2024北京數學一模第26題匯編1.（2024平谷一模）在平面直角坐標系xoy中，拋物線．（1）當拋物線過點（2,0）時，求拋物線的解析式；（2）若拋物線上存在兩點和,若對于都有，求b的取值范圍．2．（2024石景山一模）在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線（1）求t的值（用含m的代數式表示）；（2）點，，在該拋物線上若拋物線與x軸的一個交點為，其中，比較，，的大小，并說明理由．（2024燕山一模）在平面直角坐標系中，M(m，)，N(m＋2，)是拋物線上兩點．設該拋物線的對稱軸為．(1)若對于m＝1，有＝，求t的值；(2)若對于1＜m＜2，都有＜，求t的取值范圍．4．（2024北京匯文中學）（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求拋物線的頂點坐標（用含t的代數式表示）；（2）點P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若對于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范圍．5．（2024人大附一模）（6分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+1與y軸的交點為A，過點A作直線l垂直于y軸．（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）．（2）將拋物線在y軸左側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．點M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點．①當m＝0時，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關系，并說明理由；②若對于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范圍．6．（2024北京陳經綸一模）（6分）如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC⊥OA于點C，過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D．（1）求證：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半徑．7．（2024北京四中一模）（本題9分）如圖，四邊形為正方形，點為延長線上一點，連接，交于點，交于點，連接．(1)求證：與的外接圓相切；(2)當時，判斷和有怎樣的數量關系？并說明理由；(3)在（2）的條件下，求與的比值．8.（2024北京西城一模）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．設拋物線的對稱軸為直線x=t．（1）若，求t的值；（2）若當時，都有求t的取值范圍．9.（2024北京朝陽一模）在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，它的對稱軸為直線．（1）若該拋物線經過點，求t的值；（2）當時，①若，則0；（填“>”“=”或“<”）②若對于，都有，求t的取值范圍．10.（2024北京首師大附中一模）如圖，在等邊中，點在邊上，點在的延長線上，且．（1）求證：；（2）點關于直線的對稱點為，連接，，①根據題意將圖補全；②在點運動的過程中，和有什么數量關系并證明．11．（2024北京順義一模）在平面直角坐標系xOy中，M，N是拋物線上任意兩點，設拋物線的對稱軸為.（1）當，，求拋物線的對稱軸；（2）若對于，，都有，求t的取值范圍.12．（2024北京豐臺一模）在平面直角坐標系xOy中，，是拋物線上的兩點．（1）直接寫出一個a的值，使得成立；（2）是拋物線上不同于M，N的點，若對于，都有，求a的取值范圍．13.（2024北京大興一模）在平面直角坐標系中，，是拋物線上任意兩點．設拋物線的對稱軸為直線．（1）若，，求的值；（2）若對于，，都有，求的取值范圍．14.（2024北京房山一模）在平面直角坐標系中，,是拋物線上任意兩點.（1）當時，求拋物線與軸的交點坐標及頂點坐標；（2）若對于，，都有，求的取值范圍．15.（2024北京門頭溝一模）在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，設拋物線的對稱軸為直線.（1）如果拋物線經過點，求的值；（2）如果對于，，都有，求取值范圍；（3）16.（2024北京延慶一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（3，m），點B（5，n）在拋物線上.設拋物線的對稱軸為直線.（1）若m=n，求的值；（2）點在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍.17．（2024北京人朝分校一模）在平面直角坐標系xOy中，點M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意兩點．（1）直接寫出拋物線的對稱軸；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）若對于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，總有y1＜y2，求m的取值范圍．

26題答案解析1.（1）拋物線的對稱軸為x=b························································1∵拋物線過點（0,0）和（2,0）∴b=1························································2∴拋物線的解析式為（2）∵拋物線的對稱軸為x=b，∴（b+2,0）點一定位于對稱軸的右側························································3情況1：當原點位于對稱軸的左側時此時，有解得························································4情況2：當原點位于對稱軸的右側時此時，有解得解得························································5綜上，························································62．解：（1）由題意，得，即．…………2分（2）．理由如下：令，得．∴．∴拋物線與x軸的兩個交點為，．∵拋物線與x軸的一個交點為，其中，∴．∵，∴．∴，．設點關于拋物線的對稱軸的對稱點為．∵點在拋物線上，∴點也在拋物線上．由，得．∴．∴．∵拋物線的解析式為，∴此拋物線開口向上．當時，隨的增大而增大．∵點，，在拋物線上，且，∴．…………6分2．解：(1)∵對于m＝1，有＝，∴點M(1，)，N(3，)關于直線x＝t對稱，∴t－1＝3－t，∴t＝2．……………2分(2)∵a＞0，∴當x≥t時，y隨x增大而增大，當x＜t時，y隨x增大而減?。佼攖≤1時，∵1＜m＜2，∴3＜m＋2＜4，∴t＜m＜m＋2，∴＜，符合題意．②當1＜t≤2時，（i）當t≤m＜2時，∵3＜m＋2＜4，∴t≤m＜m＋2，∴＜，符合題意．（ii）當m＜t≤2時，設點M(m，)關于x＝t的對稱點為M′，則點M′的坐標為(2t－m，)．∵1＜m＜t≤2，∴m＜2t－m＜3．∵3＜m＋2＜4，∴2t－m＜m＋2，∴＜，符合題意．③當2＜t＜3時，令m＝t－1，則m＋2＝t＋1，∴＝，不符合題意．④當t≥3時，令m＝，則m＋2＝，∴＞，不符合題意．綜上所述，t的取值范圍是t≤2．…………6分3．解：(1)∵對于m＝1，有＝，∴點M(1，)，N(3，)關于直線x＝t對稱，∴t－1＝3－t，∴t＝2．……………2分(2)∵a＞0，∴當x≥t時，y隨x增大而增大，當x＜t時，y隨x增大而減?。佼攖≤1時，∵1＜m＜2，∴3＜m＋2＜4，∴t＜m＜m＋2，∴＜，符合題意．②當1＜t≤2時，（i）當t≤m＜2時，∵3＜m＋2＜4，∴t≤m＜m＋2，∴＜，符合題意．（ii）當m＜t≤2時，設點M(m，)關于x＝t的對稱點為M′，則點M′的坐標為(2t－m，)．∵1＜m＜t≤2，∴m＜2t－m＜3．∵3＜m＋2＜4，∴2t－m＜m＋2，∴＜，符合題意．③當2＜t＜3時，令m＝t－1，則m＋2＝t＋1，∴＝，不符合題意．④當t≥3時，令m＝，則m＋2＝，∴＞，不符合題意．綜上所述，t的取值范圍是t≤2．…………6分4．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的頂點坐標為（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣3tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的對稱軸為x＝t，∵8＞0，∴拋物線開口向上，∵t﹣1≤x4≤t+2，∴當x＝t時，y1的最小值為﹣t，∵y4的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣3﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝4，∴當x＝t+2時，y1最大＝（t+3﹣t）2﹣t＝4﹣t＝2﹣2＝2，即y4的最大值為2；②∵點P（x1，y2），Q（x2，y2）在拋物線y＝（x﹣t）8﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）7﹣t，y2＝（x2﹣t）6﹣t，∵對于x1，x2，都有y4＜y2，∴y2﹣y2＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x2﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x5﹣x1）（x2+x2﹣2t）＞0，∴或，Ⅰ、當時，由①知，x5＞x1，∵t﹣1≤x2≤t+2，x2＝5﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t＜﹣，由②知，x2+x8＞2t，∵t﹣1≤x3≤t+2，x2＝6﹣t，∴0≤x2+x8≤3，∴2t＜2，∴t＜0，即t＜﹣；Ⅱ、當時，由③知，x2＜x4，∵t﹣1≤x1≤t+4，x2＝1﹣t，∴6﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由④知，x2+x1＜2t，∵t﹣3≤x1≤t+2，x8＝1﹣t，∴0≤x3+x1≤3，∴5t＞3，∴t＞，即t＞；即滿足條件的t的取值范圍為t＜﹣或t＞．5．【分析】（1）根據拋物線的對稱軸公式求解即可；（2）①由題意可得出二次函數解析式是y＝x2+1，對稱軸為y軸，即可畫出圖形G，如圖1，得出圖形G上的點的橫縱坐標x和y，滿足y隨x的增大而增大，即可得出結論；②通過計算可知，P（m﹣2，5），Q（m+2，5）為拋物線上關于對稱軸x＝m對稱的兩點，下面討論當m變化時，y軸于點P，Q的相對位置：分三種情形：如圖2，當y軸在點P左側時（含點P），如圖3，當y軸在點Q右側時（含點Q），如圖4，當y軸在點P，Q之間時（不含P，Q），分別求解即可．【解答】解：（1）∵該拋物線解析式為y＝x2﹣2mx+m2+1，∴拋物線的對稱軸為直線；（2）①y1＜y2．理由：當m＝0時，二次函數解析式是y＝x2+1，對稱軸為y軸，∴圖形G大致圖象如下，∴圖形G上的點的橫縱坐標x和y，滿足y隨x的增大而增大．∵x1＜x2，∴y1＜y2；②對于y＝x2﹣2mx+m2+1，令x＝m﹣2，則y＝（m﹣2）2﹣2m（m﹣2）+m2+1＝5，令x＝m+2，則y＝（m+2）2﹣2m（m+2）+m2+1＝5，∴該拋物線上兩點P（m﹣2，5），Q（m+2，5）為拋物線上關于對稱軸x＝m對稱的兩點．分類討論：如圖2，當y軸在點P左側時（含點P），經翻折后，點P，Q位置不動，∴y1＝y2，不符題意；如圖3，當y軸在點Q右側時（含點Q），點P，Q經翻折之后的對應點為點M，N，∴y1＝y2，不符題意；如圖4，當y軸在點P，Q之間時（不含P，Q），經翻折后，點N在l下方，點M，P重合，在l上方，∴y1＞y2，符合題意，此時有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2，綜上所述，m的取值范圍為﹣2＜m＜2．【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，軸對稱翻折變換，函數的增減性等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，正確作出圖形是解決問題的關鍵．6．【分析】（1）欲證明DB＝DE，只要證明∠DEB＝∠DBE；（2）作DF⊥AB于F，連接OE．只要證明∠AOE＝∠DEF，可得sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，由此求出AO即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBE+∠EBD＝90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠CEA＝∠DEB，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．（2）作DF⊥AB于F，連接OE．∵DB＝DE，AE＝EB＝6，∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，∴DF＝＝4，∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，∴∠AOE＝∠DEF，∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，∵AE＝6，∴AO＝．∴⊙O的半徑為．【點評】本題考查切線的性質、勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．(1)見解析(2)．理由見解析(3)【分析】本題主要考查切線的判定，全等石匠判定與性質，直角三角形的性質等知識：（1）證明得，由得，取的中點，連接，證明即可得出結論；（2）證明，得出進一步得出結論；（3）設，可求出，從而可得結論．【詳解】（1）證明：如圖，四邊形為正方形，，又，，，取的中點，連接，則為外接圓的半徑，，，，所以與的外接圓相切．（2）解：．理由如下：，，而，．（3）解：設，則，，由（2）知，．8.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（1）把點的坐標代入解析式求得，然后利用對稱軸公式即可求得；（2）由題意可知點在對稱軸的左側，在對稱軸的右側，點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為，分兩種情況討論，得到關于的不等式組，解不等式組從而求得的取值范圍．【小問1詳解】解：點在拋物線上，，，；【小問2詳解】解：，拋物線開口向上，當時，隨的增大而增大，當時，都有，點在對稱軸的左側，在對稱軸的右側，點，，在拋物線上，點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為，當時，則，解得，；當時，則，解得，綜上所述，t的取值范圍為．9.【答案】（1）（2）①<，②或【分析】本題主要考查二次函數的性質，將點代入拋物線求得，結合對稱軸定義即可求得；①根據題意得拋物線開口向上，且過原點，即可得；②由已知求得，結合恒成立，則有點在x的同側即可．【小問1詳解】解：將點代入得，解得，∴，則；【小問2詳解】①根據題意得拋物線開口向上，且過原點，∵，，∴；②∵，，∴，∵有恒成立，∴點在x的同側，則或．26.【答案】（1）見解析（2）①見解析；②，證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、軸對稱的性質等知識點，利用軸對稱的性質求解是解題關鍵．（1）根據等邊三角形的性質可得，根據等腰三角形的性質及三角形外角的性質即可得出；（2）①根據題意補全圖形即可；②根據軸對稱的性質得出，，結合（1）中結論可得，即可證明是等邊三角形，可得．【小問1詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【小問2詳解】①補全圖形如圖所示：②，理由如下：如①中圖，連接，∵點、關于直線對稱，∴，，由（1）知，∴，∵，即，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．11．解：（1）∵拋物線經過（0，c）和（2，c），∴拋物線對稱軸為x=1．…………………..…………….2分（2）∴①當點M在對稱軸左側時，②當點M對稱軸右側時，…………………..…………….6分12．解：（1）答案不唯一，例如：．（2）∵二次函數解析式為，∴函數圖像開口向上，對稱軸為．①當時，∴點P，M，N均在對稱軸右側．∴由二次函數性質，必有，不符題意舍去．②當時，∵點P在對稱軸左側，設P點關于的對稱點為，則點的坐標為．∵點，M，N在對稱軸右側，且，∴．∴．③當時，∵點P和M在對稱軸左側，由函數性質，有，∵點，N在對稱軸右側，且，∴．∴．④當時，∴點P，M，N均在對稱軸左側．∴由二次函數性質，必有，不符題意舍去．由①②③④可知，．13.【答案】（1）（2）或【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質等知識，（1）將，代入解析式，得出即可得解；（2）分①當點在對稱軸上或對稱軸右側時，②當點在對稱軸上或對稱軸左側時兩種情況討論組成不等式組即可得解；解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【小問1詳解】，，，，，【小問2詳解】，拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為，，點在對稱軸的右側，①當點在對稱軸上或對稱軸右側時，拋物線開口向下，在對稱軸右側，隨的增大而減小．由，，，解得，，②當點在對稱軸上或對稱軸左側時，設拋物線上的點關于的對稱點為，，解得，，，，在對稱軸右側，隨的增大而減小，由，，，解得，，綜上所述，的取值范圍是或．14.解：（1）令，則.當時，.∴拋物線與軸的交點坐標為；∵，當時，拋物線的頂點坐標為.（2）∵,是拋物線上任意兩點，∴，.∴.∵，，∴，.∵，，∴.即.∴.∴.15．（本小題滿分6分）方案2解：（1）由題意知，∴.∴.…………2分（2）∵，∴當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小.點關于對稱軸的對稱點為……3分=1\