《余弦定理》課標分析

【課標解讀】

《余弦定理》是人教B版必修五第一章的第二節，課程標準要求：“通過對任意三角

形邊長和角度關系的探索，掌握余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題”。要求“學

生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長與

角度之間的數量關系，并認識到運用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題”。

【課標實施】

根據《新課程標準》的要求，結合本課時的教學重點，考慮學生的實際情況，確立了

三維教學目標如下：

1、知識與技能目標：

(1)通過實踐與探究，會利用數量積證明余弦定理，提高數學語言的表達能力，體會向

量工具在解決三角形的度量問題時的作用。

(2)會從方程的角度理解余弦定理的作用及適用范圍，并通過實踐演算掌握運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題。

2、過程與方法目標：

通過體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，及數學與日常生活和其他學科的聯系.

認識數學知識在生產、生活實際中所發揮的作用.體會和感受數學思想的內涵及數學本

質,逐步提高創新意識和實踐能力.

3、情感態度價值觀目標：

通過三角函數、余弦定理、向量的數.量積等知識間的關系.，來理解事物之間的普遍聯

系與辯證統一。

教學重點

余弦定理的推導與簡單應用

教學難點

余弦定理的推導

《余弦定理》教材分析

【教材中的地位和作用】

《余弦定理》是人教B版必修五第一章的第二節，是解決有關斜三角形問題的兩個重要

定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量

知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生

活實際問題的重要工具，也因此成為是高考的必考內容之一，學習這部分知識對數學日

常學習和研究意義重大。

【教材處理】

本節課是“余弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上

屬于“定理教學課”。這堂課，我并不準備將余弦定理全盤托出呈現給學生，而是采用創設

情境式教學，通過具體的情景激發學生探索新知識的欲望，引導學生一步步探究并發現余弦

定理，使學生在各種數學活動中掌握各種數學基本技能，初步學會從數學角度去觀察事物和

思考問題，產生學習數學的愿望和興趣。

【教學目標】

依據課程標準，我提出如下三維教學目標：

2、知識與技能目標：

(1)通過實踐與探究，會利用數量積證明余弦定理，提高數學語言的表達能力，體會向

量工具在解決三角形的度量問題時的作用。

(2)會從方程的角度理解余弦定理的作用及適用范圍，并通過實踐演算掌握運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題。

3、過程與方法目標：

通過體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，及數學與日常生活和其他學科的聯系.

認識數學知識在生產、生活實際中所發揮的作用.體會和感受數學思想的內涵及數學本

質,逐步提高創新意識和實踐能力.

4、情感態度價值觀目標：

通過三角函數、余弦定理、向量的數.量積等知識間的關系一，來理解事物之間的普遍聯

系與辯證統一。

【教學重點】

教學重點：余弦定理的推導與簡單應用

教學難點：余弦定理的推導

學情分析

【學生特點分析】

知識準備:本課之前,學生已經學習了三角函數、向量基本知識和正弦定理等有關內容，

對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法和幾何方法來探求

余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。

認知能力：總體上，學生已具有較強的邏輯思維能力，但應用數學知識的意識不夠，看

待與分析問題不深入，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度；經歷余弦定理

的推導過程有助于學生形成嚴謹的邏輯思維能力。

生理和心理特征：高中生的注意力能夠較長時間集中，興趣范圍進一步擴大，并具有一

定的穩定性，所以在教學中要抓住學生的這一特征，創造條件和機會，讓學生發表己見，發

揮學生的主體作用，激發學生的數學學習興趣。

【教法與學法】

根據課程標準的要求，本節課我將運用“發現問題一自主探究一嘗試指導一合作交流”

的教學模式。整堂課圍繞“一切為了學生發展”的教學原則，突出：①動一一師生互動、

共同探索；②導一一教師指導、循序漸進。

(1)新課引入一一由學生熟悉的校園標志性建筑提出問題，激發學生的求知欲。

(2)掌握余弦定理的推導證明一一分類討論，數形結合，動腦思考，由特殊到一般，組織

學生自主探索,獲得余弦定理及證明過程。

(3)例題處理一一始終從問題出發，層層設疑，讓他們在探索中自得知識。

(4)鞏固練習一一深化對余弦定理的理解。

同時為了直觀清晰地展示材料，突出重點，提高課堂教學效率，本節課采用多媒體進行

輔助教學。

人教B版高二數學必修五教材教學設計

《余弦定理》

教師姓名:

濟南市

【課題】《余弦定理》

一、教材分析

《余弦定理》是人教B版必修五第一章的第二節，是解決有關斜三角形問題的兩個重要

定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量

知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生

活實際問題的重要工具，也因此成為是高考的必考內容之一。

二、教學目標

依據課程標準，我提出如下三維教學目標：

3、知識與技能目標：

(1)通過實踐與探究，會利用數量積證明余弦定理，提高數學語言的表達能力，體會向

量工具在解決三角形的度量問題時的作用。

(2)會從方程的角度理解余弦定理的作用及適用范圍，并通過實踐演算掌握運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題。

4、過程與方法目標：

通過體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，及數學與日常生活和其他學科的聯系.

認識數學知識在生產、生活實際中所發揮的作用.體會和感受數學思想的內涵及數學本

質,逐步提高創新意識和實踐能力.

5、情感態度價值觀目標：

通過三角函數、余弦定理、向量的數.量積等知識間的關系.，來理解事物之間的普遍聯

系與辯證統一。

三、學情分析

本節課的教學對象是高二理科學生，在知識方面：學生剛剛學習了正弦定理的推導證明

及應用，已經掌握了研究斜三角形的一般思路，對于本節課的學習會有很大幫助。在能

力方面：能通過探究活動完成數學學習，具有一定的類比、知識遷移變通能力。在情感

方面：具有強烈的學習興趣與信心。

四、教學重點與難點

教學重點

余弦定理的推導與簡單應用

教學難點

余弦定理的推導

五、教法與學法

根據課程標準的要求，本節課我將運用“發現問題一自主探究一嘗試指導一合作交流”

的教學模式。整堂課圍繞“一切為了學生發展”的教學原則，突出：①動一一師生互動、

共同探索；②導一一教師指導、循序漸進。

(1)新課引入一一由學生熟悉的校園標志性建筑提出問題，激發學生的求知欲。

(2)掌握余弦定理的推導證明一一分類討論，數形結合，動腦思考，由特殊到一般，組織

學生自主探索,獲得余弦定理及證明過程。

(3)例題處理一一始終從問題出發，層層設疑，讓他們在探索中自得知識。

(4)鞏固練習一一深化對余弦定理的理解。

六、教學過程

教

學教學內容師生互動設計意圖

環

節

PPT展示校園中標志性建筑--藝術樓，測問題1、正弦定理1、溫故知新

量人員要計算樓前一點A和樓側一點B之間的的內容是什么？2、從學生熟悉

情距離？（兩點之間不能直達）通過測量知道（生答）的生活實例，拉

境CA=8米，CB=5米，ZACB=60°問題2、正弦定近與所學知識的

理能解決三角形

引如何計算AB間的距離？距離，提高學生

中的哪些問題？

入引導學生思考能否用正弦定理求解？為的學習興趣，并

什么？問題3、能否用正

感受數學與生活

弦定理解決PPT

的聯系。

中的問題？

3、通過引入一個

問題4、把PPT中用正弦定理不太

容易做的例題故

的實際問題轉化

意為難學生，讓

為數學問題，應是學生積極思考解

決該問題的方

什么？

法，提高學習熱

情，激發學習的

欲望

首先，要求學生把實際問題轉化為數學問自我探索是一個讓學生通過合作

自題，即：若AABC為任意三角形，已知BC=a,提升自我,超越自交流，用已有的

我AC=b&NC,求AB邊長c.我的過程，大家挑知識探尋新知得

探本題是“已知三角形的兩邊及它們的夾戰一下。出余弦定理。通

角，求第三邊。”的解三角形的問題。

索給學生留10分鐘過共同解決問

其次，引導學生結合正弦定理的推導自己完成

獨立完成自我探題，求得新知，

上述題目

索突出重點，并通

定思維只有在碰撞過類比得到定

讓學生小組合作學習，交流自我探索知識

理中才能擦出智慧理，使學生獲得

的解決，最后各小組找代表展示本組的成果。

推的火花，知識只有知識的同時，領

通過學生的展示，有哪些方法能解決剛才

導經過討論爭論才會數學的對稱

的問題？（學生展示有幾何法，向量法）

能升華，下面大家美。

在學生的展示中，肯定會存在或多或少的

通過小組合作交

瑕疵，讓其他學生補充。

流來豐富剛才的

通過類比得出余弦定理的三個式子。并用

自我探索。

文字語言來敘述余弦定理。小組用5分鐘時

間交流討論

定學生自己用3分加深對余弦定理

理觀察定理，回答下列問題：鐘時間完成，并認的理解，體會數

剖1、余弦定理和勾股定理有何關系？真寫在問學案上。學的對稱，簡潔

析2、余弦定理的結構特征教師提問，其他學之美。

3、余弦定理能解決三角形中的哪些問題？生補充。

定首先回扣本節課開始提出的實際問題，讓學生獨立完成并通過回扣本節課

理學生自己完成并展示。展示，教師進行點開始提出的問

應通過例題1,要求學生掌握利用余弦定理評。題，讓學生感受

用解決三角形中“已知兩邊及其夾角求第三到數學是來源于

邊”，在解這個三角形的時候可以引導學生活，更是應用

生一題多解。于生活的。

例2要求學生掌握利用余弦定理解決三通過兩個例題既

角形中“已知三邊求解這個三角形”，在能加深對定理的

解這個三角形的時候同樣引導學生一題理解，又能夠鞏

多解，尋求最佳方案。固定理的應用

歸引導學生對本節課的知識與思想方法進學生歸納總結，教幫助學生形成完

納行歸納總結。師注意對知識、思整的知識體系，

總從知識方面：1、余弦定理的推導想方法發進行升體會余弦定理的

結2、余弦定理及其變形華。重要意義。

從思想方法方面：類比，知識遷移，由已

知知識來類比新知識得推導，方程思想的滲透

當學生利用5分鐘時間完成當堂檢測的兩學生展示，教師點通過當堂檢測不

堂個題目，包含利用余弦定理解決三角形中評僅能檢驗學生的

檢“邊角邊”“邊邊邊”兩類題目學習情況，還能

測鞏固定理，加深

理解。為了更進

一步提升學生的

能力，根據學生

完成情況配備了

一個高考題。

預分層布置作業，

設滿足學生的多樣

留必做作業：課本第8頁2、4化需求。

白選做作業：課本第10頁7、8并提出開放性作

布課外活動：在實際生活中，選擇不能直達業，讓學生提高

置的兩點，利用所學知識，通過測量計算出二者學習的興趣，感

作之間的距離受數學在實際生

業活中的作用

七、板書設計

余弦定理例1：例2

定理及變形

八、結束語

培根曾說過：“歷史使人賢明，道德使人穩重，詩歌使人高雅，數學使人高尚”，希望大家

在今后的學習和生活中做一個賢明，穩重，高雅，高尚的人，謝謝！

評測練習

時間：15分鐘滿分：100分

1、在AABC中，已知a=l1=l,NC=120°,解這個三角形（20分）

2、在三角形ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形的最大角（20分）

3、在三角形ABC中，a=2力=20,NC=45°,求角A,B及邊c（20分）

4、在三角形ABC中，A=60°,AC=2,5。=百，求AB的長（20分）

5、已知三角形的三邊滿足條件＞一（"一°）~=1,求NA（10分）

be

效果分析：本節課主要是余弦定理的推導和簡單應用，通過題目既能幫助學生進一步理解定

理，又能檢測本節課的學習效果，時間是15分鐘，95%的學生都能完成，平均分是90.4,

出錯原因是計算錯誤，在以后的教學中還應該強化計算能力的培養，定理的應用沒有問題,

可見本節課的教學效果己經達到，教學目標已經完成。

效果分析

本節課的教學對象是高二理科學生，在知識方面：學生剛剛學習了正弦定理的推導證

明及應用，已經掌握了研究斜三角形的一般思路，對于本節課的學習會有很大幫助。在能力

方面：能通過探究活動完成數學學習，具有一定的類比、知識遷移變通能力。在情感方面：

具有強烈的學習興趣與信心。

課程標準要求：“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握余弦定理，并能解決

一些簡單的三角形度量問題”。基于此，同時也希望通過這節課的教學，能讓學生體會數學

和生活的聯系，體會數學應用的廣泛性，認識數學的文化價值.所以本節課的教學，我做到

了：

在教學內容上：

在本節課的安排上共分了4個環節，具體分配及設計意圖如下：

生活實例開講--------激發學習興趣

自我探索討論--------學生全情投入

例題演練鞏固--------延續求知熱情

課堂小結反思--------分享自身成長

在教學理念上：

始終貫徹以學生為主體的教育理念，重視學生的知識形成過程，實行“143”有效問學模式，

始終以問題為中心，利用小組合作學習，讓學生主動積極的自我展示，隨時發現、肯定學生

的閃光點，讓學生及時享受成功的愉悅。同時，結合學生暴露出的思想或方法上的問題，給

予適時點撥.

當然，課堂是一個動態的過程，為使嚴謹的課堂更具彈性，我還做了其他準備，比如

利用解析法推導余弦定理以及高考鏈接，以便適時的給學生拓寬知識，提高分析問題解決問

題的能力，同時也讓學生更充分地感受到數學知識的廣泛應用。

盡管我傾心盡力，但總感到還有許多問題，如學生的規范性還不夠強，表達不夠嚴謹,

缺乏條理性，所以在以后的教學中還應該注重這方面的培養。

《余弦定理》觀評記錄

平陰一中數學組

一、研討時間：2016年4月1日

二、與會人員：

組長：趙延忠（主持人）

小組成員：、張福平、王信嶺、王新年、趙延忠、李衍利、黃冬云、馮麗麗、張明春、孟

憲彬、梁建國、孫長營、尹耀輝

三、研討主題：觀課后評議會

四、研討實錄：

主持人：我們大家已經觀摩了老師執教的《余弦定理》，下面首先請袁老師談一下自己

的教學思路。

：各位老師大家好，下面我把備課思路給大家匯報一下。

本節課是《余弦定理》教學的第一課時，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上

屬于“定理教學課”。這堂課，我并不準備將余弦定理全盤托出呈現給學生，而是采用創設

情境式教學，通過測量我們美麗的校園中不能直達的兩點間的距離這一具體的情景激發學生

探索新知識的欲望，引導學生一步步探究并發現余弦定理。由于是理科班，學生基礎比較好，

因此在整個教學過程，以教師為主導，學生為主體，以問題為中心，采用小組合作探究的方

式推導出余弦定理，以此培養學生自主獲取知識的能力，從而形成實事求是，力戒浮夸的思

維習慣。最后是知識的應用，首先讓學生完成本節課開始提出的實際問題，體會數學是來源

于生活更是應用于生活的。兩個例題是定理的簡單應用，既能讓學生進一步理解定理，又能

體會定理的作用，培養學生學習數學的興趣，提高學習的熱情。

主持人:根據這節課的教學目標,請大家從自己的觀課維度來交流一下對這節課的看法。

趙延忠：本堂課教學設計環環相扣，層次清晰明了。由學生熟悉的校園風景引入，拉近

了與所學知識的距離，能極大的提高學生學習的熱情。在教學中，將實際問題數學化，具體

問題一般化，符合學生的認知規律，能激發學生學習的欲望。在教學過程中能充分體現學生

的主體地位，在教師的引導下，以問題為主線，能大膽放手給學生，利用小組合作學習，通

過學生討論，實現思維的碰撞進而來解決問題，極大的提高了學生的參與度，讓學生真正的

成為學習的主人，所以說本節課是非常成功的。

王新年：本節課比較流暢，設計思路清晰，在整個教學中，借助于問學案，以問題為中

心，問題知識化，知識問題化，整個課堂充滿問題，更可貴