2024年四川省廣元市中考數學試卷一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）1．（3分）將﹣1在數軸上對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．（3分）下列計算正確的是（）A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab2）2＝a2b43．（3分）一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）在“五?四”文藝晚會節目評選中，某班選送的節目得分如下：91，96，92，94，95，分析這組數據（）A．中位數是95 B．方差是3 C．眾數是95 D．平均數是945．（3分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，則∠CDE等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°6．（3分）如果單項式﹣x2my3與單項式2x4y2﹣n的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標系中點（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，點B，E，連接CE，點D恰好落在線段CE上，BC＝1，則AD的長為（）A． B． C．2 D．8．（3分）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”，現需要購買A、B兩種綠植，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，圖②是點P運動時，△ABP的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三角形的斜邊AB的長為（）A．5 B．7 C． D．10．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過點C（0，﹣2）與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，則下列結論：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有兩個不相等的實數根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應題目的橫線上．每小題4分，共24分）11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝．12．（4分）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒，將43阿秒用科學記數法表示為秒．13．（4分）點F是正五邊形ABCDE邊DE的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G，則∠BGC的度數為．14．（4分）若點Q（x，y）滿足，則稱點Q為“美好點”．15．（4分）已知y＝x與y＝（x＞0）的圖象交于點A（2，m），將△OAB沿OA翻折，使點B恰好落在y＝（x＞0），則B點坐標為．16．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，則AC+BC的最大值為．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）17．（6分）計算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．18．（8分）先化簡，再求值：÷﹣，其中a19．（8分）如圖，已知矩形ABCD．（1）尺規作圖：作對角線AC的垂直平分線，交CD于點E，交AB于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AE、CF，求證：四邊形AFCE是菱形．20．（9分）廣元市開展“蜀道少年”選拔活動，旨在讓更多的青少年關注蜀道、了解蜀道、熱愛蜀道、宣傳蜀道，進一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識，并從全校學生中抽取了若干學生的競賽成績進行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并繪制了如下尚不完整的統計圖．抽取學生成績等級人數統計表等級ABCDE人數m2730126其中扇形圖中C等級區域所對應的扇形的圓心角的度數是120°．（1）樣本容量為，m＝；（2）全校1200名學生中，請估計A等級的人數；（3）全校有5名學生得滿分，七年級1人，八年級2人，從這5名學生中任意選擇兩人在國旗下分享自己與蜀道的故事，請你用畫樹狀圖或列表的方法．求這兩人來自同一個年級的概率．21．（9分）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，介質對光作用的一種特征．（1）若光從真空射入某介質，入射角為α，折射角為β，β＝30°，求該介質的折射率；（2）現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，B、C、D分別是長方體棱的中點，若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出，如圖②，CD＝10cm，求截面ABCD的面積．22．（10分）近年來，中國傳統服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，進貨價和銷售價如表：價格/類別短款長款進貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數；（2）第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應如何設計進貨方案，最大銷售利潤是多少？23．（10分）如圖，已知反比例函數y1＝和一次函數y2＝mx+n的圖象相交于點A（﹣3，a），B（a+，﹣2）兩點，O為坐標原點，OB．（1）求y1＝與y2＝mx+n的解析式；（2）當y1＞y2時，請結合圖象直接寫出自變量x的取值范圍；（3）求△AOB的面積．24．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，⊙O經過A、C兩點，交AB于點D，DE∥CF交BC于點E．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半徑．25．（12分）數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創造”的過程，創新能力的一種手段．小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產生了如下問題在△ABC中，點D為邊AB上一點，連接CD．（1）初步探究如圖2，若∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB；（2）嘗試應用如圖3，在（1）的條件下，若點D為AB中點，求CD的長；（3）創新提升如圖4，點E為CD中點，連接BE，∠ACD＝∠EBD，AC＝226．（14分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣3，﹣1），與y軸交于點B（0，2）．（1）求拋物線的函數表達式；（2）在直線AB上方拋物線上有一動點C，連接OC交AB于點D，求的最大值及此時點C的坐標；（3）作拋物線F關于直線y＝﹣1上一點的對稱圖象F′，拋物線F與F′只有一個公共點E（點E在y軸右側），G為直線AB上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形

1．B．2．D．3．C．4．B．5．A．6．D．7．A．8．C．9．C．11．（a﹣1）2．12．4.3×10﹣17．13．18°．14．（3，﹣1）（答案不唯一，y≠0）．15．（0，4）．16．．17．解：原式＝1+2﹣+﹣4＝2+2﹣4＝4﹣4＝﹣1．18．解：原式＝?﹣＝﹣＝，∵b﹣2a＝8，∴b＝2a，∴原式＝＝．19．（1）解：如圖1所示：（2）證明：如圖2設EF與AC的交點為O，由（1）可知，∴EA＝EC，FA＝FC，∠COE＝∠AOF＝90°，OA＝OC，又∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠ECO＝∠FAO，在△COE和△AOF中，，∴△COE≌△AOF（ASA），∴EC＝FA，∴EA＝EC＝FA＝FC，∴四邊形AFCE是菱形．20．解：（1）樣本容量為：30÷＝90，∴m＝90﹣27﹣30﹣12﹣6＝15，故答案為：90，15；（2）1200×＝200（名），答：全校1200名學生中，估計A等級的人數有200名；（3）把七年級1人記為A，八年級5人分別記為B、C、E，畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結果，其中選擇的兩人來自同一個年級的結果有4種、CB、ED，∴這兩人來自同一個年級的概率＝＝．21．解：（1）∵，∴如圖，設，由勾股定理得，，∴，又∵β＝30°，∴，∴折射率為：；  （2）由題意可得α＝60°，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，點O是AD中點∴AD＝2OD，∠D＝90°，又∵∠OCD＝β，∴，在Rt△ODC中，設，OC＝3x，，∴，∴OD＝＝，∴AD＝2OD＝，∴截面ABCD的面積為：AD×CD＝＝cm2．22．解：（1）由題意，設購進短款服裝x件，∴．∴．答：長款服裝購進30件，短款服裝購進20件．（2）由題意，設第二次購進m件短款服裝，∴80m+90（200﹣m）≤16800．∴m≥120．又設利潤為w元，則w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000．∵﹣10＜0∴w隨m的增大而減小．∴當m＝120時，利潤w最大為：﹣10×120+6000＝4800（元）．答：當購進120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤．23．解：（1）∵反比例函數y1＝和一次函數y2＝mx+n的圖象相交于點A（﹣3，a），﹣8）兩點∴k＝，∴a＝3，∴點A（﹣6，3），∴k＝﹣3×5＝﹣9，∴y1＝﹣，把A（﹣3，3），﹣2）代入y＝mx+n得，解得，∴y2＝﹣；（2）由圖象可知，當y2＞y2時，自變量x的取值范圍為﹣3＜x＜2或；（3）若AB與y軸相交于點C，∴C（2，1），∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝＝．24．（1）證明：連接OD，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠COD＝2∠CAB＝90°，∵DE∥CF，∴∠COD+∠EDO＝180°，∴∠EDO＝90°∴DE為⊙O的切線；（2）解：過點C作CH⊥AB于點H，∵△ACB為等腰直角三角形，AC＝4，∴CH＝AH＝＝2，∵tan∠CFD＝＝2，∴FH＝，在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＝FH2，∴，∵tan∠CFD＝＝＝＝5，∴OD＝．故⊙O的半徑為．25．（1）證明：如圖2，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD?AB．（2）解：如圖5，設AD＝m，∵點D為AB中點，∴AD＝BD＝m，AB＝2m，由（1）得△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD?AB＝m×5m＝2m2，∴AC＝m或AC＝，舍去），∴＝＝＝，∵BC＝6，∴CD＝BC＝，∴CD的長是5．（3）解：如圖4，作BF⊥DC交DC的延長線于點F，∵點E為CD中點，∴CE＝DE，設CE＝DE＝n，∵∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CB＝CD＝4n，∠BCF＝∠CDB+∠CBD＝60°，∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，∴CF＝CB＝n，∴EF＝CE+CF＝7n，BF＝＝＝n，∴BD＝2BF＝2n，BE＝＝＝n，作CH∥EB交AB的延長線于點H，則△HDC∽△BDE，∴＝＝＝＝8，∴HC＝2BE＝2n，HD＝2BD＝4n，∵∠ACD＝∠EBD，∠H＝∠EBD，∴∠ACD＝∠H，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△AHC，∴＝＝＝＝＝，∵AC＝2，∴AD＝AC＝＝4AC＝＝14，∴HD＝AH﹣AD＝14﹣2＝12，∴4n＝12，解得n＝，∴BE＝×＝，∴BE的長是．26．解：（1）將A（﹣3，﹣1），6）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的函數表達式為y＝﹣x2﹣2x+2；（2）如圖1，過點C作x軸的垂線交AB于點M，∴△CDM∽△ODB，∴，設AB的解析式為y＝mx+n，把A（﹣3，﹣1），2）代入解析式得，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+8，設C（t，﹣t2﹣2t+4），則M（t，∴CM＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣2＝﹣t2﹣8t＝﹣（t+）5+，∵﹣7＜t＜0，∴當t＝﹣時，