§2.4函數性質的綜合應用題型一函數的單調性與奇偶性例1(1)(2020·新高考全國Ⅰ)若定義在R上的奇函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]答案D解析因為函數f(x)為定義在R上的奇函數，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，畫出函數f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示． (1)(2)當x≤0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當x>0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．(2)若函數f(x)是定義在R上的奇函數，對于任意兩個正數x1，x2(x1<x2)，都有x2·f(x1)>x1·f(x2)．記a＝25f(0.22)，b＝f(1)，c＝－log53，則a，b，c的大小關系為()A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>b>a答案A解析構造函數g(x)＝eq\f(fx,x)，函數g(x)的定義域為{x|x≠0}，∵函數f(x)為R上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝eq\f(f－x,－x)＝eq\f(fx,x)＝g(x)，則函數g(x)為偶函數，對于任意兩個正數x1，x2(x1<x2)，都有x2·f(x1)>x1·f(x2)，則eq\f(fx1,x1)>eq\f(fx2,x2)，即g(x1)>g(x2)，則函數g(x)在(0，＋∞)上單調遞減，∵a＝25f(0.22)＝eq\f(1,\f(1,25))f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))，b＝f(1)＝g(1)，c＝－log53＝－eq\f(1,log35)f(－log35)＝g(log35)，∵log35>log33＝1>eq\f(1,25)，則g(log35)<g(1)<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))，即a>b>c.思維升華(1)解抽象函數不等式，先把不等式轉化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調性把不等式的函數符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組)．(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區間上，進而利用其單調性比較大小．跟蹤訓練1(2022·南京質檢)已知函數f(x)＝－x－x3，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于零B．一定小于零C．等于零D．正負都有可能答案B解析函數f(x)的定義域為R，又f(－x)＝－(－x)－(－x)3＝x＋x3＝－f(x)，所以函數f(x)是R上的奇函數，由單調性的運算性質可知，函數f(x)是R上的減函數，因為x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，即x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，所以f(x1)<f(－x2)，f(x2)<f(－x3)，f(x3)<f(－x1)，即f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，所以f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0，三式相加可得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.題型二函數的奇偶性與周期性例2(1)(多選)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上單調遞減，下面關于f(x)的判斷正確的是()A．f(0)是函數的最小值B．f(x)的圖象關于點(1,0)對稱C．f(x)在[2,4]上單調遞增D．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱答案ABD解析A項，∵f(x＋2)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)是周期為4的周期函數，又f(x)在[－2,0]上單調遞減，在R上是偶函數，∴在[0,2]上單調遞增，∴f(0)是函數的最小值，正確；B項，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱，正確；C項，又f(x)在[－2,0]上單調遞減，在R上是偶函數，∴在[0,2]上單調遞增，f(x)是周期為4的周期函數，∴f(x)在[2,4]上單調遞減，錯誤；D項，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，正確．(2)(2021·全國甲卷)設函數f(x)的定義域為R，f(x＋1)為奇函數，f(x＋2)為偶函數，當x∈[1,2]時，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A．－eq\f(9,4)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(7,4)D.eq\f(5,2)答案D解析由于f(x＋1)為奇函數，所以函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0. ①由于f(x＋2)為偶函數，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6. ②根據①②可得a＝－2，b＝2，所以當x∈[1,2]時，f(x)＝－2x2＋2.根據函數f(x)的圖象關于直－2＝eq\f(5,2).思維升華周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．跟蹤訓練2已知定義在R上的函數f(x)滿足①f(x＋1)＝－f(x)，②f(x－2)為奇函數，③當x∈[0,1)時，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(x1≠x2)恒成立．則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))，f(4)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))的大小關系正確的是()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))B．f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)答案C解析由f(x＋1)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)的周期為2，因為f(x－2)為奇函數，所以f(x)為奇函數，因為當x∈[0,1)時，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以f(x)在[0,1)上單調遞增，因為f(x)為奇函數，所以f(x)在(－1,0)上單調遞增，所以f(x)在(－1,1)上單調遞增，因為f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)＋2×4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－2×3))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>f(0)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2))).題型三函數的奇偶性與對稱性例3(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數，則以下函數中圖象一定關于點(－1，0)成中心對稱的是()A．y＝(x－1)f(x－1)B．y＝(x＋1)f(x＋1)C．y＝xf(x)＋1D．y＝xf(x)－1答案B解析構造函數g(x)＝xf(x)，該函數的定義域為R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函數g(x)為奇函數，故函數g(x)的圖象的對稱中心為原點．函數y＝(x＋1)f(x＋1)的圖象可在函數g(x)的圖象上向左平移1個單位長度，故函數y＝(x＋1)f(x＋1)圖象的對稱中心為(－1,0)．(2)(2022·揚州模擬)寫出一個滿足f(x)＝f(2－x)的偶函數f(x)＝________.答案cosπx(常數函數也可，答案不唯一)解析取f(x)＝cosπx，證明過程如下：f(x)＝cosπx的定義域為R，由f(－x)＝cos(－πx)＝cosπx＝f(x)，故f(x)為偶函數，又f(2－x)＝cos[π(2－x)]＝cos(2π－πx)＝cosπx＝f(x)．思維升華由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期，常用于化簡求值、比較大小等．跟蹤訓練3定義在R上的奇函數f(x)，其圖象關于點(－2,0)對稱，且f(x)在[0,2)上單調遞增，則()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)答案A解析函數f(x)的圖象關于點(－2,0)對稱，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)為定義在R上的奇函數，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函數f(x)的周期是4，則f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)為奇函數，且在[0,2)上單調遞增，則f(x)在(－2,2)上單調遞增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．題型四函數的周期性與對稱性例4(1)(2022·重慶模擬)已知函數f(x)滿足：f(x＋2)的圖象關于直線x＝－2對稱，且f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，當2≤x≤3時，f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,2)))，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219,2)))的值為()A．2B．3C．4D．6答案B解析因為f(x＋2)的圖象關于直線x＝－2對稱，所以f(x)的圖象關于直線x＝0對稱，即函數f(x)為偶函數，因為f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，所以函數f(x)是周期函數，且T＝4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(108＋\f(3,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋\f(11,2)))＝3.(2)(多選)已知f(x)的定義域為R，其函數圖象關于直線x＝－3對稱且f(x＋3)＝f(x－3)，當x∈[0,3]時，f(x)＝2x＋2x－11，則下列結論正確的是()A．f(x)為偶函數B．f(x)在[－6，－3]上單調遞減C．f(x)的圖象關于直線x＝3對稱D．f(2023)＝－7答案ACD解析對于A，因為f(x)的定義域為R，其函數圖象關于直線x＝－3對稱，所以f(x－3)＝f(－x－3)，又f(x＋3)＝f(x－3)，所以f(x＋3)＝f(－x－3)，所以f((x－3)＋3)＝f(－(x－3)－3)，即f(x)＝f(－x)，所以函數為偶函數，故A正確；對于B，因為f(x＋3)＝f(x－3)，所以f((x＋3)＋3)＝f((x＋3)－3)，即f(x＋6)＝f(x)，所以函數是周期為6的周期函數，當x∈[－6，－3]時，x＋6∈[0,3]，因為當x∈[0,3]時，f(x)＝2x＋2x－11，函數在[0,3]上單調遞增，所以當x∈[－6，－3]時，f(x)＝f(x＋6)＝2x＋6＋2(x＋6)－11，函數在[－6，－3]上單調遞增，故B錯誤；對于C，因為f(x)＝f(－x)，且f(x)的周期為6，所以f(x－3)＝f(－(x－3))＝f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(x)的圖象關于直線x＝3對稱，故C正確；對于D，f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)，又x∈[0,3]時，f(x)＝2x＋2x－11，所以f(2023)＝f(1)＝21＋2×1－11＝－7，故D正確．思維升華函數的奇偶性、對稱性、周期性和單調性是函數的四大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題．跟蹤訓練4已知定義在R上的函數f(x)，對任意實數x有f(x＋4)＝－f(x)，若函數f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱，f(－1)＝2，則f(2025)＝________.答案2解析由函數y＝f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱可知，函數f(x)的圖象關于y軸對稱，故f(x)為偶函數．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期為8的偶函數．∴f(2025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2.課時精練1．(2022·荊門模擬)已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，且f(x)的周期為2，在[－1,0]上單調遞增，那么f(x)在[1,3]上()A．單調遞增 B．單調遞減C．先增后減 D．先減后增答案C解析函數f(x)的周期為2，且f(x)在[－1,0]上單調遞增且為偶函數，∴函數f(x)在[0,1]上單調遞減，∴函數f(x)在[1,3]上先增后減．2．已知函數f(x)＝x2－2|x|＋5.若a＝f(－log25)，b＝f(20.8)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，則a，b，c的大小關系為()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a答案C解析根據題意知，f(x)＝x2－2|x|＋5＝f(－x)，則函數f(x)為偶函數，則a＝f(－log25)＝f(log25)，當x≥0時，f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增；又由1＜20.8＜2＜log25＜eq\f(5,2)，則f(20.8)<f(log25)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).則有b＜a＜c.3．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在[0，＋∞)上單調遞減，若實數a滿足f(log3a)＋≥2f(1)，則a的取值范圍是()A．(0,3] B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3)) D．[1,3]答案C解析函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在[0，＋∞)上單調遞減，故f(x)在(－∞，0]上單調遞增．因為f(log3a)＋≥2f(1)，所以f(log3a)＋f(－log3a)＝2f(log3a)≥2f(1)，即f(log3a)≥f(1)＝f(－1)?|log3a|≤1，所以－1≤log3a≤1，解得eq\f(1,3)≤a≤3.4．(2022·重慶西南大學附中月考)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，當x∈[－1,1]時，f(x)＝x3－3x，則f(2023)等于()A．1B．－2C．－1D．2答案D解析由題意知，函數f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，又由f(－x)＝－f(x)，可得f(x)的圖象關于點(0,0)對稱，所以函數f(x)是周期為4的函數，所以f(2023)＝f(－1)，因為當x∈[－1,1]時，f(x)＝x3－3x，則f(2023)＝f(－1)＝2.5．(2022·遼陽模擬)定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在[0,2]上單調遞增，若方程f(x)＝m(m>0)在區間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4的值為()A．8B．－8C．0D．－4答案B解析因為f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函數f(x)的周期為8，又因為f(x)是奇函數，在[0,2]上單調遞增，作出函數的大致圖象如圖所示，由圖象可知f(x)＝m(m>0)在區間[－8,8]上的四個不同的根x1，x2，x3，x4，兩個關于直線x＝－6對稱，兩個關于直線x＝2對稱，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－6×2＋2×2＝－8.6．已知定義在R上的奇函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，且對于任意的θ∈[0，π]都有f(sin2θ－msinθ)＋f(2m－3)<0恒成立，則實數m的取值范圍是()A．m>2 B．m<2C．m≥2 D．m≤2答案A解析由定義在R上的奇函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，得f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，所以f(sin2θ－msinθ)＋f(2m－3)<0，f(sin2θ－msinθ)<－f(2m－3)，f(sin2θ－msinθ)<f(－2m＋3)，所以sin2θ－msinθ>－2m＋3，即m>eq\f(3－sin2θ,2－sinθ)對任意的θ∈[0，π]恒成立，記2－sinθ＝t，t∈[1,2]，則sinθ＝2－t，所以m>eq\f(3－2－t2,t)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))＋4，因為t＋eq\f(1,t)≥2，當且僅當t＝1時取等號，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))＋4的最大值為2，所以m>2.7．(多選)(2022·運城模擬)已知偶函數f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，下列說法正確的是()A．函數f(x)是以2為周期的周期函數B．函數f(x)是以4為周期的周期函數C．函數f(x＋2)為偶函數D．函數f(x－3)為偶函數答案BC解析依題意知f(x)是偶函數，且f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，所以A錯誤．f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－2－2)]＝f(x－4)，所以B正確．f(x＋2)＝f(x－2＋4)＝f(x－2)＝f(－(x－2))＝f(－x＋2)，所以函數f(x＋2)為偶函數，C正確．若f(x－3)是偶函數，則f(x－3)＝f(－x－3)＝f(x＋3)，則函數f(x)是周期為6的周期函數，這與上述分析矛盾，所以f(x－3)不是偶函數．D錯誤．8．(多選)已知f(x)為奇函數，且f(x＋1)為偶函數，若f(1)＝0，則()A．f(3)＝0B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1)D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1答案ABC解析因為函數f(x＋1)為偶函數，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因為f(x)是R上的奇函數，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，又因為f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正確；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，所以C正確；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同時根據奇函數的性質得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)，f(－2)既相等又互為相反數，故f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1對于x＝0不成立，故D不正確．9．寫出一個同時滿足以下三個條件①定義域不是R，值域是R；②奇函數；③周期函數的函數解析式____________．答案f(x)＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)解析滿足題意的函數為f(x)＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)．10．(2022·哈爾濱模擬)已知函數f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x>eq\f(1,2)時，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，則f(6)＝________.答案2解析∵當x>eq\f(1,2)時，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，∴當x>eq\f(1,2)時，f(x＋1)＝f(x)，即周期為1.∴f(6)＝f(1)，∵當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，∴f(1)＝－f(－1)，∵當x<0時，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＝－f(－1)＝2，∴f(6)＝2.11．設函數f(x)為定義在R上的函數，對?x∈R都有：f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)；且函數f(x)對?x1，x2∈[0,1]，x1≠x2，有eq