃NG；

(3)先設NHEG=x,則/HGE=/MEG=x,/NEH=90°-2x,根據EP平分/FEH,

可得/FEH=2(ZPEG+x),再根據NFEH+NHEN=180°,可得方程2(NPEG+x)

+90°-2x=180°,進而解得/PEG.

【解答】解：(1)：AB〃CD,

.../AMN+NCNM=180°,

；NAMN=70°,

.?.NCNM=110°

INE平分NCNM,

?■?ZENM=yZCNM=55°'

VNG1EN,

AZENG=90°,

.?.NMNG=90°-NENM=35°,

故答案為：35°；

(2)VAB/7CD,

.,.ZAMN+ZCNM=180°,

VME,NE分別是/AMN與/CNM的平分線，

?*-ZEMN=yZAMN,ZENM-yZCNM'

?e-ZEMN+ZENM=y(ZAMN+ZCNM)=90°(即ZMEN=90°，

又：NG_LEN,

/.ZENG=90°,

AZMEN+ZENH=180°,

；.EM〃NG；

(3)設NHEG=x,則NHGE=NMEG=x,ZNEH=90°-2x,

；EP平分NFEH,

.,.ZFEH=2ZPEH=2(ZPEG+x),

又：/FEH+/HEN=180°,

：.1(ZPEG+x)+90°-2x=180°,

.'.ZPEG=45°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質與判定，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等;

同旁內角互補，兩直線平行.

7.【考點】平行線的性質；角平分線的定義.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力；推理能力；模型思想.

【分析】(1)過點P作PQ〃AB,得AB〃CD〃EF,得NQPE=NPEB,NQPC=NC,

兩式相減便可得出結論：

(2)由(1)中結論可得/P=NPEB-/PFD,ZQ=ZCFQ-ZAEQ,設NBEM=a,

NCFN=0,因為EM平分/BEP,FN平分NCFP,所以/PEM=a,/PFN=|J,即得N

P=2a+2p-180°,ZQ=180°-ZCFN-ZBEM=180°-p-a,即可得解；

(3)易得/CPE=(n+1)ZCPN,NPCD=(n+1)ZPCN,再結合(1)結論，具體

見解答過程.

【解答】(1)證明：過點P作PQ〃AB,如圖，

0

：AB〃CD,

；.AB〃CD〃EF,

.?.ZQPE=ZPEB,ZQPC=ZC,

，ZQPE-/QPC=ZPEB-ZC,

即NCPE=NPEB-ZC；

(2)如圖：

設/BEM=a,ZCFN=P，

：EM平分NBEP,FN平分NCFP,

；./PEM=a,NPFN=。，

由(1)中結論可得NP=NPEB-NPFD,

NQ=NCFQ-ZAEQ,

NP=NPEM+NBEM-(1800-ZCFN-ZPFN)

=a+a-(180°-p-p)=2a+2p-180°,

ZQ=180°-ZCFN-ZBEM=180°-p-a,

.?.2NQ+NP=360°-2p-2a+2a+2p-180°=180°,

HP2ZQ+ZP=180"；

(3)如圖：

與(1)同理可得，ZCPE=ZPEB-ZPCD,

ZEPN=nZCPN,NEPN+/CPN=ZCPE,

AZCPE=(n+1)ZCPN,

：NDCN=nNPCN,/DCN+/PCN=/PCD,

AZPCD=(n+1)ZPCN,

(n+1)NPCN=/PEB-(n+1)ZCPN,

又???/PEB=180°-ZPEA,

(n+1)(ZCPN+ZPCN)=180°-ZPEA,

又,.?/CPN+NPNC=180°-ZCNP,

(n+1)(180°-ZCNP)=180°-ZPEA,

又；2/CNP-NPEA=180°,

(n+1)(180°-ZCNP)+2ZCNP=360°,

(n+1)(180°-ZCNP)-2(180°-ZCNP)=0,

(n-1)(180°-ZCNP)=0,

，n-1=0或180°-ZCNP=0(不符合題意，舍法)

An-1=0,解得n=l,

故答案為：1.

【點評】本題考查平行線的性質、角平分線分得的角相等、模型思想，解題關鍵是熟練

掌握平行線性質，應用(1)所得結論解決(2)和(3)中問題，計算繁瑣，難度較大，

易出錯.

8.【考點】平行線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】(1)根據平行線的性質可得NAEC=/ECD,ZPDC=ZDCF,然后根據外角

的性質即可證得結論；

(2)設NECD=NFCD=a,則NECF=2a,設NHPF=NHFP=(3,根據平行線的性質

可推出/EPD=/ECF=2a,NFPD=NPFH=(3,NAEC=NECD=a,從而得出/EPH

=2a+2p,根據已知條件NHPQ+NAEC=90°,可得出2a+p=90°,進一步得出結果.

【解答】(1)證明：；AB〃CD,

.,.ZAEC=ZECD,

VPD/7CF,

NPDC=NDCF,

；NDPE=NECD+/PDC,

ZDPE=ZAEC+ZDCF；

(2)：CD平分/ECF,

ZECF=2ZECD=Z2FCD,

設NECD=/FCD=a,則/ECF=2a,

設NH