2024年吉林省長春市南關區(qū)多校聯(lián)考中考數(shù)學三模試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣5的絕對值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣2．（3分）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學記數(shù)法表示為（）A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣83．（3分）下列計算正確的是（）A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2?x＝4x34．（3分）如圖，直角三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上．若∠1＝68°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．32° C．22° D．68°5．（3分）我國楊秉烈先生在上世紀八十年代發(fā)明了繁花曲線規(guī)畫圖工具，利用該工具可以畫出許多漂亮的繁花曲線，繁花曲線的圖案在服裝、餐具等領域都有廣泛運用．下面四種繁花曲線中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（3分）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米7．（3分）“烏鴉喝水”的故事耳熟能詳．如圖，烏鴉看到一個水位比較低的瓶子，此時水位高度為a，喝不著水，沉思了一會后聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b處，烏鴉喝到了水．設烏鴉銜來的石子個數(shù)為x，水位高度為y，假設石子的體積一樣，下列圖象中最符合故事情境的大致圖象是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖是甲、乙兩名同學的作業(yè)（題中△ABC為等腰三角形，AB＝AC）；甲：1．過點A作AD⊥BC．垂足為D；2．延長BA到N，作∠CAN的角平分線AE；3．過點C作CE⊥AE，垂足為E．四邊形ADCE為矩形．乙：1．過點A作AD⊥BC，垂足為D；2．以A為圓心，BD長為半徑畫?。灰訠為圓心，AD長為半徑畫?。?．兩弧交于AD上方一點E，連接BE，AE；四邊形ADBE為矩形．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）因式分解：x3﹣x＝．10．（3分）光明中學初三（6）班十幾名同學畢業(yè)前和數(shù)學老師合影留念，一張彩色底片要0.6元，擴印一張相片0.5元，每人分一張，免費贈送老師一張（由學生出錢），每個學生交0.6元剛好，則相片上共有人．11．（3分）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．12．（3分）下列4個函數(shù)，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心在原點的共有個．13．（3分）某校舉行春季運動會時，由若干名同學組成一個25列的長方形隊陣．如果原隊陣中增加64人，就能組成一個正方形隊陣；如果原隊陣中減少64人，也能組成一個正方形隊陣．則原長方形隊陣中有同學人．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）計算：．16．（6分）小紅的爸爸一共買了四杯茶，其中一杯是綠茶，其余三杯是紅茶，這四杯茶的外觀完全一樣，爸爸在拿回家的過程中弄混了，不知道哪一杯是綠茶，在不打開蓋子的情況下，小紅先從四杯茶中隨機拿走一杯，然后小紅的哥哥再從剩下的三杯中隨機拿走一杯．請用樹狀圖或列表法求小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的概率．17．（6分）清明假期，泰山受到廣大市民和全國游客的熱烈歡迎．據(jù)統(tǒng)計，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2萬人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客減少了10%，當天A，B入口登山游客總人數(shù)比第一天增加了3%，試求第二天A，B入口登山游客的人數(shù)各是多少萬人？18．（7分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE過BC中點O且交DC的延長線于點E．（1）求證：△AOB≌△EOC；（2）連接AC，BE，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABEC為矩形．（不需要說明理由）19．（7分）某校為落實“雙減”政策，增強課后服務的豐富性，充分用好課后服務時間，3月份學校開展數(shù)學學科活動，其中七年級開展了五個項目（每位學生只能參加一個項目）：A．閱讀數(shù)學名著；B．講述數(shù)學故事；C．制作數(shù)學模型；D．參與數(shù)學游戲；E．挑戰(zhàn)數(shù)學競賽．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）①此次調(diào)查一共隨機抽取了名學生；②補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明名數(shù)）；③扇形統(tǒng)計圖中圓心角α＝度；（2）若該年級有1100名學生，請你估計該年級參加D項目的學生大約有多少名；（3）在C項目展示活動中，某班獲得一等獎的學生有3名男生，2名女生，則從這5名學生中隨機抽取2名學生代表本班參加學校制作數(shù)學模型活動，請直接寫出恰好抽到2名男生的概率．20．（7分）方格紙中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，D和點E，F(xiàn)，H均在小正方形的頂點上．（1）在圖1中畫出四邊形ABCD，使得四邊形ABCD既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且點C在小正方形的頂點上；（2）在圖2中畫出四邊形EFGH，使得四邊形EFGH是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，且點G在小正方形的頂點上．在線段HG所經(jīng)過的小正方形頂點中，找一點K，滿足GF＝GK，連接FK，并直接寫出tan∠GFK的值．21．（8分）心理學研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的數(shù)學課中，學生的注意力隨上課時間的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，10分鐘后保持平穩(wěn)一段時間，平穩(wěn)時間持續(xù)14分鐘，隨后學生的注意力開始分散．通過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示，CD為反比例函數(shù)圖象的一部分．（1）當0≤x≤10時，請求出y關于x的函數(shù)解析式；（2）數(shù)學老師計劃在課堂上講解一道23分鐘的推理題，請問他能否經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道題目的講解時注意力指標數(shù)不低于32？并說明理由．22．（7分）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，點D是BC上一點，沿AD折疊△ADC，使得點C恰好落在AB上的點E處．請寫出AB、AC、CD之間的關系；（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請猜想AB、AC、CD之間的關系，并證明你的結論；（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，連接AC，點E是CD上一點，沿AE折疊，使得點D正好落在AC上的F處，若BC＝，直接寫出DE的長．23．（12分）如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q兩點分別從A，C同時出發(fā)，點P沿折線A→B→C向終點C運動，在AB上的速度為每秒4個單位長度，在BC上的速度為每秒2個單位長度；點Q以每秒個單位長度的速度沿線段CA向終點A運動．過點P作PD⊥AC于點D，以PD，DQ為鄰邊作矩形PDQE．設運動時間為x秒，矩形PDQE和△ABC重疊部分的圖形面積為y．（1）當點Q和點D重合時，x＝；（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）在運動過程中，連接PQ，取PQ中點O，連接OC，直接寫出OC的最小值．24．（12分）已知，在以點O為原點的平面直角坐標系中，拋物線的原點的頂點為A（﹣1，﹣4），且經(jīng)過點B（﹣2，﹣3）與x軸分別交于C、D兩點．（1）求直線OB及拋物線的解析式；（2）如圖1點M是拋物線上的一個動點，且在直線OB的下方，過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N，求MN的最大值；（3）如圖2，過點A的直線交x軸于點E，且AE∥y軸．點P是拋物線上A、D之間的一個動點，直線PC、PD分別與AE交于F、G兩點．當P點運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值．若不是．請說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣5的絕對值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣【解答】解：﹣5的絕對值是5，故選：B．2．（3分）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學記數(shù)法表示為（）A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8【解答】解：數(shù)0.000000007用科學記數(shù)法表示為7×10﹣9．故選：A．3．（3分）下列計算正確的是（）A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2?x＝4x3【解答】解：A、5，故選項A不符合題意；B、（x2）3＝x6，故選項B不符合題意；C、＝3，故選項C不符合題意；D、4x2?x＝4x3，故選項D符合題意；故選：D．4．（3分）如圖，直角三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上．若∠1＝68°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．32° C．22° D．68°【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠3＝∠1＝68°，∵∠2+∠4+3＝180°，∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣68°＝22°．故選：C．5．（3分）我國楊秉烈先生在上世紀八十年代發(fā)明了繁花曲線規(guī)畫圖工具，利用該工具可以畫出許多漂亮的繁花曲線，繁花曲線的圖案在服裝、餐具等領域都有廣泛運用．下面四種繁花曲線中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C．6．（3分）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米【解答】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故選：D．7．（3分）“烏鴉喝水”的故事耳熟能詳．如圖，烏鴉看到一個水位比較低的瓶子，此時水位高度為a，喝不著水，沉思了一會后聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b處，烏鴉喝到了水．設烏鴉銜來的石子個數(shù)為x，水位高度為y，假設石子的體積一樣，下列圖象中最符合故事情境的大致圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：∵烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位將會上升，但是下面容器截面面積大于上面，∴水位上升的幅度較慢，后面水位上升的較快，∴A符合題意，B，C，D不符合題意．故選：A．8．（3分）如圖是甲、乙兩名同學的作業(yè)（題中△ABC為等腰三角形，AB＝AC）；甲：1．過點A作AD⊥BC．垂足為D；2．延長BA到N，作∠CAN的角平分線AE；3．過點C作CE⊥AE，垂足為E．四邊形ADCE為矩形．乙：1．過點A作AD⊥BC，垂足為D；2．以A為圓心，BD長為半徑畫??；以B為圓心，AD長為半徑畫??；3．兩弧交于AD上方一點E，連接BE，AE；四邊形ADBE為矩形．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【解答】解：甲的作業(yè)，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝90°，∵AE平分∠CAN，∴∠CAE＝∠CAN，∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAN），∴∠DAE＝∠BAN＝×180°＝90°，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴甲的作業(yè)正確；乙的作業(yè)，由題意知AD＝BE，AE＝BD，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四邊形ADBE是矩形，∴乙的作業(yè)正確，故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案為：x（x+1）（x﹣1）10．（3分）光明中學初三（6）班十幾名同學畢業(yè)前和數(shù)學老師合影留念，一張彩色底片要0.6元，擴印一張相片0.5元，每人分一張，免費贈送老師一張（由學生出錢），每個學生交0.6元剛好，則相片上共有12人．【解答】解：設相片上共有x人．0.6+0.5x＝0.6×（x﹣1），解得x＝12，故答案為12．11．（3分）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中點，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝4則有：CM＝CD＝2m，設圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長是m．故答案為：．12．（3分）下列4個函數(shù)，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心在原點的共有1個．【解答】解：①y＝3x﹣1的圖象是中心對稱圖形，但對稱中心不是原點，故①不符合題意；②的圖象是中心對稱圖形，且對稱中心在原點，故②符合題意；③y＝2x2的圖象不是中心對稱圖形，故③不符合題意；④y＝2x（﹣1≤x＜1）的圖象不是關于原點對稱的中心對稱圖形，故④不符合題意．其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心在原點的共有1個．故答案為：1．13．（3分）某校舉行春季運動會時，由若干名同學組成一個25列的長方形隊陣．如果原隊陣中增加64人，就能組成一個正方形隊陣；如果原隊陣中減少64人，也能組成一個正方形隊陣．則原長方形隊陣中有同學1025人．【解答】解：設原長方形隊陣中有同學25x（x為正整數(shù)）人，則由已知25x+64與25x﹣64均為完全平方數(shù)，設正方形方陣的邊長分別為m，n，可得，其中m，n為正整數(shù)．兩式相減，得m2﹣n2＝128，即（m+n）（m﹣n）＝128．∵128＝1×128＝2×64＝4×32＝8×16，m+n和m﹣n同奇或同偶，所以或或，解得或或，當m＝33時，25x＝332﹣64＝1025，x＝41，當m＝18時，25x＝182﹣64＝260，x＝10.4，不合題意，舍去；當m＝12時，25x＝122﹣64＝80，x＝3.2，不合題意，舍去；故原長方形隊陣中有同學1025人．故答案為：1025．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是80．【解答】解：過點D作DM⊥CI，交CI的延長線于點M，過點F作FN⊥CI于點N，∵△ABC為直角三角形，四邊形ACDE，BCFG為正方形，過點C作AB的垂線CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四邊形ABHL為正方形，∴AL＝AB＝10，∵四邊形AJKL為矩形，∴四邊形AJKL的面積為：AL?AJ＝10×8＝80，故答案為：80．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）計算：．【解答】解：＝＝＝．16．（6分）小紅的爸爸一共買了四杯茶，其中一杯是綠茶，其余三杯是紅茶，這四杯茶的外觀完全一樣，爸爸在拿回家的過程中弄混了，不知道哪一杯是綠茶，在不打開蓋子的情況下，小紅先從四杯茶中隨機拿走一杯，然后小紅的哥哥再從剩下的三杯中隨機拿走一杯．請用樹狀圖或列表法求小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的概率．【解答】解：列表如下：綠茶紅茶紅茶紅茶綠茶（綠茶，紅茶）（綠茶，紅茶）（綠茶，紅茶）紅茶（紅茶，綠茶）（紅茶，紅茶）（紅茶，紅茶）紅茶（紅茶，綠茶）（紅茶，紅茶）（紅茶，紅茶）紅茶（紅茶，綠茶）（紅茶，紅茶）（紅茶，紅茶）共有12種等可能的結果，其中小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的結果有：（綠茶，紅茶），（綠茶，紅茶），（綠茶，紅茶），（紅茶，綠茶），（紅茶，綠茶），（紅茶，綠茶），共6種，∴小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的概率為．17．（6分）清明假期，泰山受到廣大市民和全國游客的熱烈歡迎．據(jù)統(tǒng)計，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2萬人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客減少了10%，當天A，B入口登山游客總人數(shù)比第一天增加了3%，試求第二天A，B入口登山游客的人數(shù)各是多少萬人？【解答】解：設假期第一天A入口登山游客的人數(shù)是x萬人，B入口登山游客的人數(shù)是y萬人，根據(jù)題意得：，解得：，∴（1+10%）x＝（1+10%）×2.6＝2.86（萬人），（1﹣10%）y＝（1﹣10%）×1.4＝1.26（萬人）．答：假期第二天A入口登山游客的人數(shù)是2.86萬人，B入口登山游客的人數(shù)是1.26萬人．18．（7分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE過BC中點O且交DC的延長線于點E．（1）求證：△AOB≌△EOC；（2）連接AC，BE，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABEC為矩形．（不需要說明理由）【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠B＝∠D，∴∠B＝∠BCE，∵O是BC中點，∴BO＝CO，∵BO＝CO，∠B＝∠BCE，∠AOB＝∠COE，∴△AOB≌△EOC；（2）解：添加條件是OA＝OB，四邊形ABEC是矩形．理由如下：∵△AOB≌△EOC，∴BO＝CO，AO＝EO，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∵OA＝OB，∴BC＝AE，且四邊形ABEC是平行四邊形，∴四邊形ABEC是矩形．19．（7分）某校為落實“雙減”政策，增強課后服務的豐富性，充分用好課后服務時間，3月份學校開展數(shù)學學科活動，其中七年級開展了五個項目（每位學生只能參加一個項目）：A．閱讀數(shù)學名著；B．講述數(shù)學故事；C．制作數(shù)學模型；D．參與數(shù)學游戲；E．挑戰(zhàn)數(shù)學競賽．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）①此次調(diào)查一共隨機抽取了400名學生；②補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明名數(shù)）；③扇形統(tǒng)計圖中圓心角α＝54度；（2）若該年級有1100名學生，請你估計該年級參加D項目的學生大約有多少名；（3）在C項目展示活動中，某班獲得一等獎的學生有3名男生，2名女生，則從這5名學生中隨機抽取2名學生代表本班參加學校制作數(shù)學模型活動，請直接寫出恰好抽到2名男生的概率．【解答】解：（1）①100÷25%＝400（名），故答案為400；②A閱讀數(shù)學名著400×15%＝60（名），∴C制作數(shù)學模型400﹣60﹣100﹣140﹣40＝60（名），補全統(tǒng)計圖如下：③，故答案為：54；（2）D項目的學生：（名）；（3）男1男2男3女1女2男1（男1，男2）（男1，男3）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，男3）（男2，女1）（男2，女2）男3（男3，男1）（男3，男2）（男3，女1）（男3，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，男3）（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，男3）（女2，女1）共有20種等可能的情況，其中抽到2名男生的情況數(shù)為6種，∴．20．（7分）方格紙中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，D和點E，F(xiàn)，H均在小正方形的頂點上．（1）在圖1中畫出四邊形ABCD，使得四邊形ABCD既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且點C在小正方形的頂點上；（2）在圖2中畫出四邊形EFGH，使得四邊形EFGH是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，且點G在小正方形的頂點上．在線段HG所經(jīng)過的小正方形頂點中，找一點K，滿足GF＝GK，連接FK，并直接寫出tan∠GFK的值．【解答】解：（1）如圖，四邊形ABCD即為所求；（2）如圖，四邊形EFGH即為所求；根據(jù)網(wǎng)格可知：tan∠GFK＝＝2．21．（8分）心理學研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的數(shù)學課中，學生的注意力隨上課時間的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，10分鐘后保持平穩(wěn)一段時間，平穩(wěn)時間持續(xù)14分鐘，隨后學生的注意力開始分散．通過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示，CD為反比例函數(shù)圖象的一部分．（1）當0≤x≤10時，請求出y關于x的函數(shù)解析式；（2）數(shù)學老師計劃在課堂上講解一道23分鐘的推理題，請問他能否經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道題目的講解時注意力指標數(shù)不低于32？并說明理由．【解答】解：（1）設反比例函數(shù)解析式為y＝，由題意可得：C（24，40），則a＝24×40＝960，故y＝，則x＝40時，y＝＝24，則D（40，24），故A（0，24）；設線段AB所在的直線的解析式為y＝kx+b，把B（10，40），（0，24）代入得，，解得：，∴y＝1.6x+24；（2）令直線AB函數(shù)中，y＝32，∴32＝1.6x+24，∴x＝5，令反比例函數(shù)中y＝32，∴32＝，∴x＝30，∵30﹣5＝25＞23，∴經(jīng)過適當?shù)陌才?，老師能在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．22．（7分）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，點D是BC上一點，沿AD折疊△ADC，使得點C恰好落在AB上的點E處．請寫出AB、AC、CD之間的關系AB＝AC+CD；（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請猜想AB、AC、CD之間的關系，并證明你的結論；（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，連接AC，點E是CD上一點，沿AE折疊，使得點D正好落在AC上的F處，若BC＝，直接寫出DE的長．【解答】解：（1）∵∠C＝2∠B＝90°，∴∠B＝45°，∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC，由翻折的性質(zhì)可知AC＝AE，CD＝CE，∠AED＝∠C＝90°，∴∠BED＝90°，∴△BDE為等腰直角三角形，∴BE＝DE＝CD．∴AB＝AE+BE＝AC+CD．故答案為：AB＝AC+CD；（2）AB＝AC+CD．理由如下：如圖②，∵AD折疊△ADC，使得點C恰好落在AB上的點E處，∴DC＝DE，∠AED＝∠C，AE＝AC，∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，而∠AED＝∠B+∠BDE，∴∠B＝∠BDE，∴EB＝ED，∴ED＝CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如圖③，設DE＝x，由（1）的結論得AC＝（2+）x，∵BA＝BC，∠CBA＝120°，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，∵BH⊥AC，∴CH＝AH＝AC＝x，在Rt△BCH中，∠BCH＝30°∴BH＝BC＝＝+1，∵BH2+CH2＝BC2∴（+1）2+（x）2＝（2+2）2，解得x＝或﹣（舍去），即DE的長為．23．（12分）如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q兩點分別從A，C同時出發(fā)，點P沿折線A→B→C向終點C運動，在AB上的速度為每秒4個單位長度，在BC上的速度為每秒2個單位長度；點Q以每秒個單位長度的速度沿線段CA向終點A運動．過點P作PD⊥AC于點D，以PD，DQ為鄰邊作矩形PDQE．設運動時間為x秒，矩形PDQE和△ABC重疊部分的圖形面積為y．（1）當點Q和點D重合時，x＝；（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）在運動過程中，連接PQ，取PQ中點O，連接OC，直接寫出OC的最小值．【解答】解：（1）如圖1，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵PD⊥AC于點D，∴∠ADP＝90°，∵AP＝4x，CQ＝x，∴PD＝AP＝2x，AD＝AP?cos30°＝×4x＝2x，當點D與點Q重合時，則2x+x＝2，∴x＝，故答案為：．（2）當點P與點B重合時，則4x＝4，∴x＝1；當點P與點C重合時，則2（x﹣1）＝2，∴x＝2，此時CQ＝2，則點Q與點A重合，當0＜x＜時，如圖1，PD＝2x，DQ＝2﹣3x，∴y＝2x（2﹣3x）＝﹣6x2+4x；當＜x≤1時，如圖2，EQ交AB于點R，∵PD＝2x，DQ＝3x﹣2，AQ＝2﹣x，∴RQ＝AQ?tan30°＝（2﹣x）＝2﹣x，∴y＝（2﹣x+2x）（3x﹣2）＝x2+2x﹣2；當1＜x＜2時，