8.2估計8.2.1點估計設為總體X的待估計的參數，為總體X的一個樣本，以具體數值去估計未知參數的方法叫點估計法.它的基本思想是：（1）用一定的方法構造出一個估計量（2）依據樣本值計算出估計量的觀察值（3）以此值作為總體參數的數值.例8.2.1設總體～試求的估計量.解

設則兩種常用的點估計法：矩估計法和最大似然估計法.矩估計法設X1,X2,…,Xn

是取自總體的一個樣本，稱為總體X的k階原點矩

.稱為總體X的k階原點矩

.設總體X的分布中含有未知參數

假定總體X的m階原點矩

存在.令

，即

解此方程組，可求得分別用解

作為未知參數

的估計量.這樣求出的估計量稱為矩估計量.

例8.2.2

設

是取自正態總體X~N的一個樣本，試求參數

的估計量.

解令

解方程組，

得

的矩估計量為

例8.2.3

設總體X服從均勻分布

它的概率

密度為求(1)未知參數的矩估計量；

(2)當樣本值為1.2，1.5，1.6，1.3，1.7，1.8時，求的矩估計值.解

(1)因為

令

,即

所以

(2)由所給的樣本值得所以

2.最大似然估計法最大似然估計法是對分布密度函數的參數進行點估計.設為隨機變量X的概率密度函數，計的參數.

為待估為取自總體X的一個樣本，

相應

的樣本值為

，令

稱

為的似

然函數.

在對參數的估計時，應使似然函數

達到

最大，

這種方法稱為最大似然估計法.

所得到的估計量

稱為最大似然估計量。

如果把xi看作常數，

于是求最大似然估計量

的問題，就轉化為尋求的值，使

最大.如下：

具體步驟(1)構造似然函數

(2)取對數

(3)解方程

求出使

取得極大值的，即是的最大似然估計量.設似然函數為對上式求偏導數，令這組方程的解

就是未知參數

的最大似然估計量.

例8.2.4設總體X的概率密度為其中為未知參數，且

.試求的矩估計量和最大似然估計量.解（1）因為令

解得

所以

（2）設

是總體X的樣本值，

似然函數為則的取對數

對求導，得方程解得

所以

例8.2.5

設總體X服從均勻分布

其概率

密度為試求參數的最大似然估計量.解設

是總體X的一組樣本值，

則參數

的似然函數為顯然，參數

的值越小，

似然函數

的值就越大.而

于是，似然函數

的極大值是

，即

例8.2.6

設總體X~N是取自

正態總體X的一組樣本值，

試求

的最大似然

估計量.解

X~N，其概率密度為所以似然函數是取對數

解方程組得到

于是得到

的最大似然估計是3.估計量的評價標準

對于同一個未知參數

可以采用不同的方法去估計，求出的估計量不一定相等.

那么，

哪一個估計量更好呢？

需要一定的標準來評價，

效性這兩個標準評價估計量的好壞.

通常用無偏性和有(1)無偏性設是總體X的未知參數的估計量，若

稱為參數的無偏估計量.例8.2.7

設

是總體X的一個樣本(n>2)，

若X服從泊松分布試說明：

都是的無偏估計.解因為

所以

即都是的無偏估計.例8.2.8

設

是取自正態總體

X~N的一個樣本，試說明：

(1)樣本均值

是總體均值

的無偏估計；

(2)統計量

是總體方差

的無偏估計；而統計量不是

的無偏估計.

解（1）因為

所以

（2）

即

是

的無偏估計。

由于

，即

得

所以統計量是總體X的方差的無編估計.而

所以統計量不是總體X的方差的無偏估計.(2)有效性對一個參數而言，僅根據無偏性來確定估計量的好壞是不夠的，

還要求它具有最小的方差，

即

的偏離程度越小越好，

這就是有效性的要求.都是總體X的未知參數

的無偏估計量,

如果

稱

有效.

例8.2.9

設

是取自正態總體X~N的一個樣本.試說明：

有效.

解由于

相互獨立且都與X同分布，所以于是

即

都是的無偏估計.而所以

例8.2.10

設總體X~NX1,X2是總體X的一個樣本，設問(1)中哪些是無偏估計量？(2)哪一個無偏估計量有效？

解因為X~N有

得

所以，

的無偏估計量，

的無偏估

計量，

且有效.8.2.2區間估計區間估計，

就是構造兩個統計量

及

用隨機區間

來估計總體分布所含未知參數的可能取值范圍的一種估計.

設總體X的未知參數為，對于給定的常數

，若由樣本

構造的統計量

值滿足

稱

為置信度（或稱置信水平），

區間

是

的置信度為

的置信

區間，

簡稱置信區間，

分別稱為置信下限和置信

上限.

區間

是隨機的，

不同的樣本取到的區間不同.

若選取置信度越大，

即未知參數

區間的概率越大，

的真值在置信那么估計值的可靠性就高；

區間的長度越大，

此時置信

即估計值誤差也越大，

則估計的精確

性就低，反之，則相反.

因此，在實際問題中，

選取置信度的值，

兼顧估計值的可靠性與精確性.應適當1.已知方差

對期望的區間估計

設

是取自正態總體X~N個樣本，

的一由樣本均值的分布知，

統計量：

，對于給定的置信度

由標準

正態分布表，

存在雙側臨界值

，使得

即所以的

置信區間為：例8.2.11

設總體X~N現從中抽取容量為7的樣本值：

1410，1505，1360，1530，1470，1525，1455．

試求在置信度為95%下的置信區間.解

已知，

由

，所以

查標準正態分布表，，故

且

×1.96=1539.1

即的置信度為0.95的置信區間是(1390.9，1539.1).2.未知方差

，對期望的區間估計設

是取自正態總體X~N的一個

樣本，

由t分布知，統計量其中和S分別是樣本均值和樣本標準差.對給定的置信度，由t分布表，存在雙側臨界值使得成立，即如下圖所示，所以的置信區間為例8.2.12

設取自正態總體X~N的一組樣

本值4.6，5.3，5.0，5.8，6.3，5.5，4.9，5.1.

試求總

體均值的置信度為0.90的置信區間.解

未知，

查t分布表，

且

所以的置信度為0.90的置信區間是(2.551，8.074

).

3.方差的區間估計設

是取自正態總體X~N

的一個樣本，

由分布知，統計量其中為方差，

為樣