第九章離散系統(tǒng)的z域分析主講教師：廖斌1引言2

9.1z變換3在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動機，也可以通過一種稱為Z變換的數(shù)學工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。

從拉普拉斯變換到Z變換對連續(xù)信號進行均勻沖激取樣后，就得到離散信號:

兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得

9.1z變換

59.1z變換5

6S平面與z平面的映射關(guān)系

令

9.1z變換79.1z變換

89.1z變換

99.1z變換

Z變換的意義

10

9.1z變換

11Z變換的收斂域9.1z變換

z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當該冪級數(shù)收斂，即

12

9.1z變換13

9.1z變換149.1z變換

15

9.1z變換

16

9.1z變換17

序列的收斂域大致有一下幾種情況：（1）對于有限長的序列，其雙邊z變換在整個平面；（2）對因果序列，其z變換的收斂域為某個圓外區(qū)域；（3）對反因果序列，其z變換的收斂域為某個圓內(nèi)區(qū)域；（4）對雙邊序列，其z變換的收斂域為環(huán)狀區(qū)域；

9.1z變換18

關(guān)于收斂域注意事項雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對應的原序列將不唯一。

對單邊z變換，其收斂域比較簡單，一定是某個圓以外的區(qū)域。可以省略。

9.1z變換199.2常用序列的z變換

已知20

9.2常用序列的z變換21

9.2常用序列的z變換同理可得，

229.2z變換的性質(zhì)

線性性質(zhì)*但在某些特殊情況下，收斂域可能擴大。23

9.2z變換的性質(zhì)

那么有所以得

24

9.2z變換的性質(zhì)

25

移位特性雙邊z變換的移位：

證明：

9.2z變換的性質(zhì)26單邊z變換的移位：

9.2z變換的性質(zhì)27單邊z變換的移位：

9.2z變換的性質(zhì)28

證明：

9.2z變換的性質(zhì)29

-1-2-1

9.2z變換的性質(zhì)30

9.2z變換的性質(zhì)31

9.2z變換的性質(zhì)32指數(shù)加權(quán)特性

(z域尺度變換)

證明：

舉例：9.2z變換的性質(zhì)33序列乘k（z域微分）

9.2z變換的性質(zhì)34證明：

9.2z變換的性質(zhì)35

9.2z變換的性質(zhì)36k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換）

9.2z變換的性質(zhì)379.2z變換的性質(zhì)初值定理和終值定理

初值定理38證明：

因為9.2z變換的性質(zhì)

39

9.2z變換的性質(zhì)40

終值定理9.2z變換的性質(zhì)41證明：

所以9.2z變換的性質(zhì)

42

9.2z變換的性質(zhì)439.3z變換的性質(zhì)卷積定理

449.3z變換的性質(zhì)

從而得證。45

解：由于由卷積定理得,

所以可得，

9.3z變換的性質(zhì)9.4逆z變換46

冪級數(shù)展開法

47

解:

9.4逆z變換48

9.4逆z變換49

9.4逆z變換509.4逆z變換

難以寫成閉合形式。51部分分式展開法

可以展開成為

9.4逆z變換52

9.4逆z變換53

計算公式中待定系數(shù)：

9.4逆z變換549.4逆z變換

解：

55

9.4逆z變換56

解：

9.4逆z變換579.5差分方程的z域分析與求解

58

9.5差分方程的z域分析與求解

59

9.5差分方程的z域分析與求解

60其中，

9.5差分方程的z域分析與求解619.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)定義

它可以用來表示離散系統(tǒng)的系統(tǒng)傳輸特性,62

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性63

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性

64系統(tǒng)函數(shù)零點和極點

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性65

可得H(z)的零極點分布圖。例：離散時間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性66系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性

67

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性68系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)時域特性9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性

（這里假設系統(tǒng)函數(shù)的極點都為單極點）離散LTI系統(tǒng)的時域特性主要取決于系統(tǒng)函數(shù)的極點分布。69

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性70系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)頻域特性

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性719.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性

72

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性73

將其代入上式可得：

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性74

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性75

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性76

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性77

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性78

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性79

9.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性809.7系統(tǒng)頻率響應函數(shù)幾何繪制對于零極增益表示的系統(tǒng)函數(shù)

81

9.7系統(tǒng)頻率響應函數(shù)幾何繪制82

9.7系統(tǒng)頻率響應函數(shù)幾何繪制83

9.7系統(tǒng)頻率響應函數(shù)幾何繪制84（a）系統(tǒng)的零極點分布

（b）系統(tǒng)的幅頻響應(c)系統(tǒng)相頻響應9.7系統(tǒng)頻率響應函數(shù)幾何繪制9.8離散LTI系統(tǒng)的方框圖表示85對于離散系統(tǒng)，同樣可以利用模擬框圖來表示一個系統(tǒng)，其中模擬基本運算器的z域模型如圖所示。86串聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)等于各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)乘積，其關(guān)系如圖所示。

9.8離散LTI系統(tǒng)的方框圖表示87并聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)等于各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)之和，其關(guān)系如圖所示。

9.8離散LTI系統(tǒng)的方框圖表示88

9.8離散LTI系統(tǒng)的方框圖表示899.8離散LTI系統(tǒng)的方框圖表示離散LTI系統(tǒng)的z域模擬

離散LTI系統(tǒng)的z域模擬主要是采用加法器、延時環(huán)節(jié)以及標量乘法器等基本運算單元來模擬實際的離散系統(tǒng)。其中常用的實現(xiàn)方案有直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。

直接型90級聯(lián)型

對每一個子系統(tǒng)畫出直接型結(jié)構(gòu)圖，最后將這些子系統(tǒng)連接起來便