精編高中數學《函數單調性》教學案例

【教學環境】電腦教室，每生一臺機，教師機可以控制學生機，例如觀察某一臺學生機

學生的操作，讓某一學生機學生觀看教師機的操作，讓所有學生觀看教師機的操作，等等。

【理論指導】建構主義學習理論強調的是學生的認知主體作用，也就是認為學生是信息

加工的主體，是意義的主動建構者，教師扮演組織者、指導者、幫助者和促進者的角色。

數學課堂生態化研究，強調的是一種動態的、生長的、可持續發展的課堂教學氛圍，而

不是以犧牲學生個性為代價追求效率的做法。數學課堂生態化研究，注重在教學過程中，教

師、學生、內容和環境各個要素內部以及各個要素之間的相互溝通。

多媒體信息具有直觀性強的特點，對學生形成多感官刺激，能引起學生的強烈興趣和注

意。利用多媒體的交互性，學生獲得了對信息的完全控制，能激發學生的求知欲、創造欲。

所以，以學生為中心、教師為主導的多媒體輔助教學往往能營造出一個讓學生發現問題、討

論問題的全新的學習環境。

【構想及教學目的】在建構主義學習理論及生態學理論的指導下，我們的課堂教學應該

為學生創造一個全新的學習環境，指導學生自主學習，讓學生更注重知識的發生過程，為學

生營造出一個在體驗中發現、在發現中討論、在討論中解決的學習環境。為了深入學習函數

單調性，我利用電腦輔助，創設問題情境，激發學習興趣，讓學生在充實背景下分析問題,

思考問題，從而發現規律，抓住問題的本質。

本節課的教學目的是：

(1)要求學生掌握函數單調性的定義，并激發學生思考函數單調性的判斷方法。

(2)滲透數形結合思想，了解數形結合方法。

【教學過程】

創設情境引入新課

師：上節課，我們學習了函數的三種表示法，分別為：

(師語音拉長，師生一塊兒回答)

生：列表法、公式法、圖像法。

師：它們的區別是什么？

生：列表法就是用表格來表示函數的方法；公式法是用函數解析式來表示函數的方法；

圖像法是使用平面直角坐標系里的圖形來表示函數的方法。

師：這三者之間又有密切的聯系，它們之間可以相互轉化。我們要研究一個函數，可

以由解析式來研究，還可以由圖像來研究，這就是我們前面接觸過的數形結合思想。

在生活中，很多現象都繪制成一個圖像，我們可以根據圖像來研究它們的規律，如：

電視上經常看到的股市行情圖，根據股市的行情圖來估計某種股票在未來幾天的走勢等等,

可見研究圖像是非常必要的。

合作交流探索新知

這節課我們就來研究一下函數圖像的性質。

我們先來研究一下y=的圖像有什么特點？

為了研究這個問題，打開《幾何畫板》，完成以下步驟：

(1)用圖表菜單建立直角坐標系。

(2)用選擇工具選中工軸，再用作圖菜單中的對象上的點，取x軸上的活動點A(它的

橫坐標表示自變量x)。

(3)利用度量菜單的橫坐標功能和計算功能分別計算出點A的橫坐標/及/的值，并

用文本工具將其標簽分別改為x,y0

(4)利用圖表菜單的繪制點功能繪制點B(x,y),最后用選擇工具選中點B,用顯示菜單

中追蹤繪制的點，用鼠標拖動點A,便可得到二次函數的圖像y=的圖像。

師：請同學們用鼠標拖動點A,觀察拋物線是怎樣變化的？，的值又是怎樣變化的？

越高。

師：同學們覺得他說的對不對呢?

（部分同學說對，部分同學不說話，感到有些疑惑）

甲同學所說的前半部分是完全有道理的，但最后的結論就有一點小小的問題？注意他觀

察的視線是怎樣變化的？

生乙：它是從中間觀察的，先向左看，再向右看。

師：對，我們研究任何事物都要遵循一定的規律，觀察圖像要方向一致，我們可以采取從

左向右看。

生丙：點A由左向右的運動中，圖像的整體先下降，后上升，圖像的左邊那部分整體是

下降的，隨著x的增大，函數值y在減小；圖像的右邊那部分整體是上升的的，隨著x的增

大，函數值y在增大。

師：我們研究的函數y=d,其定義域為R,同學們所說的兩個部分可以認為是定義

域內的兩個區間，區間（-8,0］和（0,+8）。在區間（-8,0］內，函數從左到右是一段下降的

曲線，隨著x的增大，函數值y在減小，則稱函數＞=必在區間（YO,0］上是嚴格遞減的。

在區間（0,+o。）內，函數從左到右是一段上升的曲線，隨著x的增大，函數值y在增大，則

稱函數在區間（0,+?）上是嚴格遞增的。

提出問題：如何將它轉化為數學語言呢？

（學生討論）

提示：打個比方，如果你組織班里的同學從左到右按由高到低排成一隊，你如何來證明

你是按照這樣的順序排的呢？

學生甲：我們可以從此隊中取兩位同學來測量高度，只要取的那兩位同學，左邊同學身

高〉右邊同學身高，就可以說明我是按照從左到右由高到低排的隊。

學生乙：那兩位同學符合但其他同學呢？所以那兩位同學不具有代表性。

學生甲：那你可以隨便取。

師：“隨便取”用我們數學的語言來說就是一一“任意取”。（提示甲）你試著用數學的

語言來重新敘述你的觀點

學生甲：我們可以從此隊中任意取兩位同學來測量高度，只要任意取的那兩位，左邊同

學身高＞右邊同學身高，就可以說明我是按照從左到右由高到低排的隊。

師：“在區間隨著x的增大，函數值在減小”如何用數學語言描述呢？

學生丙：受剛才那個例子的啟發，要說明在區間（fo,0］內所有點的x增大，y都減小，

我們可以在這個區間內任意取%,%，當占＜/時，都有/（七）〉/（%），那么這個問題就

解決了。

總結深化得出概念

我們得到以下概念

教師打出第一張PowerPoint幻燈片

1.設函數/（x）的定義域為A,區間/0A,如果對于任意的石,％2e/,當為＜%2時，

都有

則稱函數/（X）在區間I上是嚴格遞增的。（或者說函數/（X）在區間I上是增函數）

稱區間I是單調上升區間。

2.設函數/（%）的定義域為A,區間/0A,如果對于任意的石,々e/,當藥＜%2時，

都有

/（x1）＞f（x2）,⑵

則稱函數/（x）在區間I上是嚴格遞減的。（或者說函數/（x）在區間I上是減函數）

稱區間I是單調下降區間。

說明：如果在⑴中把換成“W”則稱函數/（%）在區間I上是遞增的。

如果在⑵中把換成“2”則稱函數/（%）在區間I上是遞減的。

3.如果函數/（x）在定義域上是遞增的（或遞減的）則稱/（幻是單調函數。

如果函數/（X）在定義域上是嚴格遞增的（或嚴格遞減的）則稱/（X）是嚴格單調函數。

4.函數在某個區間上是遞增或遞減的性質統稱為函數的單調性。

注：函數的單調性是對某個區間而言的，它是一個局部概念。

提出問題課后思考

教師打出第二張PowerPoint幻燈片

思考：函數》

①在（YO,0］內是否具有單調性呢？若有，它是單調遞增還是單調遞減

②在（0,+8）內呢？

③在整個定義域內也具有單調性呢？

（帶著思考結束函數單調性的概念教學，相信這個問題學生可以自己解決。）

課后記這兩年我在多媒體教學方面做了很多努力，收效也很好。我由原來課前做好課件

到邊上課邊做課件的轉變，更進一步的體會到多媒體并不只是老師“教”的工具，也是學生

“學”的工具，雖然上課的內容少一點，但是學生對此有極高的興趣，而興趣是學生參與的

最可貴的原動力。

討論判斷函數單調性的方法的活動課

學習的本質是一種認知過程，認知心理學表明學生的知識形成過程是外來的信息與學生

原有知識和思維結果相互作用的過程，學生的數學能力是通過活動作為中介形成的，在活動

中進行思考，在思考中進行活動是青少年的一個重要心理特征。

為了使學生更好的理解函數單調性的概念，學會判斷函數的單調性的方法，我決定上兩

節活動課，考慮到在活動課中，學生活動不能盲目的忙碌、活躍，而應有目的的進行，所以

我在上完第一節函數單調性的概念之后，就給每個學生發2張作業紙，并告訴學生，在下一

節課時，我們將討論這些問題，請同學們課后自己思考，這樣就使他們明確活動的目的。

在活動課中，學生自由組合成組，并分工合作，有記錄員，專門記錄本組成員的想法及

思路；有組織者，專門負責小組活動中討論問題的順序；有總結者，專門負責總結本小組活

動后對各個問題的見解，并寫出參考答案；有解說員，專門負責把本組的參考答案解說給全

班同學，這樣有利于學生發揮各自的想象力及特長。另外為了使各個小組之間有相互交流分

享活動結果的機會，在討論結束后，讓各組的解說員站在講臺上，來講解他們的參考答案。

要求解說員不能單純的讀參考答案，必須向老師講課一樣，講給大家聽，讓他們扮演一回小

老師，其他同學對不理解的地方可以提出問題，讓解說員來解答，這樣不僅能鍛煉學生的思

維能力及表達能力，還可以使他們在講解中發現問題，從而更好地解決問題。

不會激勵學生的老師不是好老師，激勵是學生創新精神和能力的生長劑，是活躍課堂心

理環境的催化劑。所以，在學生討論時，我鼓勵學生大膽的提出自己的見解，并注意捕捉學

生身上的“閃光點”及時地給予表揚，使每個學生能夠體驗到成功的喜悅。我的贊揚語主要

有：很好!，非常好！，非常精彩!，真了不起！你真棒！注意在贊揚中的語氣要飽含激情，

讓學生聽了之后感到很振奮，并對自己充滿信心。在鼓勵之后，給他們提示存在的問題，但

我是不會直接給予答案的。美籍匈牙利的數學家和數學教育家喬治?波利亞(GeorgePolya)

對我們教師提出的十誡之一是：不要立刻透漏你的秘密一一讓學生在你說出來之前先去猜,

盡量讓他們自己找出來。

本次活動課的課時安排為2課時

活動1（作業紙1）

問題1同學們主要采用了以下幾種方法：

1.通過在本子上畫出函數g（x）=2x-l在區間（-8,+8）上的圖像來觀察它從左到右的是上

升的直線得到它在這個區間內是是增函數

2.通過利用《幾何畫板》軟件作出函數8（?=2%-1在區間（-8,+8）上的圖像，利用圖像

上一點動態的觀察得到結論。

這個問題的解決比較容易一些，大部分同學都采用了第一種方法，因為同學們對于它的圖像

比較熟悉，第一種方法比較簡單，但還有一部分同學采取了第二種方法，這部分同學通過上

節課的學習，對《幾何畫板》產生了極大的興趣，發現原來計算機除了可以上網，打游戲外

還有這樣的用途一一可以用來學習數學。

從學生的行動及表情上可以看出他們在作出這個問題之后，內心充滿了喜悅，對自己也有了

極大的信心，準備攻克問題2。

問題2是研究一次函數一般形式的單調性的問題。我們研究事物經常采取由特殊到一般

的思維過程，問題2就體現了這樣的思想。

問題1是由圖像得到函數的單調性，同學們想到對于問題2是否也可以用同樣的方法來

解決呢？函數/（%）=依+/左力0）的圖像可以作出來嗎？同學們展開了討論，有的同學說,

題目中沒有告訴具體的左值，無法作出圖像，有的同學說，可以討論左值當左＞0時，函數

肯定過一、三象限，當左＜0時，函數肯定過二、四象限，這樣就可以大致畫出函數的圖像

了。另一個同學說：數學要講究嚴密性，什么是“大致”？（我在上課時經常提到“數學要

講究嚴密性”沒想到居然用到了這里，可見我們作為老師你每講一句話都可能影響到學生,

所以上課一定要注意自己的語言）

那么應該如何判斷函數的單調性呢？這樣就給學生又設置了一個懸念，此時，有的組的

同學想到，數學中的定義既可以看作性質，又可以當作判定，那么是否可以用定義來判定呢？

于是，他們就開始了新的討論。有的組仍然用圖像來做，給左取值當左=1時、當左=2時、

當左=3時、當上=—1時、當左=—2時、當上=—3時，由這些特殊的情況總結出一般的情

況，實際上他們采取的是數學歸納法的思想方法，這使我想到，是否可以由這個問題給他們

講一下數學歸納法呢？此時講，這組的同學一定會聽得非常認真，因為這是他們發現的知識。

問題3在問題2的基礎之上，問題3似乎已不成問題了，所以有大部分同學已經放松了

警惕性，他們先研究者這個函數的定義域是(fO,0)D(0,+8),各組仍然按照問題2的思

路來做，他們在做的過程中，發現這個問題也需要討論，通過討論之后，他們很快得到了結

論。

某一組的解說員在講解這個題時說：經過我們組的討論，反比例函數/(x)=!在區

X

間(-00,0)上是嚴格單調遞減的，在區間(0,+00)上也是嚴格單調遞減的，所以反比例函數

/(x)=L在整個定義域內也是嚴格單調遞減的。(這一組采用的是利用定義證明)

X

用圖像來觀察的另一組的一位同學發現問題了，他發現當藥=-1時％=-1,當％=1

時乂=1，得到藥＜々，％＜為這好像不符合函數是嚴格單調遞減的定義，但好像又找不

到錯誤的原因，這個學生是比較內向的學生，思維是非常嚴謹的，他沒有象有些學生，大膽

的向解說員提出問題，而是低聲叫了一聲老師，然后，我走了過去，他向我提出了疑問，在

我的一再鼓勵之下，他站起來向大家說出他的見解，課后，他告訴我，他這次雖然講的不好，

但他非常高興，應為他戰勝了自己。

那位同學提出問題后，同學們又陷入了沉思！

問題4是在前三個問題解決的基礎上才提出來的，前三個問題是通過他們自己的努力得

到的，所以第四個問題就較好解決了，學生們在完成這個問題的討論之后，臉上露出了甜美

的微笑，這微笑中不但包含著他們對成功的喜悅，還包含著他們對未來的希望，我覺的，學

生此時的微笑是最燦爛的！

活動2(作業紙2)是屬于社會實踐的問題，

學生在完成了前兩節課之后，我給學生留了一個星期的時間來完成“統計數據、作出圖

像、分析圖像、得出結論”這些工作。

我原估計，很多同學可能都只做第一題，第二題根本不做。

一個星期之后，結果完全出乎我的意料，第一題是每位同學都做了，并且做得非常好。

第二題也幾乎每一位同學都做了，更出乎我的意料的是，他們的想法已經涉及到了各個領域,

有的做了一個我國人口隨時間變化的曲線圖，通過圖像來分析我國在各個時期的人口變化狀

況，并提出他對這個問題的觀點；有的