第二章平面向量

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

1.下列說法正確的是【】

A.平行向量就是其向量所在的直線互相平行B.長度相等的向量叫相等向量

C.零向量的長度為0D.共線向量是在一條直線上的向

量

2.已知下列命題：

⑴若|a|=\b,則a=6；

(2)兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；

(3)若a=力，b-c,則a=c；

(4)若&〃8,b//c,則a〃c.

其中正確的是【】

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.某人從1點(diǎn)出發(fā)向西走了200m到達(dá)8點(diǎn)，然后改變方向向西偏北60°走了450nl到達(dá)

C點(diǎn),最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)。點(diǎn).

(1)作出向量族、前、CD(1cm表示200m)；

(2)求詼的模.

4.如右圖，已知四邊形48⑦是矩形，設(shè)點(diǎn)集游儲，B,C,碟,求集合7^｛a\a=PQ,Q^M,

且只0不重合｝.”尸I_

2.2平面向量的線性運(yùn)算

2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

1.已知正方形力靦的邊長為1,則|通+0+南卜[]

A.0B.2C.V2D.272

2.若為△/國內(nèi)一點(diǎn)0,礪+畫+花=6,則0是的【】

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

3.已知向量｝=1-+/-,其中23均為非零向量，則|向的取值范圍是

|?|⑸

4.已知兩個(gè)力F”F2的夾角是直角,且已知它們的合力F與E的夾角是60。，|F|=10N

求件和艮的大小.

5.用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

1.。為平行四邊形⑦平面上的點(diǎn)，設(shè)。A=a,OB-b,OC=c,

OD=d,則[]

A.B.a~計(jì)c~d=OC.a+Zr-c-</=0D.a-b-c+d=Q

2.已知5X=a,OB=b,若I蘇|=12,|OB|=5,且N加比90°,

則Ia~b\=.

3.如右圖所示，。是四邊形力靦內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d

的方向（用箭頭表示），使a+Z7=AB,c-d=DC,并畫出Zrc和a+d

4.已知。是平行四邊形力四的對角線〃'與6〃的交點(diǎn)，若Q=a,BC=b,OD=c,

證明:c^a-b=OB.

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1.點(diǎn)C,E,F分別是△/回的邊AB,BC,CA的中點(diǎn)，則]

A.AD+BE+CF=0B.BD-CF+DF=0

C.AD+CE-CF^OD.J3D-BE-FC=0

2.設(shè)四邊形力四中，有&而且|而|=|前I，則這個(gè)四邊形是【】

2

A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

3.設(shè)P是△48。所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+BA=2BP,則[]

A.PA+PB=0B.PC+PA^OC.PB+PC^QD.PA+PB+PC=6

4.已知P,A,B,C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且PA+PB+PC=AC,那么一定有【】

uirLiuuuiuuiULUItaj'unuiu

A.PB=2CPB.CP=2PBC.AP=2PBD.PB=2AP

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

2.3.1平面向量基本定理

1.設(shè)向量放飛R）,[（。+而是起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線的三個(gè)不共線向量，則實(shí)數(shù)。的值

3

等于【

A.-B.1C.-1D.-

2623

2.如右圖，點(diǎn)￡為A4BC中力6邊的中點(diǎn)，點(diǎn)b為/。的三等分

點(diǎn)(靠近點(diǎn)力)，BF交CE于點(diǎn)、G,若/=x而+yXR,則x+y等

于【】

3.如右圖，在△ABC中，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別

交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,AB=mAM,AC=nAN,

則〃?+〃的值為.

4.在△/回中，詬=5,~BC=h,49為邊比'的中線，G為△A5C

的重心，求向量B

2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算

1.向量通=(2,-1),AC=(-4,1)則及=[]

A.(-2,0)B.(6,-2)C.(-6,2)D.(-2,2)

2.設(shè)i,j是平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，且AB=4f+2J,AC=

37+4/則△48。的面積等于

A.5B,9C.10D.15

3.若力(0,1),8(1,2),(7(3,4)則施—2前=.

——?1—?

4.若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=—MN,求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

2

2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示

1.已知向量工=(4,2),向量3=(x,3),且則犬=[]

A.9B.6C.5D.1

2.已知向量1=(1,2)禾麗=(x,l),若向彭+區(qū)與正-萍行，則實(shí)物等于【】

A.-B.1C.-D.2

23

3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與。-26共線，則生等于【

n

A.—B.—C.—2D.2

22

4.已知向量a=(-3,2),ZF(X,-4),若a〃b,則尸[

A4B5C6D7

5.已知Q=Z+￡,而=-51+6L而=73一公，則點(diǎn)/、B、a〃中一定共線的三點(diǎn)

是?

2.4平面向量的數(shù)量積

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

1.已知0是△/a'內(nèi)一點(diǎn)，且滿足位I?曲=協(xié)?宓=應(yīng)'?修I,則0點(diǎn)一定是。的

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

2.如右圖，尸為△405所在平面上一點(diǎn)，向量加=a,方="且P

在線段45的垂直平分線上，向量而=c.若|a|=3,|引=2,則c?（a—6）

的值為

53

A.5B.3C.-D.-

22

3.已知向量a、8的夾角為X,a=2,\b=\,貝U|a+引?,a-b|=

3

4.已知|a|=2,|Z?I=5,a,b——3,求|a+b\,\a-bI

5.對于兩個(gè)非零向量a、b,求使|a+S|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)人與a+秘的夾角

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

1.已知2=（4，2）,B=（-3,5）且M與很的夾角為鈍角，則人的取值范圍是【】

A、.4I〉、—10B.T小畤D.T

3

2.給定兩個(gè)向量方=(3,4),)=(2,T)且(M+xB)_L(2-B),則x等于【

3.已知2=(3,0),b=(k,5)且之與彼的夾角為J,則4的值為________.

4

4.已知點(diǎn)/(1,2)和5(4,T),問能否在y軸上找到一點(diǎn)C,使//a=90°,若不能,

說明理由；若能，求。點(diǎn)坐標(biāo).

5.四邊形/時(shí)中，族=(6,1),~BC={x,y),CD=(-2,-3).

(1)若BC〃DA,求才與9間的關(guān)系式；

(2)滿足(1)問的同時(shí)又有焦，而，求x,y的值及四邊形/靦的面積.

2.5平面向量應(yīng)用舉例

1.已知平面上直線/的方向向量史(-1，!)，點(diǎn)0(°，0)和4(1，-2)在/上的射影

分別是0'和/,貝I赤=2e,其中4=[]

A.—B.--C.2D.-2

55

2.已知非零向量蕊與正滿足(至+區(qū)￡)-BC=0,且區(qū)亙叵則AABC為

網(wǎng)麗網(wǎng)閑2

[1

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三

角形

3.已知4/8。的三邊長分別為力廬8,BO1,4>3,以點(diǎn)/為圓心，r=2為半徑作一個(gè)圓，

設(shè)倒為的任意一條直徑，記戶麗?麗，求T的最大值和最小值，并證明當(dāng)T取最大值和最

小值時(shí)，PQ的位置特征是什么？

4四邊形力反力中，AB=a9BC=b,CD=c,DA=d,且a?b=b?c=c?d=d?a,

試問四邊形4題是什么圖形?

第二章平面向量參考答案

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

1.C2.A

3.(1)如圖所示;

(2)450m

4.{AC,CA,BD,DB,AB,AD,BA,DA}

2.2平面向量的線性運(yùn)算

2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

1.D2.D3.[0,2]4.|F』=5N,出|=56N

2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

1.B2.133.如右圖

4.(略)

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1.A2.C3.B4.D

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

2.3.1平面向量基本定理

1.A2.D3.2

4.VAB=a,BC=b,則80=二=，A。=AB+80=方+上Z?而AG=WA。，

2223

---21-

，AG=-a+-b.

33

2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算

l.C2.A3.(-3,-3)4.設(shè)P(x,y)則(『3,jH-2)=l(-8,l)=(-4,-),

22

x—3=-4,x=-1,

1；.3.?，點(diǎn)坐標(biāo)為(T，

y+2=],>=一不，2

、乙I乙

2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示

1.B2.A3.A4.C5.4、B、D

2.4平面向量的數(shù)量積

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

1.C2.D3a

4.VIa+bI=(a+b)2=a+2a-b+b?=22+2X(-3)+52=23,

Ia+bI=屈,(Ia-bI)2=Ca~b)2=a2~2a?b+b2=22