廣西貴港市桂平市2023-2024學年八年級上學期期中數學試卷(解析版)一、選擇題（12小題，每小題3分，共36分，每小題給出的四個選項中只有一項是正確）1．（3分）下列長度的三根小木棒能構成三角形的是（）A．3cm，5cm，10cm B．5cm，4cm，8cm C．2cm，4cm，6cm D．3cm，3cm，7cm2．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠23．（3分）如圖，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊含的道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形具有穩定性 C．經過兩點有且只有一條直線 D．垂線段最短4．（3分）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它們含有一定量的有毒、有害物質，對人體健康和大氣環境質量有很大影響，2.5μm用科學記數法可表示為（）A．25×10﹣5m B．2.5×10﹣5m C．2.5×10﹣6m D．0.25×10﹣7m5．（3分）下列運算正確的是（）A．a+a2＝a3 B．a?a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣1）3＝a36．（3分）在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“X型轉動鉗”按如圖方法進行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圓形容器的壁厚是（）A．5厘米 B．6厘米 C．1厘米 D．厘米7．（3分）把分式方程+2＝化為整式方程，正確的是（）A．x+2＝1 B．x+2（x﹣2）＝1 C．x+2（x﹣2）＝﹣1 D．x+2＝﹣18．（3分）下列命題中，是假命題的是（）A．三個角都是60°的三角形是等邊三角形 B．兩個銳角的和是鈍角 C．若|a|＝3，則a＝±3 D．在同一平面內，若直線a⊥l，b⊥l，則a∥b9．（3分）一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行81km所需的時間與逆水航行69km所需的時間相同．已知水流速度是速度2km/h，則輪船在靜水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h10．（3分）若解分式方程＝產生增根，則m＝（）A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣511．（3分）如圖，△ABC中，點D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，連接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，則∠A等于（）A．65° B．60° C．55° D．50°12．（3分）如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD＝5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能確定二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，）13．（2分）當x＝時，分式的值為零．14．（2分）分解因式：a2+5a＝．15．（2分）如圖，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC平分線上一點，∠BAC＝76.6°，則∠CAE＝°．16．（2分）若m、n滿足|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，則m﹣2+n0＝．17．（2分）如圖，將直角三角形紙片ABC進行折疊，使直角頂點A落在斜邊BC上的點E處，并使折痕經過點C，得到折痕CD．若∠CDE＝70°，則∠B＝°．18．（2分）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續以上的平移得到圖②，再繼續以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數是．三、解答題（本大題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）19．（6分）計算：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）．20．（6分）解分式方程：．21．（10分）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據：；類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發現：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）22．（10分）下面是小明同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．，＝…第一步，＝…第二步，＝…第三步，＝…第四步，＝…第五步，＝…第六步．任務一：填空：①以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據是或填為：；②第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是；任務二：請直接寫出該分式化簡后的正確結果是；任務三：根據小明同學進行分式化簡的過程：完成下列分式的計算：．23．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，DE∥AC，點O為線段BC上一點，DO的延長線與AC的延長線交于點F，DO＝FO．（1）求證：△BDE是等邊三角形；（2）若AC＝7，FC＝3，求OC的長．24．（10分）為提高學生的閱讀興趣，某學校建立了共享書架，并購買了一批書籍．其中購買A種圖書花費了3000元，購買B種圖書花費了1600元，A種圖書的單價是B種圖書的1.5倍，購買A種圖書的數量比B種圖書多20本．（1）求A和B兩種圖書的單價；（2）書店在“世界讀書日”進行打折促銷活動，所有圖書都按8折銷售學校當天購買了A種圖書20本和B種圖書25本，共花費多少元？25．（10分）如圖，已知AB＝CD，E、F是AC上兩點，且AE＝CF，DE＝BF，求證：（1）△ABF≌△CDE．（2）AD∥BC．26．（10分）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．

參考答案與試題解析一、選擇題（12小題，每小題3分，共36分，每小題給出的四個選項中只有一項是正確）1．（3分）下列長度的三根小木棒能構成三角形的是（）A．3cm，5cm，10cm B．5cm，4cm，8cm C．2cm，4cm，6cm D．3cm，3cm，7cm【分析】在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形，由此即可判斷．【解答】解：A、3+5＜10，長度是3cm，5cm，10cm的小木棒不能構成三角形，故A不符合題意；B、5+4＞8，長度是4cm，5cm，8cm的小木棒能構成三角形，故B符合題意；C、2+4＝6，長度是2cm，4cm，6cm的小木棒不能構成三角形，故C不符合題意；D、3+3＜7，長度是3cm，3cm，7cm的小木棒不能構成三角形，故D不符合題意．故選：B．【點評】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．2．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2【分析】根據分式有意義的條件解答即可．【解答】解：∵分式有意義，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故選：A．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關鍵．3．（3分）如圖，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊含的道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形具有穩定性 C．經過兩點有且只有一條直線 D．垂線段最短【分析】根據三角形具有穩定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做的道理是三角形具有穩定性，故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的穩定性，當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩定性．這一特性主要應用在實際生活中．4．（3分）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它們含有一定量的有毒、有害物質，對人體健康和大氣環境質量有很大影響，2.5μm用科學記數法可表示為（）A．25×10﹣5m B．2.5×10﹣5m C．2.5×10﹣6m D．0.25×10﹣7m【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．據此解答即可．【解答】解：2.5μm＝2.5×0.000001m＝2.5×10﹣6m；故選：C．【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．5．（3分）下列運算正確的是（）A．a+a2＝a3 B．a?a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣1）3＝a3【分析】按照整式冪的運算法則逐一計算進行辨別．【解答】解：∵a與a2不是同類項，∴選項A不符合題意；∵a?a2＝a3，∴選項B符合題意；∵a6÷a2＝a4，∴選項C不符合題意；∵（a﹣1）3＝（）3＝，∴選項D不符合題意，故選：B．【點評】此題考查了整式冪的相關運算能力，關鍵是能準確理解并運用該計算法則．6．（3分）在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“X型轉動鉗”按如圖方法進行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圓形容器的壁厚是（）A．5厘米 B．6厘米 C．1厘米 D．厘米【分析】利用三角形全等的SAS定理證明△COD≌△BOA，根據全等三角形的性質求出CD，進而求出圓形容器的壁厚．【解答】解：在△COD和△BOA中，，∴△COD≌△BOA（SAS），∴CD＝AB＝5厘米，∴圓形容器的壁厚為：（6﹣5）÷2＝（厘米），故選：D．【點評】本題考查的是全等三角形的應用，掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．7．（3分）把分式方程+2＝化為整式方程，正確的是（）A．x+2＝1 B．x+2（x﹣2）＝1 C．x+2（x﹣2）＝﹣1 D．x+2＝﹣1【分析】方程兩邊都乘以x﹣2可得答案．【解答】解：方程兩邊都乘以x﹣2可得：x+2（x﹣2）＝﹣1，故選：C．【點評】本題主要考查解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的基本步驟．8．（3分）下列命題中，是假命題的是（）A．三個角都是60°的三角形是等邊三角形 B．兩個銳角的和是鈍角 C．若|a|＝3，則a＝±3 D．在同一平面內，若直線a⊥l，b⊥l，則a∥b【分析】根據等邊三角形的判定，平行線的判定，絕對值的定義，角的和差定義一一判斷即可、【解答】解：A、三個角都是60°的三角形是等邊三角形，是真命題，本選項不符合題意；B、兩個銳角的和是鈍角，是假命題，30°+30°＝60°，60°是銳角，本選項符合題意；C、若|a|＝3，則a＝±3，是真命題，本選項不符合題意；D、在同一平面內，若直線a⊥l，b⊥l，則a∥b，是真命題，本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查命題與定理，等邊三角形的判定，平行線的判定，絕對值的性質等知識，解題的關鍵是掌握基本知識，屬于中考常考題型．9．（3分）一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行81km所需的時間與逆水航行69km所需的時間相同．已知水流速度是速度2km/h，則輪船在靜水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h【分析】設輪船在靜水中航行的速度是xkm/h，則輪船順水航行速度為（x+2）km/h，輪船逆水航行速度為（x﹣2）km/h，利用時間＝路程÷速度，結合順水航行速度81km/h所需的時間與逆水航行速度69km/h所需的時間相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【解答】解：設輪船在靜水中航行的速度是xkm/h，則輪船順水航行速度為（x+2）km/h，輪船逆水航行速度為（x﹣2）km/h，依題意得：＝，解得：x＝25，經檢驗，x＝25是原方程的解，且符合題意．故選：A．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．10．（3分）若解分式方程＝產生增根，則m＝（）A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5【分析】增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘（x+4），得x﹣1＝m，∵原方程增根為x＝﹣4，∴把x＝﹣4代入整式方程，得m＝﹣5，故選：D．【點評】本題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．11．（3分）如圖，△ABC中，點D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，連接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，則∠A等于（）A．65° B．60° C．55° D．50°【分析】根據四邊形的內角和可得∠BCE+∠CBD＝65°，再根據角平分線的定義可得∠ACB+∠ABC＝130°，再根據三角形內角和定理可得∠A的度數．【解答】解：∵∠D+∠E＝295°，∠D+∠E+∠BCE+∠CBD＝360°，∴∠BCE+∠CBD＝65°，∵點D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，∴∠BCE＝∠ACB，∠CBD＝∠ABC，∴∠ACB+∠ABC＝65°×2＝130°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，故選：D．【點評】本題考查了三角形內角和定理，四邊形的內角和，角平分線的定義，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．12．（3分）如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD＝5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能確定【分析】過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小，證△ADB≌△CEB得CE＝AD＝5，即BF+EF＝5．【解答】解：過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小（根據兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），由于C和B關于AD對稱，則BF+EF＝CF，∵等邊△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線（三線合一），∴C和B關于直線AD對稱，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD＝5，即BF+EF＝5，故選：B．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質，軸對稱的性質，等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識點的綜合運用．二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，）13．（2分）當x＝0時，分式的值為零．【分析】根據分式值為0的條件：分子為0，分母不為0，可得2x＝0且x+2≠0，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：2x＝0且x+2≠0，∴x＝0且x≠﹣2，∴當x＝0時，分式的值為零，故答案為：0．【點評】本題考查了分式值為0的條件，熟練掌握分式值為0的條件是解題的關鍵．14．（2分）分解因式：a2+5a＝a（a+5）．【分析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出結論．【解答】解：∵a2+5a公有因式為a，∴原式＝a（a+5），故答案為：a（a+5）．【點評】本題考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解題的關鍵．15．（2分）如圖，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC平分線上一點，∠BAC＝76.6°，則∠CAE＝38.3°．【分析】根據全等三角形的性質可得∠EAD＝∠BAC＝70°，根據角平分線的定義可得∠BAD＝∠DAC＝35°，進而可得答案．【解答】解：∵D是∠BAC的平分線上一點，且∠BAC＝76.6°，∴∠BAD＝∠DAC＝38.3°，∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠BAC＝76.6°，∴∠CAE＝76.6°﹣38.3°＝38.3°．故答案為：38.3．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應角相等．16．（2分）若m、n滿足|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，則m﹣2+n0＝．【分析】首先利用非負數的性質得出m，n的值，再利用負整數指數冪的性質、零指數冪的性質分別化簡得出答案．【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，∴m﹣2＝0，n﹣2023＝0，解得：m＝2，n＝2023，故m﹣2+n0＝2﹣2+1＝+1＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了負整數指數冪、零指數冪、非負數的性質，正確化簡各數是解題關鍵．17．（2分）如圖，將直角三角形紙片ABC進行折疊，使直角頂點A落在斜邊BC上的點E處，并使折痕經過點C，得到折痕CD．若∠CDE＝70°，則∠B＝50°．【分析】由折疊性質可得∠CED＝∠A＝90°，∠ADC＝∠CDE＝70°，從而可得∠BED＝90°，∠BDE＝40°，即可求解．【解答】解：∵△ABC為直角三角形，∴∠A＝90°，∵∠CDE＝70°，由折疊性質可得∠CED＝∠A＝90°，∠ADC＝∠CDE＝70°，∴∠BED＝90°，∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝50°，故答案為：50．【點評】本題考查折疊的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是明確折疊前后對應圖形全等．18．（2分）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續以上的平移得到圖②，再繼續以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數是400．【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個，據此求出第100個圖形中等邊三角形的個數．【解答】解：如圖①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形．又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個，第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個，第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，…依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個．故第100個圖形中等邊三角形的個數是：2×100+2×100＝400．故答案為：400．【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質及平移的性質，解題的關鍵是據圖找出規律．三、解答題（本大題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）19．（6分）計算：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）．【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可．【解答】解：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）＝（﹣1）×（﹣4）+9÷3＝4+3＝7．【點評】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．20．（6分）解分式方程：．【分析】先將原方程去分母并整理后化為一元一次方程，然后解方程后并檢驗即可．【解答】解：原方程去分母得：3x＝x﹣1，移項，合并同類項得：2x＝﹣1，系數化為1得：x＝﹣，經檢驗，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解為x＝﹣．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．21．（10分）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據：SSS；類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發現：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】（1）由等邊三角形的性質得CE＝DE，再證△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出結論；（2）證△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出結論；（3）先作∠BAC的平分線AK，再在AK上截取AE＝AD即可．【解答】解：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴CE＝DE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分線，故答案為：SSS；（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∴射線OC是∠AOB的平分線；（3）如圖，點E即為所求的點．【點評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、角平分線定義以及尺規作圖等知識，熟練掌握角平分線定義和等邊三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考常考題型．22．（10分）下面是小明同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．，＝…第一步，＝…第二步，＝…第三步，＝…第四步，＝…第五步，＝…第六步．任務一：填空：①以上化簡步驟中，第三步是進行分式的通分，通分的依據是分式的基本性或填為：分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數，分式的值不變；②第五步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是去括號時，括號前面是“﹣”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；任務二：請直接寫出該分式化簡后的正確結果是﹣；任務三：根據小明同學進行分式化簡的過程：完成下列分式的計算：．【分析】任務一：①根據通分的概念及分式的基本性質進行填空；②根據去括號法則進行分析判斷；任務二：先將能進行因式分解的分子分母進行因式分解，然后進行通分，再計算；任務三：結合分式的化簡求值要求，異分母分式加減法運算法則進行分析解答．【解答】解：任務一：①化簡步驟中，第三步進行分式的通分，通分的依據是分式的基本性質或填為分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數，分式的值不變，故答案為：三，分式的基本性質，分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數，分式的值不變；②第五步開始出現錯誤，錯誤原因是去括號時，括號前面是“﹣”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號，故答案為：五；去括號時，括號前面是“﹣”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；任務二：原式＝＝＝＝＝＝﹣；故答案為：﹣；任務三：＝﹣?＝﹣＝﹣＝．【點評】本題考查分式的加減運算，理解分式的基本性質，掌握去括號法則，以及分式約分和通分的技巧是解題關鍵．23．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，DE∥AC，點O為線段BC上一點，DO的延長線與AC的延長線交于點F，DO＝FO．（1）求證：△BDE是等邊三角形；（2）若AC＝7，FC＝3，求OC的長．【分析】（1）根據等邊三角形的性質和判定解答即可；（2）根據等邊三角形的性質解答即可．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB，∴∠B＝∠BDE＝∠DEB，∴△BDE是等邊三角形；（2）∵DE∥AC，∴∠EDO＝∠CFO，在△DOE和△FOC中，，∴△DOE≌△FOC（ASA）；∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AC＝7，得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO，∴EC＝BC﹣BE＝4，∴OC＝EC＝2．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，題目比較典型，難度適中．24．（10分）為提高學生的閱讀興趣，某學校建立了共享書架，并購買了一批書籍．其中購買A種圖書花費了3000元，購買B種圖書花費了1600元，A種圖書的單價是B種圖書的1.5倍，購買A種圖書的數量比B種圖書多20本．（1）求A和B兩種圖書的單價；（2）書店在“世界讀書日”進行打折促銷活動，所有圖書都按8折銷售學校當天購買了A種圖書20本和B種圖書25本，共花費多少元？【分析】（1）設B種圖書的單價為x元，則A種圖書的單價為1.5x元，根據數量＝總價÷單價結合花3000元購買的A種圖書比花1600元購買的B種圖書多20本，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）根據總價＝單價×數量，即可求出結論．【解答】解：（1）設B種圖書的單價為x元，則A種圖書的單價為1.5x元，依題意，得：﹣＝20，解得：x＝20，經檢驗，x＝20是所列分式方程的解，且符合題意，∴1.5x＝30．答：A種圖書的單價為30元，B種圖書的單價為20元．（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．答：共花費880元．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．25．（10分）如圖，已知AB＝CD，E、F是AC上兩點，且AE＝CF，DE＝BF，求證：（1）△ABF≌△CDE．（2）AD∥BC．【分析】（1）證出AF＝CE，根據SSS可證明△ABF≌△CDE