第六章參數估計參數估計的一般問題一個總體參數的區間估計兩個總體參數的區間估計第一節參數估計的一般問題估計量與估計值抽樣估計/參數估計：用樣本統計量估計總體參數的特征值；估計量：用來估計總體參數的統計量的名稱；估計值：用來估計總體參數時計算出來的估計量的具體數值。點估計與區間估計點估計：用樣本估計量的值直接作為總體參數的估計值；區間估計：在點估計的基礎上，給出總體參數估計的一個范圍。置信區間置信區間：在區間估計中，用樣本統計量所構成的總體參數的估計區間；置信下限：置信區間的最小值；置信上限：置信區間的最大值。評價估計量的標準無偏性：樣本統計量的均值等于被估計總體參數的真值，即有效性：作為優良的估計量，除了滿足無偏性外，其方差應比較小。設、都是θ參數的無偏估計量，若，則稱是較有效的估計量一致性/相合性：指當n→∞時，估計量依概率收斂于總體參數的真實值。設

是θ參數的估計量，對于任意的ε>0，當n→∞時，

，則稱

是θ的一致估計量。點估計的方法點估計是直接以樣本統計量作為相應總體參數的估計量。因此我們希望樣本統計量應盡可能滿足優良估計量的標準。經數學證明，樣本平均數是總體平均數的優良估計量；樣本成數是總體成數的優良估計量；樣本方差是總體方差的無偏估計量。點估計完全正確的概率通常為0。因此，我們更多的是考慮用樣本統計量去估計總體參數的范圍

區間估計第二節一個總體參數的區間估計參數區間估計的含義：估計總體參數的區間范圍，并給出區間估計成立的概率值。其中：1-α(0<α<1)稱為置信度/置信水平，α稱為區間估計的顯著性水平，其取值大小由實際問題確定，經常取1%、5%和10%。區間估計的內容：總體均值μ的區間估計總體成數P的區間估計總體方差σ2的區間估計區間估計的計算步驟計算樣本指標計算抽樣平均誤差查表得統計量臨界值計算抽樣極限誤差計算置信區間總體均值區間估計的要素：總體分布是否正態？總體方差是否已知？大樣本還是小樣本？要素影響抽樣分布總體分布總體方差樣本情況

服從分布置信區間正態總體σ2已知大樣本服從N（0，1）小樣本σ2未知大樣本近似服從N（0，1）小樣本服從t（n-1）非正態總體或分布未知σ2已知大樣本近似服從N（0，1）例1某企業從長期實踐得知，其產品直徑x是一隨機變量，服從方差為0.05的正態分布。從某日產品中隨機抽取6個，測得其直徑分別為14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1（單位：厘米）。在0.95的置信度下，試求該產品直徑的均值的置信區間。計算樣本指標→計算抽樣平均誤差→查表得統計量→計算抽樣極限誤差→計算置信區間解：正態總體、方差已知、小樣本計算樣本指標計算抽樣平均誤差查表得統計量計算抽樣極限誤差計算置信區間例2對某型號的電子元件進行耐用性能檢查，抽查資料分組如下表，要求估計該批電子元件的平均耐用時數的置信區間（置信度95%）。計算樣本指標計算抽樣平均誤差查表得統計量計算抽樣極限誤差計算置信區間解：正態總體、方差未知、大樣本計算樣本指標計算抽樣平均誤差查表得統計量計算抽樣極限誤差計算置信區間例3某商場從一批袋裝食品中隨機抽取10袋，測得每袋重量（單位：克）分別為：789、780、794、762、802、813、770、785、810、806，要求以95%的把握程度，估計這批食品的平均每袋重量的區間范圍。計算樣本指標→計算抽樣平均誤差→查表得統計量→計算抽樣極限誤差→計算置信區間解：正態總體、方差未知、小樣本計算樣本指標計算抽樣平均誤差查表得統計量計算抽樣極限誤差計算置信區間總體成數的區間估計由于總體的分布是（0，1）分布，只有在大樣本的情況下，樣本成數才服從正態分布。總體成數可以看成是一種特殊的平均數，類似于總體平均數的區間估計，總體成數的區間估計的上下限是：注意：在實踐中，由于總體成數常常未知，這時，抽樣平均誤差公式中的總體成數用樣本成數代替。大樣本的條件：np≥5且n(1-p)≥5例:某廠對一批產品的質量進行抽樣檢驗，采用重復抽樣抽取樣品200只，樣本優質品率為85%，試計算當把握程度為90%時優質品率的區間范圍。計算樣本指標→計算抽樣平均誤差→查表得統計量→計算抽樣極限誤差→計算置信區間解：計算樣本指標計算抽樣平均誤差查表得統計量計算抽樣極限誤差計算置信區間總體方差的區間估計大樣本情況下，樣本標準差s的分布近似服從正態分布N（σ，σ2/2n），所以，總體標準差的置信度為1-α的置信區間近似為小樣本情況下，若總體呈正態分布而其均值和方差未知，則總體方差的置信區間由如下的統計量的分布確定。所以，總體方差σ2的置信度為1-α的置信區間為例從某車間加工的同類零件中抽取了16件，測得零件的平均長度為12.8厘米，方差為0.0023。假定零件的長度服從正態分布，試求方差的置信區間（置信度為95%）。解所以，總體方差σ2的置信區間為第三節兩個總體參數的區間估計兩個總體均值之間的區間估計兩個總體比例之間的區間估計兩個總體方差比的區間估計一、兩個總體均值之間的區間估計兩個獨立樣本大樣本方差已知方差未知小樣本（總體應正態分布）方差已知方差未知但相等方差未知但不相等兩個匹配樣本大樣本小樣本獨立大樣本方差已知方差未知獨立小樣本、方差已知獨立小樣本、方差未知方差相等獨立小樣本、方差未知方差不相等兩個匹配樣本大樣本：小樣本：二、兩個總體比例之間的區間估計正態總體、獨立樣本三、兩個總體方差比的區間估計第四節抽樣樣本容量確定估計總體均值時樣本容量的確定重復抽樣不重復抽樣估計總計成數時樣本容量的確定重復抽樣不重復抽樣確定樣本容量應注意的問題計算樣本容量時，一般總體的方差與成數都是未知的，可用有關資料替代：①是用歷史資料已有的方差與成數代替；②是在進行正式抽樣調查前進行幾次試驗性調查，用試驗中方差的最大值代替總體方差；③是成數方差在完全缺乏資料的情況下，就用成數方差的最大值0.25代替。如果進行一次抽樣調查，同時估計總體均值與成數，用上面的公式同時計算出兩個樣本容量，可取一個最大的結果，同時滿足兩方面的需要。上面的公式計算結果如果帶小數，這時樣本容量不按四舍五入法則取整數，取比這個數大的最小整數代替。例：對某批木材進行檢驗，根據以往經驗，木材長度的標準差為0.4