第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（59）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，共60.（）分）

1.己知三棱錐4一BCD滿足AB=CD=2V13MC=BD=10,AD=BC=4西，則三棱錐4一BCO

外接球的表面積為（）

A.116兀B,1287rC.1327rD.1567r

2.已知在體積為27的正方體ABCD-A/iCiDi中，E,F分別是久久，好久的中點(diǎn).若平面BEFn

平面BCC]Bi=Z,則/在正方形BCCiB]中的線段長度為（）

A.V10B.逆C.迪D.V13

22

3.已知正方體4BCC-48傳1。1中，E,尸分別是A8,4劣的中點(diǎn)，G,H分別在線段C8,CD

上，且CH=CG=^CB.若GC平面a,H€平面a,E/7/平面a,則如“與平面a所成角的正切值

為

B.叵cD.叵

19-f38

4.在三棱錐S-ABC中，AB1BC,AB=BC=2,SA=SC=2>/2,二面角S-AC-B的余弦值

是若s,A,B,C都在同一球面上，則該球的表面積是（）

A.67rB.87rC.127rD.18TT

5.四面體P-4BC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（0,0,2）,4（0,0,0）,S（0,273,0）,C（3,V3,0）,則該四面

體外接球的體積為（）

A.猙B.史叵兀C.20TTD.竺紜

333

6.三棱錐P-4BC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上.若^P4c是等邊三角形，平面P4C1

平面ABC,AB1BC,則三棱錐尸48c體積的最大值為（）

A.2B.3C.2V3D.3V3

7.在三棱錐P—4BC中，PA=PB,E是4B的中點(diǎn)，△力BC與△PCE均是正三角形，AB=3,則

三棱錐P-4BC的外接球的表面積為

A.8兀B.127rC.137rD.14兀

8.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐共有（）

A.56個(gè).B.48個(gè).C.40個(gè).D.24個(gè).

9.在正四面體（每一個(gè)面都是正三角形的四面體）48CD中，E,尸分別在AB,AC上，滿足BE=3,

EF=4,且EF與平面BCD平行，則aOEF的面積為（）

A.2V33B.2V34C.2^35D.12

10.在正三棱錐內(nèi)有一半球，其底面與正三棱錐的底面在同一平面內(nèi)，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都和半

球相切.如果半球的半徑等于1,正三棱錐的底面邊長為3a，則正三棱錐的高等于（）

A.V2B.2V3C.V6D.V3

11.已知P為一圓錐的頂點(diǎn)，A8為底面圓的直徑，P4LPB,點(diǎn)M在底面圓周上，若M為燦的中

點(diǎn)，則異面直線AM與PB所成角的大小為（）

A產(chǎn)BjC譚D了

12.如圖：AB是圓錐底面圓的直徑，PA,尸8是圓錐的兩種母線，P'為

底面圓的中心，過尸8的中點(diǎn)力作平行于陽的平面a,使得平面a與

底面圓的交線長為4,沿圓錐側(cè)面連接A點(diǎn)和。點(diǎn)，當(dāng)曲線段AQ長

度的最小值為更|P川時(shí)，則該圓錐的外接球（圓錐的底面圓周及頂點(diǎn)

2?

均在球面上）的半徑為（）

['a…尹

A.4V2

B.3V2

C.越

2

DW

4

二、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

13.（1）如圖，已知二面角a—1-/?的大小為60,其棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,8。分別在這個(gè)

二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于A8,已知AB=2,AC=3,BD=4,則線段CO的長為

（2）經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形的直線方程為

(3)已知在四面體ABC。中，AB=AD=BC=BD=DC=2百，二面角A-BD-C'的大小為

120。，則四面體A8CQ的外接球的表面積為.

(4)如圖，四邊形ABC。中，AB=AD=CD=1,BD=巾.,BD1CD,將四邊形ABC。沿對(duì)

角線BO折成四面體4一BCD,使平面ABDJ_平面BCD,則下列結(jié)論：①AC1BD;②C4'與

平面4BD所成的角為30。；(3)/.BA'C=90°；④四面體4-BCD的體積為:其中正確的是

(5)已知點(diǎn)尸在直線x+3y-2=0上，點(diǎn)Q在直線x+3y+6=0上，線段PQ的中點(diǎn)為

且先＜與+2,則會(huì)的取值范圍是.

14.對(duì)于四面體4-BCD,下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號(hào)).

①若4B=4C=AD,則由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是ABCD的三條中線的交點(diǎn)；

②若四面體ABCQ是正四面體，則異面直線A3與8所成角是9(1;

③若A8,AC,AO兩兩相互垂直，則由頂點(diǎn)4作四面體的高，其垂足是4BCD的三條高線的交

點(diǎn);

④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)；

15.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉嚅，

在鱉腌4-BCD中，ABBCD,且有BD1CD,AB=BD=2,

CD=1,點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三角形PB。的面積的最小值為

16.在三棱錐P-ABC中,AB1BC,三角形PAC為等邊三角形，二面角P-AC-B的余弦值為一逅，

3

當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大值為g時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

17.將正三棱錐P-ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐"P—ABC-Q,如圖，下列關(guān)于

該“倒影三棱錐”的說法中，正確的有.

①PQ平面ABC；

②若P,A,B,C在同一球面上，則。也在該球面上；

③若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB=V2PA;

④若AB=^PA，則PQ的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心.

18.三棱錐P-ABC的底面ABC是等腰三角形，“=120。，側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC

垂直，AC=2,則該三棱錐的外接球的表面積為.

19.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4,圓心角等于5的扇形，則這個(gè)圓錐的體積是.

20.在三棱錐P-4BC中,481BC,三角形PAC為等邊三角形，二面角P-4C-B的余弦值為一漁，

3

當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大值為g時(shí)，三棱錐P-4BC的外接球的表面積為.

2

21.如圖，正方體4BCD-41B1GD1的棱長是小5是4Bi的中點(diǎn)，P是力道1尸/------

的中點(diǎn)，點(diǎn)。在正方形DCGDi及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若PQ〃平面SBG，則A/

點(diǎn)。的軌跡的長度是.n：\/L

22.在三棱錐P-ABC中,AB1BC,三角形PAC為等邊三角形,二面角P-AC-B的余弦值為一江,

3

當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大值為g時(shí)，三棱錐P-4BC的外接球的表面積為.

23.如圖，在正三棱柱ABC-4/?中，。為棱CCi上的點(diǎn)，且6。=2DC.

若四棱錐B-A&DC的體積為4m3,則正三棱柱4BC-4B1G的體積

為m3.

24.若一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1:4:4,圓臺(tái)的側(cè)面積為400兀，則該圓臺(tái)的母線長為

三、多空題(本大題共2小題，共8.0分)

25.在棱長為1的正方體ABCD-4/GD1中，點(diǎn)P是底面ABCD內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，tan/CiPD21,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的面積為動(dòng)線段的

軌跡所形成兒何體的體積是_(2)_

26.如圖，在四棱錐P-4BCD中,PDABCD,AB1AD,AB//CD,AD=CD=PD=2,AB=1,

E,F分別為棱PC,PB上的點(diǎn)，若E為PC的中點(diǎn)時(shí)，則BE與平面PC。所成角的正弦值為

若麗=2就時(shí)，則(4F+EF)2的最小值為_(2)_.

四、解答題(本大題共4小題，共48.0分)

27.如圖，在四棱錐P-4BCD中，AB〃CD,NABC=90°,ZL4DP是等邊三角形，4B=AP=2,BP=3,

AD1BP.

A

B

(1)求8(7的長度；

(n)求直線BC與平面ADP所成的角的正弦值.

28.如圖所示，正方體4BC0-必勺口久的棱長為2,A4、N分別為A&［的中點(diǎn)，過點(diǎn)M、N、

Bi的截面將正方體分為兩部分.

_____c

zx

AMB

(1)求三棱錐4-MN/的高：

(2)作出完整的截面，并說明截面與正方體各棱交點(diǎn)的位置，不需要證明;

(3)計(jì)算截面的面積.

29.如圖甲，已知在等腰梯形ABCQ中，AB=2CD=4,AD=BC=2,484。=60。，點(diǎn)E為線

段AB的中點(diǎn)，連接CE,DE,AC,且AC與。E交于點(diǎn)F,將三角形AOE沿線段QE折起到

POE的位置，使得「。=聲，如圖乙所示.

(1)證明：BC_L平面PCF；

(2)求三棱錐E到平面P3C的距離.

30.已知多面體P-4BCDE的底面A8CZ)是邊長為2的菱形，PAABCD,ED“PA,且24=

2ED=2.

(1)證明：平面PAC1平面PCE；

(2)若乙4BC=60°,求三棱錐P-ACE的體積.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查幾何體內(nèi)接球問題，及球的體積公式.

把該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)作為一個(gè)長方體的四個(gè)頂點(diǎn)，該三棱錐的外接球直徑為長方體的體對(duì)角線長,

求出長方體的體對(duì)角線長，即可得出.

解：如圖所示，該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)為長方體的四個(gè)頂點(diǎn)，

設(shè)長，寬，高分別為a,b,c,

（a2+b2=52

則,2+?2=100，三式相加得：a2+b2+c2=116,

I/+=80

因?yàn)樵撊忮F的外接球直徑為長方體的體對(duì)角線長，

則球的半徑R=西正=叵，

22

球的表面積5R247rx"6116TT.

1

故選A.

2.答案：D

解析：

本題考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，考查邏輯推理能

力和空間想象能力，屬于中檔題.

先由題意作出平面8EF與平面BCG/的交線/,再計(jì)算在正方形BCG當(dāng)中的線段長度即可.

解：如圖，延長￡F,BiG交于點(diǎn)P,

連接BP與CG交于Q,

則3Q為平面8EF與平面BCC/i的交

線/在正方形BCG當(dāng)中的線段，

由題意，正方體的棱長為3,

■■E,F分別是4也，Ci%的中點(diǎn)，

PC1=FG=泉

又RtAPC'QsRtAPB^B,且最=

CiQ_1

B]B—3，

從而GQ=1,貝IJCQ=2,

故在RMBCQ中，BQ=V324-22=713.

故/在正方形BCC1當(dāng)中的線段長度為VII.

故選。.

3.答案：B

解析：

本題考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，直線與平面所成角，考

查邏輯推理能力和空間想象能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.

由題意，在62,當(dāng)口上分別取點(diǎn)M,N,使QM=QN=：BC,連接M”，NG,則四邊形MNGH

是矩形，且所在平面為a平面，取的中點(diǎn)。，連接?！埃琌G，GH,可得4G“。為G"與平面a所

成角，不妨設(shè)正方體棱長為3,利用直角三角形計(jì)算可得.

解：如圖，由題意，在GDi，81cl上分別取點(diǎn)M,N,

使G"=GN=連接MH,NG,則四邊形MNGH

是矩形，

E,尸分別是AB,4也的中點(diǎn)，取AO的中點(diǎn)尸，連

接FP,PE,貝IJFP//M”，PE//HG,

尸PClPE=P,MHCHG=H,.?.平面EFP〃平面MNGH,

又EFu平面EFP,EF〃平面MNGH,

又G€平面MNGH,He平面MNG，，.,.平面A/NG”即為a平面，

取A/N的中點(diǎn)。，連接?！?，。的，JH,則。?平面a,。為垂足，

可得NGH。為與平面a所成角，

不妨設(shè)正方體棱長為3,則C1M=1,MO吟MH=3,則OH=心+(丹=苧,

匹/—

tan4C/O=^=,,

2

即G”與平面a所成角的正切值為等.

故選艮

4.答案：C

解析：

本題考查考查二面角，球的表面積、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

取AC的中點(diǎn)。，連接S￡>,8￡>,可以得證得NSDB即為二面角S-4C-B的平面角，由coszSOB=

3

求得SB=VH,從而可以判斷ASCB和AS/IB為直角三角形，從而得到SB中點(diǎn)E為該球的球心，從

而求得球的半徑，根據(jù)球的表面積公式求解即可.

解：取AC的中點(diǎn)。，連接SO,8D,因?yàn)镾Z=SC,AB=BC,所以SD1AC.

BDVAC,可得NSDB即為二面角S-AC—B的平面角，故cos/SDB=一3.

3

在RtASDC中，SD=y/SC2-CD2=V6,同理可得BD=應(yīng)，

由余弦定理得cosNSOB=SDIBD-SB?=_旦解得SB=G

2SDxBD3

在ASCB中，SC2+CB2=8+4=(V12)2=SB2,所以△SCB為直角三角形，

同理可得4S4B為直角三角形，取SB中點(diǎn)E.則SE=EB=V3.

^.Rt^SCB^Rt^SAB^>,EA=^-=y/3,EC=曰=8，

所以點(diǎn)E為該球的球心，半徑為舊，所以球的表面積為S=4x7rx“l(fā))z=127T.

故選：C.

解析：

本題考查空間直角坐標(biāo)系，空間幾何體的外接球，球的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理

論證能力，運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識(shí).

求出外接圓半徑為2,即可求出球半徑R=75r喬=遍，由此即可求出答案.

解：由題意知，該四面體側(cè)棱24JL底面ABC,且底面是邊長為2b的正三角形，

側(cè)棱PA=2,所以底面正三角形的外接圓半徑為2,

則球心必在過PA中點(diǎn)且平行于底面的平面上，

所以球半徑R=后中=的，所以球的體積為：兀（通＞=等7r.

故選8.

6.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的外接球，考查基本不等式求最值，屬于較難題.

由題意求得P4=AC=PC=2百，貝UP。11AC且POi=3,又由平面PAC1平面ABC,可得P01，平

面ABC,即三棱錐P-力BC的高九=3,在A/IBC中，利用基本不等式求得面積的最大值，進(jìn)而可得

三棱錐體積的最大值，得到答案.

解：由題意知，三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上，△P4C是等邊三角形,

如圖所示，可得PA=4C=PC=2g,

則PR1ACS.PO1=3,

又由平面P4CJ■平面ABC,平面P4Cn平面力BC=AC,P?！縰平面PAC,

所以POi_L平面ABC,

即三棱錐P-力BC的高h(yuǎn)=3,

又在三角形ABC中，AB1BC,

設(shè)4B=a,BC=b,則a2+從=AC2=12,

所以SAABC||(a2+X)=3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，即S-Bc的最大值為3，

所以三棱錐P-ABC體積的最大值為U=g(SA4Bc)max?九=：x3x3=3.

故選8.

7.答案：C

解析：略

8.答案：B

解析：

本題考查了分類加法計(jì)數(shù)原理，棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，其中有4個(gè)頂點(diǎn)共面，另一個(gè)不在這個(gè)面內(nèi).須

先在8個(gè)頂點(diǎn)中找到4點(diǎn)共面的情況，在找第5個(gè)頂點(diǎn)，即可數(shù)能構(gòu)成多少個(gè)四棱錐.

解：要構(gòu)成四棱錐，須有4個(gè)點(diǎn)共面.

4點(diǎn)共面時(shí)，這4個(gè)點(diǎn)可以在正方體的表面的4個(gè)頂點(diǎn)，

也可以是對(duì)角面的4個(gè)頂點(diǎn)，共6+6=12種情況，

每一種情況都可構(gòu)成4個(gè)四棱錐，

???一共可構(gòu)成48個(gè)四棱錐，

故選B.

9.答案：A

解析：解：依題意，A8CD為正四面體，所以每個(gè)面都是正三角形,

???EF與平面8co平行，EFu平面ABC,

平面4BCn平面BCD=BC,

所以EF〃BC,

所以三角形AEF為等邊三角形，

所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=3+4=7.

又因?yàn)槿切蜛QE三三角形ADF,

所以由余弦定理DE=DF=V42+72-2x4x7xcos60°=V37.

取EF中點(diǎn)G,連接OG,則CG='DE%—EG?=7573=反

所以三角形。EF的面積S=[xEFxDG=X4xV33=2V33.

故選：A.

由￡F與平面BCD平行，可得EF〃BC,所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=7.又三角形4?￡三

三角形AOF,所以三角形。EF為等腰三角形，然后求邊長，面積即可.

本題借助正四面體考查了空間直線的位置關(guān)系、三角形的全等、余弦定理等知識(shí)，考查空間想象能

力和計(jì)算能力.屬于中檔題.

10.答案：D

解析：解：根據(jù)題意，畫出圖形如下，

其中，立體圖形只畫出了半球的底面.

???正三棱錐的底面邊長為3VL

:.0D=—,

2

設(shè)三棱錐的高P。=X，在縱切面圖形可看出,

縱切面

Rt△PEOsRt△POD,

???x=V3

故選：D.

畫出圖形，設(shè)三棱錐的高PO=x,在縱切面圖形可看出，RtAPEOsRt4P0D,即可求出高的值.

本題考查幾何體的內(nèi)接球的問題，三角形相似的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

11.答案：C

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)果特征，考查異面直線所成角的求法，屬基礎(chǔ)題.

依題意，在底面上取M關(guān)于AB對(duì)稱的點(diǎn)為N,連接PN,BN,貝

所以4PBN為異面直線AM與PB所成的角或其補(bǔ)角，

又可判斷E1PBN為等邊三角形，即可求得結(jié)果.

解：設(shè)底面半徑為凡由P4_LPB得PA=&/?,在底面上取M關(guān)于A8對(duì)稱的點(diǎn)為N,

連接PN,BN,則BN〃M4所以"BN為異面直線AM與PB所成的角或其補(bǔ)角.易知BN=PB=PN=

V2R，

所以E1PBN為等邊三角形，所以“BN=g,

故選C

12.答案:D

解析：

本題考查了由平面展開圖求立體幾何中的最值問題，是中檔題.

解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平面a與底面圓的交線一定經(jīng)過底面圓心P',設(shè)圓錐

的側(cè)面展開后的扇形圓心角為28,則在展開圖中，點(diǎn)A到直線PB的距離最小,再進(jìn)一步計(jì)算求值.

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平面a與底面圓的交線一定經(jīng)過底面圓心P',所以底面圓的半徑為2,設(shè)

圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為2。，如圖，

ft

□

曲線段A。的最小值為線段A。，所以AD=漁|P川，所以cosO=Y駕學(xué)”=j

2112X刖川22

所以9=60。,因?yàn)榈酌鎴A的周長為4兀，所以母線長為6,PP'=4V2,根據(jù)圖形，球心一定位于PP'

所在直線上，設(shè)球心為。，半徑為R,所以(PP'-R)2+P￡2=R2,所以(4&-/?)2+22=/?2,所

以R2.

4

故選O.

13.答案：(l)g；

(2)x+y—3=0或x—y—1=0；

(3)28兀；

(4)③；

⑸+x)

解析：

(1)本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).推導(dǎo)出”=

CA+AB+前,兩邊平方由此能求出CC的長.

解：?.?二面角a—的大小為60。，其棱上有A,8兩點(diǎn)，\Va/\

ZX7

直線4C,8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，

且都垂直于AB,AB=2,AC=3,BD=4,

???CD=CA+AB+BD,

.-.CD2=(CA2+AB2+BD)2=CA2+AB2+~BD2+2CA-AB+2CA-BD

+2AB-BD

=44-9+16+2|C3I-l-^|cosl200=17,

\~CD|=",

即CD的長為舊.

故答案為VT7.

(2)本題考查用截距式求直線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，設(shè)出直線方程是解決問題的關(guān)鍵,

屬基礎(chǔ)題.

設(shè)直線方程為?+?=1或；+9=1，把點(diǎn)(2,1)代入直線方程解a可得.

解：由題意，設(shè)直線方程為”1或=+方=1,

把點(diǎn)(2,1)代入直線方程得三+工=1或三+2=1,

解得a=3或Q=1,

???所求直線的方程為?+9=1或彳+5=1，

即x+y-3=0或4—y—1=0.

故答案為：x+y-3=0或x-y-1=0.

(3)本題考查球的表面積的求法，二面角，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

解：設(shè)BO的中點(diǎn)為E,連接AE,CE,

.?ABADBC=BDDC=2瓜，二AE1BD,CE1BD,

???/AEC為二面角.4-BD-C的平面角，則ZAEC=120，

設(shè)四面體ABCD的外接球的球心為O,半徑為R,

???過點(diǎn)。做平面CDB的垂線，垂足為三角形CDB的中心H,

過點(diǎn)。做平面AQB的垂線，垂足為三角形AQB的中心F,

???OHL平面BCD,OF，平面BAD,

：.OH1EC,OF1AE,??.點(diǎn)E,F,O,〃共面，

ZAEC+ZHOF=180°,二zHOF=60°,

???AB=AD=BC=BD=DC=2聒,連接OE,AOFE^AOHE.???Z.EOH=30°,

ABCD中，CH=-x—x2V3=2,EH=ix—x2V3=1，

3232

RtAOHE中，OH=V3>

.-?RtAOHC中，CO=R=VOW2+HC2=V3T4=夕.

所以外接球半徑R=V7,

S=4nR2=7x4兀=28n,

故球。的表面積為287r.

故答案為287r.

(4)本題主要考查了線面垂直的判定和性質(zhì)，線面角，以及三棱錐的體積的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想

象能力，論證推理能力，解題的關(guān)鍵是須對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一判定.

根據(jù)題意，依次分析結(jié)論：對(duì)于①可利用反證法說明真假，若①成立可得BD14C,產(chǎn)生矛盾；對(duì)

于②由CA與平面4BD所成的角為4cAD=45。，知②不正確；對(duì)于③△B4D為等腰Rt△,CD1平

面ABD,得平面ACD,根據(jù)線面垂直可知NBA'C=90。，對(duì)于④利用等體積法求出所求體積

進(jìn)行判定即可，綜合可得答案.

解：???四邊形ABC。中，AB=AD=CD=1,BD=V2，BD1CD,平面48。_L平面BCD,

則由4。與BO不垂直，BD1CD,故8。與平面4CD不垂直，

則8。僅與平面HCD中與CQ平行的直線垂直，故①不正確；

由BD1CD,平面ABD1平面BCD,易得CDJ_平面A'BD，

,CD_LA'B，CD±A'D.

A'DCD，.?.A'CD為等腰直角三角形,

AADC=45。，

則C4'與平面A'BD所成的角為45,知②不正確；

由題設(shè)知：△B4C為等腰直角三角形，CDL平面A'BD,

因?yàn)?3c平面AB。，

所以CDJ.4B,又因?yàn)?'D_L4'B,A'DnCD=D,

BAJ_平面A'C。，

所以BA'14C,

得N/M'C901于是③正確；

VA'-BCD=VC-A'BD=^xlxlxl=

1

0

,故④不正確；

因此正確的結(jié)論是③.

故答案為③.

(5)本題考查了平行線的性質(zhì)、斜率的意義及其應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

解:設(shè)「。1，%),(2(如乃)，線段尸0的中點(diǎn)”(凡,%)，

由于點(diǎn)P在直線％+3y-2=0上，點(diǎn)。在直線%+3y+6=0±,

r

x1+3yl-2=0

x2+3y2+6=0

可以得到，—=殉，

為+乃_笫

I-y。

得出見十3yo4-2=0,即MQo，yo)位于直線x+3y+2=0上，

又因?yàn)?<%o+2,

所以M(%o，yo)位于直線%+3y+2=0與直線％-y+2=0交點(diǎn)的右下部分直線上，

設(shè)兩直線交點(diǎn)為F,可得F(-2,0),

設(shè)直線x+3y+2=0與與y軸交點(diǎn)為R(0,-g),

臺(tái)即為直線M。的斜率，

x0

當(dāng)例點(diǎn)位于kR之間時(shí)，稱的取值范圍為(0,+8)；

當(dāng)用點(diǎn)位于R的右下方時(shí)，0M會(huì)無限趨近于與直線x+3y+2=0平行，但是永遠(yuǎn)不能達(dá)到平行,

所以資的取值范圍為(一4一),

“0.5

綜上，爭勺取值范圍為(一工-；)U(().+3C).

故答案為(―0C,--)<J(().+x).

<)

14.答案：②③④

解析：

本題主要考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬中檔題.

①根據(jù)三角形BCD三條中線的交點(diǎn)即重心不一定與四面體的高即其垂足重合判斷;②根據(jù)條件推知

ABJL平面C0E進(jìn)而判斷;③由對(duì)棱垂直，根據(jù)三角形的垂心與四面體的高的垂足位置關(guān)系判斷;④

由棱中點(diǎn)兩兩連接構(gòu)成平行四邊形判斷。

解：①因?yàn)槿切蜝CQ為不定三角形，三條中線的交點(diǎn)即重心，則重心為不定點(diǎn)，故其垂足不一定

是4BC。的三條中線的交點(diǎn)，故錯(cuò)誤：

②因?yàn)樗拿骟wABC。是正四面體，取A8中點(diǎn)E,貝IJABLCE,力B，DE,又CEnDE=E,可推知

CDu平面CDE,所以異面直線48與CO所成角為90。，故正確；

③因?yàn)锳B,AC,A。兩兩相互垂直，所以AB14C0,因?yàn)镃Du面AC。，所以4B1C0,記4在面

28的垂足為。，>101CD,AOCtAB=A,所以CO1面AO8,

8。u面4OB,所以CD1OB,同理可得C01BD,DO1BC,所以。為三條高線的父點(diǎn)，即為三角

形的垂心，故正確；

④因?yàn)橄鄬?duì)棱中點(diǎn)兩兩連接構(gòu)成平行四邊形，而對(duì)棱的中點(diǎn)的連接正是平行四邊形的對(duì)角線，所以

三條線段相交于一點(diǎn)，故正確.

故答案為②③④.

15.答案：延

5

解析：

作PQ1BC于Q,QM1BD于M,連結(jié)PM推導(dǎo)出PQ〃AB,QM〃CD,PM1BD,推導(dǎo)出PQ+2QM=2,

4

當(dāng)

X=-時(shí)

設(shè)QM=x,(0<%<1),則PQ=2-2%,PM=y/x2+(2—2x)2=v5x2—8%+4,5

PMmin=辿，由此能求出三角形PBD的面積的最小值.

本題考查三角形面積的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

解：作PQ1BC于Q,QM18。于M,連結(jié)PM,

???在鱉嚅4-BCO中，AB_L平面BCD,BCu平面BCD,

：.AB1BC,又PQ1BC,

???PQ//AB

"ABJL平面BCD,BDu平面BCD,

BD1.AB,???BD1PQ,又QM1BD,

vQMdPQ=Q,QMu平面PQM,PQu平面PQM,

???BDJL平面PQM,

?：PMu平面PQM,BD1PM,

???QM1BD,CD1BD,：.QM//CD,

VPQ//AB,QM//CD,

PQ_QCQM_BQ

‘『店’了=有

???PQ+2QM=2,

設(shè)QM=x,(0<%<1),則PQ=2-2x,

PM=收+(2-2x)2=V5x2-8x+4,

??,x=g時(shí),PMmin—當(dāng)，

???三角形PBD的面積的最小值：

x2x

(5APBD)min=1=等.

故答案為：沮

5

16.答案：87r

解析：

本題考查簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，球的表面積和體

積，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空間想象能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于綜

合題.

由題意，設(shè)APAC的邊長為a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再設(shè)APAC外接圓的圓心

為。1，三棱錐P-4BC的外接球的球心為。，求出POi和。?！咐肦2=0］。2+pog,求出辟即可.

解：如圖，

設(shè)△PAC的邊長為a,AB=x,BC=y,

由題意，x2+y2=a2,

取AC的中點(diǎn)。，連接P。，貝iJPDIAC,PD=-a，

2

過點(diǎn)P作PEJ■面4BC,垂足為E,連接ED,ACu面ABC,???PEIAC,PDCPE=P,

ACPDE,EDcffiPDE,ACLED,

"DE是二面角P—AC—B平面角的補(bǔ)角，

???二面角P-AC-B的余弦值為一些，

3

???cosZ.PDE=—.貝Usin/PDE=—)

33

可得PE=PDxsin^PDE=—ax—=i,

232a

???三棱錐P-ABC的體積U=|xSAABCxPE=|x|xyx|a,

x2+y2=a2>2xy,BPxy<y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，即x=y=?a時(shí)，取等號(hào)，

.?WW±a3,?.?三棱錐P-4BC的體積最大值為:，

?,?=I，解得a=2,

243

設(shè)△P4C外接圓的圓心為Oi，三棱錐P-4BC的外接球的球心為為△ABC外接圓的圓心，則。。1

面ABC,A0D1FD,4PDE+乙ODO】=90&,

???sin/-0D01=cos^PDE=與，cosz.ODO1=sin乙PDE=亨，tanz.0D01=V2,

則POi=-PD=-x—a=—a=—?

133233

1

0c1n。=-PnDn=-*x、,——炳a=W——a=W——，

133263

。。1=OiOtan/。。。1=—axV2=—，

63

R2=OjO2+PO”￡+芍=2,

故三棱錐P-力BC的外接球的表面積為4兀辟=4兀x2=87r.

故答案為87r.

17.答案：①④

解析：解：①由"倒影三棱錐"的幾何特征可知PQ工平面ZBC.故①正確；

當(dāng)P,A,B,C在同一球面上時(shí)，若△ABC的外接圓不是球體的大圓，則。不在該球面上，故②不

正確；

若該“倒影三棱錐”存在外接球，則三棱錐P-ABC的外接球半徑與等邊三角形A8C外接圓的半徑

相等，可設(shè)為R,

則4B=2Rx苧=bR,所以48=苧P4,故③不正確；

由③推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為△力BC的中心，即PQ的中點(diǎn)，故④正確，

故答案為：①④.

①②由"倒影三棱錐”的幾何特征可知PQ_L平面4BC.故①正確，當(dāng)P,A,B,C在同一球面上時(shí),

若△力BC的外接圓不是球體的大圓，則。不在該球面上，故②不正確，進(jìn)而求解.

考查“倒影三棱錐”這一新知識(shí)的接受、理解運(yùn)用能力，結(jié)合外接球的知識(shí)即可求解.

18.答案:207r

解析：

本題考查多面體外接球的表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

由題意畫出圖形，設(shè)出三角形ABC外接圓的圓心G,由己知結(jié)合正弦定理求得CG,再設(shè)出三角形

PAB的外接圓的圓心，作相交線得到三棱錐的外接球的球心，解三角形求得三棱錐的外接球的半徑，

則答案可求.

在等腰三角形ABC中，由4(7=120。，得乙4BC=30。，

乂AC=2,設(shè)G為三角形ABC外接圓的圓心，

則“AJ=_2_2CG,

八'sin△ABCsin30°=

???CG=2.

再設(shè)CG交A3于。，可得CD=1,AB=2V3,則DG=1.

在等邊三角形P4B中，設(shè)其外心為H,則BH=PH=|PD=2,DH=1,

過G作平面ABC的垂線，過H作平面PAB的垂線，兩垂線相交于O,

則。為該三棱錐的外接球的球心，則半徑R=0B=V22+I2=V5.

???該三棱錐的外接球的表面積為4兀x(V5)2=207T.

故答案為207r.

19.答案：運(yùn)兀

解析：

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征及體積的求法，屬于較易題.求出圓錐的底面半徑及高是關(guān)鍵.

解：扇形的弧長為4x5=2〃，圓錐的底面半徑為r=l,母線長尾4,

圓錐的高為“P—1=V15-

所以圓錐的體積V=1X兀x同=運(yùn)m

33

故答案為叵7r.

3

20.答案:87r

解析:

本題考查簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，球的表面積和體

積，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空間想象能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于綜

合題.

由題意，設(shè)APAC的邊長為a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再設(shè)APAC外接圓的圓心

為。1，三棱錐P—ABC的外接球的球心為O,求出POi和。0「利用R2=。。工+P出，求出R2即可.

解：如圖，設(shè)APAC的邊長為a,AB=x,BC=y,

由題意，x2+y2=a

取AC的中點(diǎn)D,連接PD,則PD14C,PD=-a,

過點(diǎn)P作PE_L平面ABC,垂足為E,連接EC,ACu平面ABC,,PE1AC,PDnPE=P,

ACPDE,EDU平面POE,.-.AC1ED,

NPDE是二面角P-AC-B平面角的補(bǔ)角，

???二面角P-AC-B的余弦值為一些，

3

COSZ.PDE=—,則sin/POE=—,

33

可得PE=PDxsin乙PDE=-ax—=-a,

232

???三棱錐P-ABC的體積U=|xSAABCXPF=|x|xyx|a,

vx2+y2=a2>2xy,BPxy<y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，即x=y=乎a時(shí)，取等號(hào)，

■-V<^a3,?.?三棱錐P-4BC的體積最大值為土

-a3=解得a=2,

243

設(shè)^PAC外接圓的圓心為01，三棱錐P-4BC的外接球的球心為O,D為A48C外接圓的圓心，則。01

平面ABC,A0DLED,"DE+4ODO1=90。，

:.sin/-ODO1=cosZ-PDE=—，cosZ-ODO^=sinZ-PDE=高，tanz.ODO1=&，

則POi=2pD=2x3a=辿,

13323

八c1cc1V3x/3

13323

001=。山xtanzODOi=yxV2=y,

R2=00l+POl=-+—=2,

1199

故三棱錐P—ABC的外接球的表面積為4兀/?2=47rx2=8兀.

故答案為87r.

21.答案:在a

2

解析：

本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征以及線面平行的性質(zhì)，屬于中檔題.

分別取。C上靠近C的四等分點(diǎn)F,D1G上靠近的四等分點(diǎn)￡,連接EF,PE,PF,可以得到點(diǎn)。

在線段EF上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得解.

解：分別取OC上靠近C的四等分點(diǎn)F,AG上靠近久的四等分點(diǎn)E,連接EF,PE,PF,如圖所示.

則易得EF//SB,PE//SG，EFOPE=E,SBnSG=S,

所以平面PEF〃平面SBG，故點(diǎn)Q在線段E尸上運(yùn)動(dòng)，EF=SB

所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為在a.

2

故答案為匹a.

2

22.答案：87r

解析：

本題考查簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，球的表面積和體

積，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空間想象能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于綜

合題.

由題意，設(shè)APAC的邊長為a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再設(shè)APAC外接圓的圓心

為。1，三棱錐P-4BC的外接球的球心為。，求出POi和。?！咐肦2=0］。2+pog,求出辟即可.

解：如圖，

設(shè)△PAC的邊長為a,AB=x,BC=y,

由題意，x2+y2=a2,

取AC的中點(diǎn)。，連接P。，貝iJPDIAC,PD=-a，

2

過點(diǎn)P作PEJ■面ABC,垂足為E,連接ED,ACu面ABC,???PEIAC,PDCPE=P,

ACPDE,EDcffiPDE,ACLED,

"DE是二面角P—AC—B平面角的補(bǔ)角，

???二面角P-AC-B的余弦值為一些，

3

???cosZ.PDE=—.則sin/PDE=—)

33

可得PE=PDxsin^PDE=—ax—=i,

232a

???三棱錐P-ABC的體積U=|xSAABCxPE=|x|xyx|a,

x2+y2=a2>2xy,BPxy<y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，即x=y=?a時(shí)，取等號(hào)，

.?WW±a3,?.?三棱錐P-4BC的體積最大值為:，

?,?=I，解得a=2,

243

設(shè)△P4C外接圓的圓心為Oi，三棱錐P-4BC的外接球的球心為為△ABC外接圓的圓心，則。。1

面ABC,A0D1FD,4PDE+乙ODO】=90&,

???sin/-0D01=cos^PDE=當(dāng)，cos/-ODOr=sinZ-PDE=亨，tanziODOi=V2,

則POi=-PD=-x—a=—a=—?

133233

0c1n。=-1PnDn=-1x、,——陋a=W——a=瓜——，

133263

。。1=OiOtan/。。。1=—axV2=—，

R2=OjO2+PO”￡+5=2,

故三棱錐P-力BC的外接球的表面積為4兀辟=4兀x2=87r.

故答案為87r.

23.答案：9

解析：

本題考查三棱柱及四棱錐的體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

設(shè)正三棱柱ABC-的底面邊長為a,側(cè)棱長為6,則可分別求出四棱錐B-441DC及正三棱柱

ABC-4B1G的體積，根據(jù)體積比可得結(jié)論.

解：設(shè)正三棱柱4BC-4B1C1的底面邊長為“，側(cè)棱長為6,

2

則由正三棱柱的性質(zhì)及題設(shè)條件得，四棱錐B—MDC的體積：V1=lx^b+b)a-^a=^ab,

正三棱柱力BC—AiBC的體積匕=-ya2b＞所以卷=g，

因?yàn)樨?4,所以％=9.

故答案為9.

24.答案：20

解析：

本題主要考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題；

根據(jù)已知所給比例信息，可設(shè)出上底半徑為r,則下底半徑和高分別為4r和4r,

再由勾股定理表示出母線長；

根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式可得兀(r+4r)-5r=400兀；

求解即可得r的值，進(jìn)而得到圓臺(tái)的母線長；

解：根據(jù)題意可設(shè)圓臺(tái)的上底面的半徑為r,下底面半徑和高分別為4r和4r,

則圓臺(tái)母線的長為J(4r)2+(4r-「尸=5r;

因?yàn)閭?cè)面積為400兀；

所以zr(r+4r)-5r=400TT;

解得r=4;

所以圓臺(tái)的母線長為