專題3.3函數的基本性質1．函數的單調性(1)單調遞增、單調遞減：(2)函數的單調性及單調區間：①當函數f(x)在它的定義域上單調遞增(減)時,我們就稱它是增(減)函數.

②假如函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減,那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間.(3)常見函數的單調性：(4)單調函數的運算性質：若函數f(x)，g(x)在區間D上具有單調性，則在區間D上具有以下性質：

①f(x)與f(x)+C(C為常數)具有相同的單調性.

②若a為常數，則當a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調性；當a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調性.

③若f(x)恒為正值或恒為負值，a為常數，則當a>0時，f(x)與具有相反的單調性；當a<0時，f(x)與具有相同的單調性.

④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調性.

⑤在f(x)，g(x)的公共單調區間上，有如下結論：⑥當f(x)，g(x)在區間D上都是單調遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)g(x)在區間D上也是單調遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)g(x)在區間D上單調遞減(增).(5)復合函數的單調性判定：對于復合函數f(g(x))，設t=g(x)在(a,b)上單調，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調.2．函數的最大（小）值(1)函數的最大（小）值：(2)利用函數單調性求最值的常用結論：①假如函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增，在區間[b,c]上單調遞減，那么函數y=f(x),x[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；

②假如函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減，在區間[b,c]上單調遞增，那么函數y=f(x),x[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.3．函數的奇偶性(1)定義：(2)奇偶函數的圖象特征（幾何意義）①奇函數的圖象特征：若一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.②偶函數的圖象特征：若一個函數是偶函數，則這個函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數.③奇偶函數的結論：奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數.(3)函數圖象的對稱性：①圖象關于點成中心對稱圖形：函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數g(x)=f(x+a)-b為奇函數.②圖象關于直線成軸對稱圖形：函數y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數g(x)=f(x+a)為偶函數.【題型1函數單調性的推斷及單調區間的求解】【方法點撥】(1)定義法：利用函數單調性的定義探討函數的單調性或求單調區間.(2)圖象法：依據函數解析式畫出函數圖象，通過函數圖象探討單調性.注：①復合函數單調性的推斷方法：依據復合函數的單調性滿足“同增異減”，可推斷復合函數的單調性；②抽象函數單調性的推斷方法：一種是“湊”，湊定義或湊已知，從而運用定義或已知條件得出結論；另一種是“賦值”，給變量賦值要依據條件與結論的關系，有時可能要進行多次嘗試.【例1】（2024秋?邗江區期中）下列函數中，在（﹣∞，0）上為減函數的是（）A．y=-1x B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．【變式1-1】（2024春?天津期末）下列函數中，在（0，+∞）上為增函數的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f(x)=-1x D．f（【變式1-2】（2024秋?福田區校級期末）函數y=A．(-∞，-32] B．[-32，+∞【變式1-3】（2024?白山開學）函數f(A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）【題型2利用函數的單調性求參數】【方法點撥】(1)已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法是視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性的定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數.(2)借助常見函數(如一次函數、反比例函數、二次函數等)的單調性求解.需留意，若一個函數在區間[a,b]上是單調的，則該函數在此區間的隨意子集上也是單調的.【例2】（2024?河北區學業考試）已知函數f（x）＝x2﹣kx﹣8在區間[5，20]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞） C．[10，+∞） D．[40，+∞）【變式2-1】（2024秋?懷仁市校級月考）若函數y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上單調遞增，則實數m的取值范圍是（）A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]【變式2-2】（2024秋?河北期中）若函數f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在區間[﹣3，0]上不是單調函數，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3） C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）【變式2-3】（2024?湖南模擬）定義在R的函數f（x）＝﹣x3+m與函數g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的單調性，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【題型3利用函數的單調性比較大小、解不等式】【方法點撥】(1)利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在解決比較函數值的問題時，要留意將對應的自變量的值轉化到同一個單調區間上.

(2)解關于的不等式時，可利用函數的單調性脫去“f”，轉化不等式，進行求解即可.【例3】（2024秋?福田區校級期末）已知函數f（x）是定義在[2，+∞）的單調遞增函數，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），則實數a的取值范圍是（）A．(-∞，12)∪C．(0，12]∪[2【變式3-1】（2024秋?瀘縣校級月考）已知定義在[0，+∞）上的單調減函數f（x），若f（2a﹣1）＞f（13），則aA．(-∞，23) B．(【變式3-2】（2024秋?金鳳區校級月考）已知函數f（x）是區間（0，+∞）內的減函數，則f（a2﹣a+1）與f(A．f(a2-C．f(a【變式3-3】（2024秋?濱海新區期中）定義在R上函數y＝f（x）滿足以下條件：①函數y＝f（x）圖像關于x＝1軸對稱，②對隨意x1，x2∈（﹣∞，1]，當x1≠x2時都有f(x1)-f(x2)x1-xA．f(32)C．f(32【題型4求函數的最值】【方法點撥】(1)配方法，主要適用于二次函數或可化為二次函數的函數，要特別留意自變量的取值范圍；

(2)換元法，用換元法時確定要留意新元的取值范圍；

(3)數形結合法，對于圖象較簡潔畫出的函數的最值問題，可借助圖象直觀求出；

(4)利用函數的單調性，要留意函數的單調性對函數最值的影響，特別是閉區間上函數的最值.【例4】（2024?白山開學）函數f(x)=1xA．12，15 B．2，5 C．1【變式4-1】（2024春?銅鼓縣校級期末）若函數f(x-1x)=1x2-2x+1A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【變式4-2】（2024春?閻良區期末）設函數f(x)=2xx-2在區間[3，4]上的最大值和最小值分別為MA．4 B．6 C．10 D．24【變式4-3】（2024秋?杭州期末）已知min{a，b}=a，a≤bb，a＞b，設f（x）＝min{xA．﹣2 B．1 C．2 D．3【題型5由函數的最值求參數】【方法點撥】在求參數a的取值范圍時，可將參數a單獨分別出來求解.

若對于區間D上的隨意x，a>f(x)恒成立，則a>；若對于區間D上的隨意x，a<f(x)恒成立，則a>；若在區間D上存在x使a>f(x)成立，則a>；若在區間D上存在x使a<f(x)成立，則a＜.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相應結論.【例5】（2024春?愛民區校級期末）若函數f(x)=2x+mx+1在區間[0，1]A．3 B．52 C．2 D．52【變式5-1】（2024秋?香坊區校級期中）已知函數f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在區間[0，2]上的最大值是1，則a的取值范圍是（）A．[0，12]C．[12，【變式5-2】（2024秋?浉河區校級期末）函數f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值為-14，最大值為2，則n﹣A．52 B．52+22 C【變式5-3】（2024秋?松山區校級月考）若關于x的函數f(x)=2021x3+ax2+x+a2xA．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1【題型6函數奇偶性的推斷】【方法點撥】(1)定義法：先求函數的定義域，再進行函數奇偶性的推斷.(2)圖象法：依據解析式畫出函數圖象，依據函數的對稱性進行函數奇偶性的推斷.(3)性質法：利用奇、偶函數的和、差、積、商的奇偶性，以及復合函數的奇偶性推斷.【例6】（2024秋?海安市校級月考）設函數f（x）=xA．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1【變式6-1】（2024春?楊陵區校級期末）若函數f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數，則g（x）＝2ax3+bx2+9x是（）A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數【變式6-2】（2024春?祁東縣期末）設函數f(A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1【變式6-3】（2024春?云浮期末）已知f（x）為R上的奇函數，g（x）為R上的偶函數，且g（x）≠0，則下列說法正確的是（）A．f（x）+g（x）為R上的奇函數 B．f（x）﹣g（x）為R上的奇函數 C．f(x)g(x)為R上的偶函數D．|f（x）g（x）|為R上的偶函數【題型7函數奇偶性的應用】【方法點撥】(1)求函數值、函數解析式：利用函數的奇偶性，進行轉化求解.(2)求參數值：①若表示定義域的區間含有參數，則可利用對稱性列出關于參數的方程.

②一般化策略：對x取定義域內的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關系式恒成立來確定參數的值.【例7】（2024春?北京期末）f（x）是定義域為R的奇函數，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若f(35A．-75 B．-35 C．【變式7-1】（2024?成都開學）若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2﹣x）＝﹣f（x），且當1≤x≤2時，f（x）＝x﹣1，則f（72A．52 B．32 C．12【變式7-2】（2024春?長春期末）設函數f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈[﹣1，2]時，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，則f(A．-54 B．54 C．-【變式7-3】（2024春?遼寧期末）設f（x）的定義域為R，f（x﹣2）是奇函數，f（x﹣1）是偶函數，則f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（）A．﹣4 B．0 C．4 D．不確定【題型8函數圖象的識別、推斷】【方法點撥】①解除法：利用特別點的值來解除；②利用函數的奇偶性、單調性來推斷.【例8】下列四個函數圖象中，當x＜