概率及其計算

一、考綱解讀

1.了解隨機事件發生的不確定性、頻率的穩定性、概率的意義、頻率與概率的區

別。

2.了解兩個互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率計算公式。

4.了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率。

5.了解幾何概型的意義。

二、命題趨勢探究

1.本部分為高考必考內容，在選擇題、填空題和解答題中都有滲透。

2.命題設置以兩種概型的概率計算及運用互斥、對立事件的概率公式為核心內容,

題型及分值穩定，難度中等或中等以下.

三、知識點精講

(-).必然事件、不可能事件、隨機事件

在一定條件下：

①必然要發生的事件叫必然事件；

②一定不發生的事件叫不可能事件；

③可能發生也可能不發生的事件叫隨機事件。

(-).概率

在相同條件下，做次重復實驗，事件A發生次，測得A發生的頻率為，當很大

時，A發生的頻率總是在某個常數附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，

這時就把這個常數叫做A的概率，記作。對于必然事件A,；對于不可能事件A,

（三）.兩個基本概型的概率公式

1、古典概型

條件：1、基本事件空間含有限個基本事件2、每個基本事件發生的可能性相同

p（A\_A包含基本事件數_card（N）

（產基本事件總數一cardQ）

2、幾何概型

條件：每個事件都可以看作某幾何區域。的子集A,A的幾何度量（長度、面積、

體積或時間）記為〃L

P（A）=^-0

4c

（四）.互斥事件

1、互斥事件

在一次實驗中不能同時發生的事件稱為互斥事件。事件A與事件B互斥，則

P（AUB）=P（A）+P（B）

2、對立事件

事件A,B互斥，且其中必有一個發生，稱事件A,B對立，記作8=4或4=與。

P（A）=l-p（A）

O

3、互斥事件與對立事件的聯系

對立事件必是互斥事件，即“事件A,B對立“是"事件A,B互斥"的充分不必要

條件。

四、解答題總結

1.某興趣小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參加活動，則恰

好選中2名女生的概率為—.

2.從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4

人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數

字作答）

3.記函數./Xx）=J6+X-Y的定義域為O.在區間［T,5］上隨機取一個數x,

則xw￡）的概率是.

4.有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡

片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2"，乙看了丙的卡

片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1"，丙說：“我的卡片上的數字之和不

是5”，則甲的卡片上的數字是.

5.將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相

鄰的概率為.

6.甲、己兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1

種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為.

7.在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎，甲、乙兩人各抽取1張，

兩人都中獎的概率是;

8.在區間［-2,4］上隨機地取一個數尤，若無滿足|x|V加的概率為鄉，則機=.

9.從1,2,3,4這四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍

的概率為

答案：

1.5【解析】記2名男生分別為A,B,3名女生分別為a,h,c,則從中任

選2名學生有AB,Aa,Ah,Ac,Ba,Bb,Be,ab,ac,be,共10種情

3

況，其中恰好選中2名女生有"，ac,he,共3種情況，故所求概率為三.

10

2.660【解析】由題意可得：總的選擇方法為：C：xC：xC；種方法，其中不滿足

題意的選法有Q(種方法，則滿足題意的選法有：

C；xCi<C-jcX，xC：=66。種.

3.-【解析】由6+》-爐20,解得_2〈尤<3,根據幾何概型的計算公式得概

9

率為

3-(-2)=5

5-(-4)-9'

4.1和3【解析】為方便說明，不妨將分別寫有1和2,1和3,2和3的卡片記

為A,B,C從丙出發，由于丙的卡片上的數字之和不是5,則丙只可能是卡片

A或B,無論是哪一張，均含有數字1,再由乙與丙的卡片上相同的數字不是1

可知，乙所拿的卡片必然是C,最后由甲與乙的卡片上相同的數字不是2,知甲

所拿的卡片為B,此時丙所拿的卡片為A.

2

5.-【解析】設2本數學書分別為A、B,語文書為G,則所有的排放順序有

3

ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA,共6種情況，其中數學書相鄰的有ABC、

42

BAC、CAB、CBA,共4種情況，故2本數學書相鄰的概率P.

63

6.-【解析】甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服

3

中選擇1種的所有可能情況為（紅，白），（白，紅），（紅，藍），（藍，紅），（白，

藍），（藍，白），（紅，紅），（白，白），（藍，藍），共9種，他們選擇相同顏色

運動服的所有可能情況為（紅，紅），（白，白），（藍，藍），共3種.故所求概

率為P=—?

3

7.1【解析】設3張獎券中一等獎、二等獎和無獎分別為“,0,c,甲、乙兩人

各抽取一張的所有情況有必,公、,兒,兒、,以,仍共六種，其中兩人都中獎的情況有

心兒共2種，所以概率為:

8.3【解析】由幾何概型，得加一（-2）=「，解得加=3.

4-（-2）6

9.；【解析】從1,2,3,4這四個數中一次隨機取兩個數，基本事件為：{1,2},

{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6個，符合“一個數是另一個數的兩倍”的

基本事件為{1,2},{2,4}共2個，所以概率為g.

統計與統計案例

一、考綱解讀

1.理解隨機抽樣的必要性和重要性。

2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣方法。

3.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫出頻率分布直方圖、頻率折線

圖、莖葉圖，理解它們各自的特點。

4.理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差。

5.能從樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字牲估計總體的基本

數字特征，理解用樣本估計總體的思想。

6.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。

7.會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系。

8.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸

方程。

9.了解常見的統計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題。

（1）獨立性檢驗

了解獨立性檢驗（只要求2x2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用。

（2）回歸分析

了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用。

二、命題趨勢探究

1.本節內容是高考必考內容，以選擇題、填空題為主。

2.命題內容為：（1）三種抽樣（以分層抽樣為主）；（2）頻率分布表和頻率分布直方圖

的制作、識圖及運用。（1）（2）有結合趨勢，考題難度中下。

3.統計案例為新課標教材新增內容，考查考生解決實際問題的能力。

三、知識點精講

（-）.抽樣方法

三種抽樣方式的對比，如表17所示。

類型共同點各自特點相互關系使用范圍

簡單隨機抽樣抽樣過程都從總體中隨機逐個總體容量較

是不放回抽抽取小

樣，每個個體

系統抽樣總體均分幾段，每段第一段簡總體中的個

被抽到的機

會均等，總體T個，單隨機抽體個數較多

容量N,樣本樣

第一段取a\,

容量n,每個

個體被抽到第二段取?+T,

的概率P=2

N第三段取a\+2T,

將總體分成〃層，每每層按簡總體由差異

層按比例抽取單隨機抽明顯的幾部

分層抽樣

樣或系統分組成

抽樣

(-).樣本分析

⑴樣本平均值：X=^±XiO

(2)樣本眾數：樣本數據中出現次數最多的那個數據。

⑶樣本中位數：將數據按大小排列，位于最中間的數據或中間兩個數據的平均數。

(4)樣本方差：?=-^(x,.-x)2。

眾數、中位數、平均數都是描述一組數據集中趨勢的量，方差是用來描述一組數

據波動情況的特征數。

(三).頻率分布直方圖的解讀

(1)頻率分布直方圖的繪制

①由頻率分布表求出每組頻數修；

②求出每組頻率？=乜(〃為樣本容量)；

N

③列出樣本頻率分布表；

④畫出樣本頻率分布直方圖，直方圖橫坐標表示各組分組情況，縱坐標為每組頻

率與組距比值，各小長方形的面積即為各組頻率，各小長方形的面積總和為lo

(2)樣本估計總體

步驟：總體一抽取樣本一頻率分布表T頻率分布直方圖-估計總體頻率分布。

樣本容量越大，估計越精細，樣本容量無限增大，頻率分布直方圖無限無限趨近

概率分布密度曲線。

(3)用樣本平均數估計總體平均數，用樣本標準差估計總體標準差。

公式：aX+b-ax+b,s2(aX+b')=a2s2(X)。

(四).線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數關系的兩個變量之間的關系(相關關系)的方

法。

對于一組具有線性相關關系的數據(用,yi),(及,)2),…，(X",y")，其回歸方程y=Rx+a

的求法為

S(占一項％一y)E%必-nxy

b=^-----——.....—

XV~nX

1=1/=1

a=y-bx

其中，x=,(x,y)稱為樣本點的中心。

步驟：畫散點圖，如散點圖中的點基本分布在一條直線附近，則這條直線叫這兩

個變量的回歸直線，直線斜率Z>0,稱兩個變量正相關；M0,稱兩個變量負相

關。

(五).獨立性

獨立性檢驗是判斷兩個分類變量是否存在相關關系的案例分析方法。

步驟為列出2x2列聯表(如表18所示)，求出犬=------n(ad-hcy------,并判

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

斷：

表18

AiA2合計

B\aca+c

B2bdb+d

合計a+bc+dn=a+h+c+d

若旅>1。828,有99.9%把握稱“A取4或4”對“8取B,毛”有關系;

若10.8282心〉6.635,有99%把握稱“A取4或A/對“8取B,毛”有關系;

若6.635>^2>3.841,有95%把握稱“A取4或A2”對“8取B\,有關系；

若^<3.841,沒有把握稱A與8相關。

四、解答題總結

核心考點一:統計初步

1.某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務的評價有較大差異.為了解客

戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分

層抽樣和系統抽樣，則最合適的抽樣方法是.

2.已知5位裁判給某運動員打出的分數的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打

出的分數的平均數為.

899

9011

3.某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200,400,300,

100件，為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件

進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取件.

4.某網店統計了連續三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天

售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都

售出的商品有4種，則該網店

①第一天售出但第二天未售出的商品有種；

②這三天售出的商品最少有種.

5.已知樣本數據再，X”的均值亍=5,則樣本數據2西+1,2%+1，…,

2土+1的均值為

6.某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統計，發現

消費金額(單位：萬元)都在區間［0.3,0.9］內，其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)直方圖中的4=.

(2)在這些購物者中，消費金額在區間［().5,0.9］內的購物者的人數為.

7.為了了解一片經濟的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：

cm),所得數據均在區間［80,130］上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的

60株樹木中，有株樹木的底部周長小于100cm.

8.某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣

的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查.已知

該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4：5：5：6,則應

從一年級本科生中抽取名學生.

9.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，在全校隨機抽取5個班級，把

每個班級參加該小組的人數作為樣本數據.已知樣本平均數為7,樣本方差為

4,且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為.

10.某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為3：3：4,現用分層抽樣的方法從

該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取名

學生.

答案：

1.分層抽樣【解析】因為不同年齡的客戶對公司的服務評價有較大差異，所以

需按年齡進行分層抽樣，才能了解到不同年齡段客戶對公司服務的客觀評價.

2.90【解析】由莖葉圖可得分數的平均數為89+89+；+91±91=90.

3.18【解析】應從丙種型號的產品中抽取60xC"=18件.

1000

4.①16；②29【解析】①由于前二天都售出的商品有3種，因此第一天售出的

有19-3=16種商品第二天未售出；答案為1.6.

②同①第三售出的商品中有14種第二天未售出，有1種商品第一天未售出，三

天總商品種數最少時，是第三天中14種第二天未售出的.商品都是第一天售出過

的，此時商品總數為29.分別用表示第一、二、三天售出的商品，如圖最

少時的情形.故答案為29.

5.11［解析］由元=5得(2*+1)+(21+1)+…+(2x“+l)

n

=2x內+熱+…+="+1=2元+1=11.

n

6.(1)3；(II)6000【解析】(I)0.1xl.5+0.1x2.5+0.1xa+0.1x2

40.1x0.8+0.1x0.2=1,解得a=3；(II)區間［0.5,0.9］內的頻率為

1-0.1x1.5-0.1x25=0.6,則該區間內購物者的人數為10000x0.6=6000.

7.24【解析】由頻率分布直方圖可得樹木底部周長小于100cm的頻率是(0.025

+0.015)x10=0.4,又樣本容量是60,所以頻數是0.4x60=24.

4

8.60【解析】應從一年級抽取300?-----------60名.

4+5+5+6

9.10【解析】設五個班級的數據分別為a<b<c<d<e。由平均數方差的公式

得

a+b+c+d+e_7(a-7『+3-7)：+(c-7)-+(d-7f+(e-7『=4顯然各個括舁

為整數。設a-7,一一7,c-7,d-7,e-7分別為p,q,r,s,f,(p,q,r,s,teZ),

刖［p+q+r+s+f=0.......⑴

'p2+q2+r+s2+t220---(2)

設/'(x)=(x-p)2+(x-q)2+*-萬+(x-s)-=

4x2-2(p+q+r+s)x+(p2+q2+r2+52)=4%2+2tx+20-Z2,因為數據互不相同,

分析/(x)的構成，得了(幻〉0恒成立，因此判別式口<0,得"4,所以區3,即

e<10o

3

10.15【解析】由題意得高二年級的學生人數占該學校高中人數的名，利用分層

抽樣的有關知識得應從高二年級抽取50x±=15名學生。

10

核心考點二:回歸分析與獨立性檢驗

1.高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績，數學成績與

總成績在全年級中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學生.

26

7

67語

數

文

學

成

成

績

績

年

年

級

級

名

名

次

次

OO

總成績年級名次總成績年級名次267

從這次考試成績看，

①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是;

②在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是.

2.下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折

線圖.

為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量f的兩個

線性回歸模型.根據2000年至2016年的數據（時間變量t的值依次為

1,2,…，17）建立模型①：9=-30.4+135；根據2010年至2016年的數據

（時間變量f的值依次為1,2,…，7）建立模型②：$=99+17.5/.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值;

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

3.為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30min從該生產線

上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗員在一天內依次抽

取的16個零件的尺寸：

抽取

12345678

次序

零件

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

尺寸

抽取

910111213141516

次序

零件10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

尺寸

經計算得六記1y16,=9.97,S=J/啟i16―七/1.16;一*

(1616

?0.212,22(z-8.5)2?18,439,2L(x,.-7)(/-8.5)=-2.78,其中者為抽取的第，

Vi=Ii=l

個零件的尺寸，i=l，2,16.

⑴求(x：,i)(7=1,2,…,16)的相關系數，并回答是否可以認為這一天生產的零件

尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小(若|川＜0.25,則可以認為零件的

尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小).

(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(元-3s,亍+3$)之外的零件，就認為這條

生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

(i)從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？

(ii)在(5-3s,5+3s)之外的數據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當

天生產的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)

附：樣本(%,%)(7=1,2「一,〃)的相關系數,=博*-A件…A，

7(X008?0.09.

4.如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線

圖.

方

京

南

軍

波

營

女

粕

出

時

代碼t

年份

014.

08-2

份20

應年

別對

-7分

代碼1

年份

注：

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附注

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