正弦定理

一、教材分析

1、本節課的地位、作用和意義

本節課內容選自普遍高中課程標準實驗教科書（北京師范大學出版社出版）

必修5Pp,第2章第1節內容。在初中，學生已經學習了三角形的邊和角

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的基本關系、全等三角形等與三角形有關的基礎知識；同時在必修4,學生也

學習了三角函數、向量三角恒等變換等內容。這些為學生學習正弦定理提供了堅

實的基礎。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形邊、角之間數量

關系的重要公式，在物理學等其它學科、工業生產以及日常生活等往往涉及解三

角形的問題。

2、課時安排：2課時，其中第1課時為正弦定理的推導、正弦定理以及利

用正弦定理來解已知兩角一邊的三角形等；第2課時為利用正弦定理來解已知兩

邊以及其中一邊的對角的三角形和其它簡單應用。

3、本節課的教學重點和難點

我通過解讀新課標和分析教材，認為：

重點：通過新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為正弦定理的推導有

利于培養的學生發散思維，學生能體驗數學的探索過程，能加深對數形結合解決

數學問題的理解，所以正弦定理的證明是本節課的重點之一；同時，數學知識的

學習最終是為了應用，所以正弦定理以及正弦定理的應用也是本節課的重點之

突出重點的方法：①用引導學生進行分類討論、類比法、分組討論法來突出

正弦定理的推導；②用講練結合，精選例題、練習和問題，歸納法來突出正弦定

理的應用。

難點：新定理的發現需要一定得創新意識和發散思維，這正是多數學生所缺

乏的，但是社會需要的是創新人材，因此，正弦定理的猜想發現是本節課的難點。

突破難點的方法：轉化法(由特殊向普通轉化)、鼓勵和引導法。

二、教學目標分析

1、知識與技能目標

(1)能在2分鐘內寫出正弦定理的符號表達式，準確率為97%；

(2)能利用正弦定理來解決已知兩角一邊的三角形以及相關簡單的實際問

題。

2、過程方法與能力目標

(1)通過正弦定理的推導，逐步培養合情推理、探索數學規律的思維能力；

(2)在利用正弦定理來解已知兩角及一邊的三角形的過程中，逐步培養應用

數學知識來解決社會實際問題的能力。

3、情感、態度、價值觀目標

(1)通過參預、思量、交流，體驗正弦定理的發現過程，逐步培養探索精神

和創新意識。

(2)在運用正弦定理的過程，逐步培養實事求是、扎實嚴謹的科學態度。

三、學情分析

學法：以討論法(師生對話、生生討論)為主，以發現法、類比法、接受法、

練習法為輔。

理由：①學生的認知發展理論;②高中生已有的數學學習能力;

③本節課的內容特點;④本班學生的實際情況

四、教法分析

教法：以引導一啟示法為主，以講授法、討論法以及多媒體演示法。

理由：①學生的學習方法；②我個人的知識水平以及經驗；③學校的條件

五、教學程序分析

教學教學內容以及問題設計設計意圖

環節

我會利用多媒體放映一

幢建造物(圖1),并

A

提出如下問題：1

情(1)如何用量角器量由測

景量建造物的高度h?用?通過生活中的知識引

導(2)如果建造物前有小湖入，激發學生學習需要和

入等障礙物，又該如何測量其高度h?學習期待，以問題引起學

在學生進行思量、討論后，生學習熱情和探索新知的

根據同學的思路，我會引導欲望。

0B

學生分別建立如圖1和圖2HI2

的數學模型，利用初中的解

直角三角形知識求解。A

N

最后引入這節課的問題：

這個實際問題說明了三

CB

角形的邊與角有密切的D

圖3

聯系，這節課將研究表示

普通三角形的邊與角的等

量關系的定理一一正弦定理

1、奧蘇伯爾認為，意義學

我請同學們思量：在直角A習就是將符號所代表的新

三角形中，各角的正弦怎么b知識與學習者認知結構中

表示？能找到等量關系嗎？己有的適當觀念建立起非

raB

因為:sinA=「，sinB=：,人為的和實質的聯系。在

所以c=—L=—t，同時不，

探?發現：=此環節上，我突破難點（正

sinAsinBsinC

c丁曰ab_c

索-----Co十是：TTTrTr-,—.①弦定理的發現）的方法是

sin_sinHsinBsin（

2

發利用學引導學生從熟悉的

說明：這個過程通過師生互動過木呈實現，我的角

現求直角三角形各角的正弦

色是引導、鼓勵學生積極思量，并表達其想法。

猜入手，鼓勵、引導學生積

接著，我提出問題：這個結論對普通三角形成立

想極主動地思量，創造意義

嗎？如果成立，該如何證明？

新學習的條件。

課2、對正弦定理的發現采用

學的是由特殊到普通地思想

習方法。

首先，我引導學生認清“普通三角形”的含義，包

括直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。其次，把

全班分組八個組（平時上課時候，已經分好組，各組1、該環節在我的引導下，

差異不大），教室左邊四個組探索銳角三角形，另四學生分組討論，合作交流，

個組探索鈍角三角形，引導學生討論探索：①式對于進行“再創造”，體現了數

銳角、鈍角三角形是否成立？如成立，怎么證明？學新課標所倡導的積極主

學生活動：分組討論探索，我走動觀察，采集信動，勇于探索的學習方式

息，對有艱難的學生進行啟示，對證明有發展的進行的課程理念。

全班表揚，鼓勵其繼續努力。

教師講授：首先，我放映利用I幾何畫板》制作

的多媒體動畫，畫面將顯示：不管三角形的邊、角如

何變化，比值：—，—，—的值都會相等。

sinAsinBsinC

正弦定理的證明方法有：作高法、面積法、外接2、正弦定理的證明即是重

圓法以及向量法等，我將根據學生探索的實際情況利點，這里，我采用多媒體

探用多媒體顯示這四種方法的一種或者兩種，其中向量技術來突出重點，直觀且

法

效率高，與數學新課標注

索證明鈍角三角形的正弦定理書寫過程如下:

重信息技術與數學課程的

正如下圖，以A為原點，以射線AB的方向為x軸正

整合的理念相符。

弦方向建立直角坐標系，C點在y軸上的射影為clo

定因為，向量AC與BC在y軸

新理上的射影均為

IQCJJAAcos(A—")=bsinA,3、對我的教學行為分析。

課的

2

新課程不僅要求教師的理

學證sinB=asinB,

念要更新，而且要求教師

習明所以bsinA=asinB

的角色也作相應的變化，

即

sinAsinB

在這里，我的角色是學生

同理,

sinAsinC

學習的促進者、匡助者和

a__b___u-

所以

sinAsinBsinC

若A為銳角或者直角，也可以得到同樣的結論。引導者。

于是，我們得到了這樣的定理：

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相

AtA*nnabc

sinAsinBsinC

例1某地出土一塊類似三角形

刀狀的古代玉佩（如圖4）,

其中一角已經破損。現測得

如下數據:BC=2.67cm,CE=3.57cm,

BD=4.38cm,B=45,C=120。為了復原，請計算

AH

原玉佩兩邊的長（結果精確到0.001cm）o

應

sinAsinB,

用

...AC—6csit7.02（cm）

sinA

舉設計此環節目的有三，其

同理，AB^8.60（cm）

例一是進一步深化學生對定

小結1（用方程的思想來解釋）：

理本質的理解，突出重點

已知兩角及任一邊，利用正弦定理可求另兩邊及

（正弦定理的應用）；其

一個角（有惟一解）。

二，從例1的小結中，學生

例2在4ABC中，一定成立的等式是（）

可以體味方程的思想來思

A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

考、解決問題；其三，培

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA

小結2如果等式兩邊是邊（或者角的正弦）的齊次養學生養成及時進行歸納

式，那末就可以利用正弦定理，將邊（或者正弦）的的意識，提高其總結能力。

齊

次式換成對應正芳（或者邊）的齊溝式

練通過動手練習來鞏固、加

在4ABC中，已知下列條件，解三角形

習深學生正弦定理的理解，

1、A=45°,C=120°,c=10cm

反培養學生的口頭表達能

2、A=60°,B=45°,c=20cm

饋力。

注.請兩個同學到黑板卜進行解答并進行簡單講解

1、利用多媒體顯示正弦定理：（合用普通三角形）

a_b_c

sinAsinBsinC

通過師生的互動對

2、正弦定理可解以下兩種類型的三角形：

課堂話，再現本節課的主要內

（1）已知兩角以及任何一邊；

小結容和思想方法，再次加深

（2）下節課學習

學生對對正弦定理的認識

3、正弦定理的其他應用

如果等式兩邊是邊（或者角的正弦）的齊次式，

那末就可以利用正弦定理，將邊（或者正弦）的齊次

式

換成對應正弦（或者邊）的齊次式作業分為三種形式，體

1.閱讀作業:預習P-P

4749現作業的鞏固性和發展性

2.課后作業：P,2,7「?

作業