8.1概率(一)

一、教學目標：

1.知識目標：

(1)了解必然事件、不可能事件、隨機事件的意義，理解基本事件和復合事件.理解事

件的頻率與概率的意義；

(2)會計算等可能事件的概率。

2.能力目標：

培養學生的基本運算能力和觀察、分析、歸納、抽象的能力和解決實際問題的能力.

3.思想品質目標：

對學生進行愛國主義教育和為社會主義建設學習的思想品質.

二、教學重點：

教學重點是必然事件、不可能事件、隨機事件的判斷，事件的概率的定義及運用公式

m

P(A)=?計算等可能事件的概率.

三、教學難點：

教學難點是概率的計算。明晰等可能事件的概率計算公式P(A)=依中的基本事件總

n

數n和事件4包含的基本事件數m是突破難點的關鍵.

四、教學方法：

講授法、圖示法與練習法相結合.

五、教學過程：

(一)問題的引入

在自然界和人類社會活動中，人們觀察到的現象基本可以分為兩種類型:一類是確定性

現象,另一類是不確定現象(隨機現象).例如,太陽總是從東方升起，一個人隨著歲月的消逝,

一定會衰老、死亡等是確定性現象；而向桌上拋擲一枚硬幣，觀察擲出正面還是反面，隨機

地找一戶家庭做調查，記錄其收入是多少等，都是不確定現象.概率與統計就是從量的側面,

研究不確定現象的規律,并根據所掌握的局部情況,對整體加以估計和推斷.

本章主要介紹隨機事件的有關概念,概率的定義和計算,抽樣的幾種常用方法,用樣本估

計總體等內容.這些內容在自然科學及社會科學等諸多領域里都有著廣泛的應用.

(-)隨機事件

首先觀察下面的現象：

(1)擲一顆骰子，記錄擲出的點數.

(2)擲一枚硬幣，記錄正、反面出現的情況.

(3)在一天中的任一時間，測試某個人的體溫.

(4)射擊運動員進行的射擊比賽中，某一次射擊命中的環數.

(5)在標準大氣壓下，水加熱到100℃時必然沸騰.

(6)如果2x-4=0,那么，x=2.

(1)、(2)、(3)、(4)等現象具有共同的特性：在一定條件下，具有多種可能的結果，

而事先又不能確定會出現哪種結果.這種現象叫做隨機現象.(5)、(6)等現象具有共同的特

性：在一定條件下，結果必然發生或者必然不發生.這種現象叫做必然現象.

對隨機現象的一次觀察叫做一次隨機試驗，簡稱試驗.對隨機現象規律性的研究，可以

通過試驗來進行.隨機試驗的結果叫做隨機事件，簡稱事件，常用英文大寫字母A、B、C等表

示.

在一定條件下，必然發生的事件叫做必然事件，用。表示.在一定條件下，不可能發生

的事件叫做不可能事件，用0表示.以后，為了敘述起來方便，我們講到事件時，其中可

能包含必然事件和不可能事件的意思，一般都不另做說明了.

例1設在100件商品中有3件次品.

記A=｛隨機地抽取1件是次品｝;6=｛隨機地抽取4件都是次品｝；C=｛隨機地

抽取10件有正品).

指出其中的必然事件及不可能事件.

解由于100件商品中只有3件次品，隨機地抽取4件，不可能全是次品，所以事件8

是不可能事件：由于100件商品中只有3件次品，隨機地抽取10件，其中肯定有正品，所

以事件C是必然事件.

想一想：你能分別舉出生活中必然事件、不可能事件和隨機事件的實例嗎？

例2分析下列事件的聯系.

設任意擲一顆骰子，觀察擲出的點數.

(1)A=｛點數是1｝；

(2)6=｛點數是2｝；

(3)C=｛點數不超過2｝.

解事件。可以用事件A和事件8來進行描繪.(如事件C=AuB)

類似于例2中的事件A和事件6的試驗基本結果，它們在該試驗中是不能再分的最簡

單的隨機事件，叫做基本事件.類似于事件。的可以用基本事件來描繪的隨機事件叫做復合

事件.

練習題&1.1

1.任意擲一顆骰子，觀察擲出的點數，指出下列事件中的基本事件和復合事件：

(1)A—｛點數是1｝；

(2)8=｛點數是3｝；

(3)C=｛點數是5｝；

(4)〃=｛點數是奇數).

2.結合生活舉出基本事件和復合事件的例子.

參考答案：

I.基本事件：A,B,C.復合事件：D.

2.略.

（三）頻率與概率

在一次試驗中,一個事件可能出現,也可能不出現,也就是說這一事件發生與否具有偶然

性.但是，經過長期的試驗，我們發現，在相同的條件下，進行大量的重復試驗，隨機事件

的發生與否就會呈現出某種規律性.

例如，有些人作過拋擲硬幣的試驗，記錄如下：

拋擲次出現正面向上的次

數數

20481061

40402048

120006019

2400012012

可以看出，在相同的條件下，反復拋擲質量均勻的同?枚硬幣，出現正面向上的次數約

占總拋擲次數的一半.

如果在相同的條件下，事件A在"次重復試驗中出現了機次，那么，事件A出現的次

數m叫做事件A的頻數，比值‘叫做事件A的頻率.由于事件在每次試驗中可能出現也

n

可能不出現，因而〃次試驗里事件4出現的頻率也就隨著試驗結果的不同以偶然的方式變

化著.例如，上面擲硬幣重復試驗中出現正面向上的頻率如下：

拋擲次數正面向上的頻率

20480.5181

40400.5069

120000.5016

240000.5005

由此可見，事件頻率是一個不確定的數.

但是，大量的試驗中，我們發現頻率是具有穩定性的.在前面重復擲硬幣的試驗中，發

現隨著試驗次數的增加，正面向上的事件發生的頻率總在0.5附近擺動.

?般地，當試驗次數充分大時，事件4發生的頻率絲總在某個常數附近擺動，這時就把

n

這個常數叫做事件A發生的概率，記作P

想一想：上面擲硬幣重復試驗中出現正面向上的概率是多少？

注意：1.由上所述，容易看出

OWP(A)<1.

這是因為在n次重復試驗中，事件A的頻數M總是滿足04〃?W凡所以0V341.對

n

于必然事件Q,P(Q)=1,對于不可能事件0,P(0)=O.

2.定義了事件4的概率一(A),我們就可以比較不同事件發生的可能性的大小了.

例3一周內連續抽檢了某廠生產出來的產品，結果如下表所示:

日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

生產產品60150600900120018002400

總數(”)

次品數71952100109169248

(???)

m0.111

(-)0.1170.1270.0870.0940.103

頻率〃

求(1)星期五該廠生產的產品是次品的頻率為多少？

(2)本周內，該廠生產的產品是次品的概率為多少？

解(1)記/=｛生產的產品是次品),依頻率概念可知，A的頻率為

m109

——=----?0.091，

n1200

即星期五該廠生產的產品是次品的頻率約為0.091.

(2)從表中可以看出，事件A發生的頻率穩定在0.1左右，所以本周內該廠生產的產品

是次品的概率為

P(A)=0.1.

練習題8.1.2

某市工商局對其執行公務的工作人員進行了5次“經營人員問卷調查”，結果如F表:

(1)計算表中的各個頻率；

(2)經營人員對工商局執法人員滿意的概率P(A)約是多少？

參考答案:

(1)計算表中的各個頻率分別為：0.75,0.749,0.75,0.75,0.8；

(2)經營人員對工商局執法人員滿意的概率PC4)30.75.

被調查人數n500502504496505

滿意人數m375376378372404

m

滿意頻率九

(四)等可能事件的概率

從上面擲硬幣試驗中可以看出，如果通過事件發生的頻率，來求得事件發生的概率，需

要進行大量的重復試驗，很不方便.一般情況下這樣做是不現實的.正面給同學們介紹等可能

事件的概率的定義。

如果進行某種試驗，其全部基本事件有〃個，并且它們的發生是等可能的，事件A所

包含的基本事件有m個，那么A發生的概率為

m

P(A)一

n(8.1)

說明：根據實際情況(或排列、組合知識)，由這個定義可以求得等可能事件的概率。

例4把一枚均勻的硬幣任意地拋擲一次，求出現正面向上的概率.

解記A=｛出現正面向上｝.由于硬幣質地均勻，所以拋擲一次只能出現正面向上與

反面向上兩種情況，而且這兩種情況的出現是等可能的，所以基本事件總數〃=2,出現正

面向上只是其中的一種情況，所以事件A包含的基本事件數〃?=1,故出現正面向上的概率

為

“團1

P(A)=—=-

n2

例5擲一顆質地均勻的骰子，求(1)出現點數是5的概率；(2)出現的點數不超過2

的概率；(3)出現點數是偶數的概率.

解記A=｛出現的點數是5｝,B=｛出現的點數不超過2｝。

(1)擲一顆質地均勻的骰子出現點數有1、2、3、4、5、6六個基本事件，并且這六個

基本事件出現的機會均等，所以基本事件總數”=6,出現的點數是5,只是六個基本事件中

的一個，即機=1,故事件力發生的概率為

~1

P(A)=-=-

no.

(2)基本事件總數〃=6,出現的點數不超過2,占基本事件中的兩個，即加=2,故

事件B發生的概率為

m21

P(B)=-=-=-

no3.

(3)記C=｛出現的點數是偶數｝

基本事件總數〃=6,出現的點數是偶數，占基本事件中的三個，即加=3,故事件C

發生的概率為

練習題8.1.3

袋中有1個白色球和1個紅色球，這兩個球除顏色外，外形、重量等完全相同.從袋中

任意取出1個球，求取到白色球的概率.

參考答案：

P(A)=:

2

六、小結：

1.本節課知識內容

2.需要注意的問題

(1)利用事件A發生的頻率？可以估計事件A發生的概率尸(可，但它是一種近似計

n

算，即

m

P(A)?—o

n

試驗的次數越多,獲得的數據越多,這時用-估計P(A)就越精確。

n

(2)利用概率定義計算概率時，關鍵是確定等可能事件的概率計算公式P(A)='中

n

的基本事件總數n和事件A包含的基本事件個數m.

七.練習與作業：

練習：習題8.1第1題.

參考答案：1.略；

作業：習題8.1第2、3、4題.

8.1概率（二）

一、教學目標：

1.知識目標：

（1）了解概率的加法公式；

（2）能用概率的加法公式計算復合事件的概率。

2.能力目標：

培養學生的基本運算能力和觀察、分析、歸納、抽象的能力和解決實際問題的能力.

3.思想品質目標：

對學生進行愛國主義教育和為社會主義建設學習的思想品質.

二、教學重點：

教學重點是用概率的加法公式計算復合事件的概率.

三、教學難點：

教學難點是用概率的加法公式計算復合事件的概率.

四、教學方法：

講授法、圖示法與練習法相結合.

五、教學過程：

（-）復習

1.概率的知識結構框圖：

2.解答作業和練習的問題

（二）概率的加法公式

1.互斥事件

例6拋擲顆骰子，觀察擲出的點數.設事件A=｛點數為奇數｝,8=｛點數為2｝.

311

P（A）=—=—,P（B）=_.

626

求事件C=｛點數為奇數或2｝的概率.

解本例中的事件A和事件B不可能同時發生，我們把不可能同時發生的兩個事件A和

B叫做互斥事件或互不相容事件.

事件C與事件A,B的關系是：C發生意味著A、8中至少有一個發生，這時把C叫做

4與8的并，記作

C=A<JB.

2.概率的加法公式

對于互斥事件A、B,有

P(AuB)=P(A)+P(B).

對于例6來說

P(C)=P(ADB)=P(A)+P(B)=-+-=-.

263

概率的加法公式可以推廣.例如，對于彼此互斥的事件A,B,C,有

P(AuB。C)=P(A)+P(B)+P(C).

其中AuBuC意味著A,B,C中至少有個發生.

注意：4與8的并的概率，是A、B中至少有一個發生的概率，其中包括4與8同時發

生的事件，而此公式只針對互斥事件A、B,即當事件A和事件8不可能同時發生時才能用

此公式。

想一想：你能否舉出求兩個(或三個)彼此互斥的事件概率的實際問題？

練習題&1.4

冰箱里放了形狀相同的3罐可樂、2罐橙汁和4罐冰茶，小明從中任意取出一罐飲用.

設事件C=｛可樂或橙汁｝,試用概率的加法公式計算P(C).

參考答案：

P?1?

六、小結：

1.本節課知識內容

2.需要注意的問題

互斥事件不能同時發生，而能同時發生的兩個事件一定不是互斥事件.當互斥事件A、B

中至少有一個發生(用表示)時，我們可以使用概率的加法公式

P(Au8)=P(4)+P(B)來進行計算.需要指出的是，在A、8互斥的條件下，A、8中至

少有一個發生實際上就是A發生或者8發生，而4、B不能同時發生.

七、練習與作業:

練習：習題8.1第5題.

參考答案：5.2(0)=；?

作業：達標訓練8.1第1、2、3題.

8.2統計初步（一）

一、教學目標：

1.知識目標：

（1）會判斷總體、個體、樣本、樣本的容量,會用樣本抽樣的三種常用方法進行抽樣,

能得出一組數據的頻率分布.：

（2）根據實際問題，能得出一組數據的頻率分布。

2.能力目標：

培養學生的基本運算能力和觀察、分析、歸納、抽象的能力和解決實際問題的能力.

3.思想品質目標：

對學生進行愛國主義教育和為社會主義建設學習的思想品質.

二、教學重點：

教學重點是列頻率分布表,繪制頻率分布直方圖。

三、教學難點：

教學難點是列頻率分布表,繪頻率分布直方圖.

四、教學方法：

講授法、圖示法與練習法相結合.

五、教學過程：

（一）抽樣

1.總體與個體

有關部門要了解某地區中職校一年級學生的身高情況，應該怎么做？

上面的問題，是考察某一個對象群體的某項數量指標.考察的對象是中職校一年級學生

的身高情況.

在統計中，所研究對象的全體叫做總體，組成總體的每一個對象叫做個體.

在上述問題中，該地區中職校一年級全體學生的身高是總體，每一個中職校一年級學生

的身高是個體.

例1研究某班學生上學期數學期末考試成績，指出其中的總體與個體.

解該班所有同學的數學期末考試成績是總體,每一個同學的數學期末考試成績是個

體.

想一想：如果燈炮的質量用燈炮的使用壽命來衡量，那么鑒定一批燈炮的質量時，你能

指出其中的總體與個體嗎？

2.樣本與樣本容量

要了解總體的情況,最好是能對總體中的每一個個體逐個進行試驗,但是，這樣做實際h

往往是不可能或不允許的.一方面是總體中個體數目可能太多，無法逐個試驗；另一方面，有

些試驗具有破壞性.例如，中央電視分為了調查某個節目的收視率，不會（也不可能）把全國所

有家庭都調查到:再如，要測定一批炮彈的射程,測定一個破壞一個,不允許逐一進行測定.所

以，經常采用隨機地從總體中抽取一部分個體,對這些個體做試驗,然后根據試驗結果來推測

總體的性質.被抽取出來的這部分個體叫做總體的樣本,樣本所含個體的數目叫做樣本的容

量.

例2某地區為了掌握7歲兒童身高狀況，隨機抽取200名兒童測試身高，請指出其中

的總體、個體、樣本與樣本容量.

解該地區所有7歲兒童的身高是總體，每一個7歲兒童的身高是個體，被抽取200

名7歲兒童的身高是樣本，樣本容量是200.

想一想：要測定一批炮彈的射程,隨機抽取20顆炮彈通過發射測試.你能指出其總體、

個體、樣本與樣本容量嗎？

3.抽樣的基本方法

為了用樣本的特性去估計總體的相應特性,樣本的抽取得是否恰當,直接關系到總體特

性估計的準確程度.為了使所抽取的樣本具有較強的代表性,在實踐中，人們總結出了一些抽

樣方法.下面介紹幾種常用的抽樣方法.

(1)簡單隨機抽樣.

從總體中隨機抽取樣本叫做簡單隨機抽樣.簡單隨機抽樣不能附加任何條件，必須滿足

每個個體都有被抽到的可能，并且每個個體都有被抽到的概率是相等的，即簡單隨機抽樣是

等概率抽樣.簡單隨機抽樣可以通過抽簽來選擇抽取對象.當總體中所含的個體較少時，經常

采用簡單隨機抽樣.

例如,從某班中抽取10名同學去參加義務勞動,就可采用抽簽的方法來抽取樣本.

簡單隨機抽樣還可以利用隨機數來進行.現在大部分函數型計算器都能產生在0~1之間

均勻分布的隨機數，應用起來十分方便.

例3某班有50名同學，學號1~50,試利用隨機數從中抽取10名同學去參加義務勞動.

解使用函數型計算器，依次按鍵后，每按一次E

健，就能得到一個o~i之間的隨機數.我［SHIFT］點|RAN#g位數作為抽取的學號,如果超

過50就舍去，重復的也舍去.這樣，用計算器得到隨機數為

0.087,0.039,0.753,0.538,0.133,0.101,0.442,0.783,0.124,0.79,0.385,

0.781,0.749,0.971,0.193,0.907,0.875,0.216,0.532,0.5

所以抽到的同學的學號是

8,3,13,10,44,12,38,19,21,50.

(2)系統抽樣.

當總體中所含的個體較多時,采用隨機抽樣的方法抽取的樣本，可能比較麻煩.這時,可

將總體分成均衡的幾個部分,然后按照預先定出的規則,從每??部分中抽取一定數目的個體.

這種抽樣叫做系統抽樣.當總體中個體數較多,并且每個個體被抽到的概率相等時,經常采用

系統抽樣.

例4為了了解某中職學校一年級學生的身體發育情況,從該學校一年級的1000名學生

中抽取一個容量為50的樣本,如何抽取樣本較好？

解由于總體中的個體數較多，并且每個個體被抽到的概率相等,故可采用系統抽樣方

法來進行抽樣.首先把這1000名學生編號,然后可按照編號的順序每隔20個抽取1個.假定

在1-20的20個學生編號中任取1個得到的是16號,那么從16號起,每隔20個號碼抽取1

個號碼得到的50個編號依次是

16,36,56,76,…，996.

（3）分層抽樣.

當總體是由有明顯差異幾個部分組成時,可將總體按差異情況分成互不相容的幾個部分,

然后按各部分所占的比例進行抽樣.這種抽樣叫做分層抽樣.分層抽樣的每一層進行抽樣時，

采用簡單隨機抽樣或系統抽樣.

例5考察某地區7歲兒童的身高狀況，應該如何抽取樣本較好？（該地區城鄉兒童比

例為3:7）

解由于我國城鄉兒童的身高存在差異,故本題中的總體是由有明顯差異的兩個部分組

成.這時,可將總體按差異情況分成兩個部分,然后按各個部分所占的比例進行抽樣.因此,本

題中可按照3:7的比例從該地區城鄉7歲兒童中抽取樣本.

想一想：以上三種抽取樣本的方法各有什么特點?各在什么情況下應用？

練習題8.2.1

1.在某班級中，隨機選取10名同學去參加學校的表彰大會，指出其總體、個體、樣本

與樣本容量.

2.某農場在兩塊地種有小麥,其中平地種有100畝,坡地種有20畝.現需要對6畝地的

小麥進行估產,應該如何抽取樣本較好？

參考答案：

1.某班級的同學是總體，班級的每一個同學是個體，參加會議同學是樣本，樣本容量是

10.

2.因為坡地與平地產量有明顯差異，所以分層抽樣比較好.

（二）用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布

1.頻率分布表與頻率分布直方圖

用上面抽樣的方法從總體中抽取樣本，我們得到了一組數據，于是就可以畫出這些數據

的頻率分布直方圖，并可以用它來估計總體的分布.下面就來介紹頻率分布直方圖的畫法.

將一組數據按要求分為若干組,各組內數據的個數，叫做該組的頻數.每組頻數與全體數

據的個數之比叫做該組的頻率.頻率反映每組數據在全體數據中所占比例的大小.

在處理數據時,經常利用表與圖等形式進行分析.計算頻率在各組分布情況的表叫做頻

率分布表.將頻率分布的結果，在直角坐標系中繪成的矩形圖叫做頻率分布直方圖.

例6某工廠從去年全年生產某種零件的日產記錄（件）中隨機抽取30份，得到以下數

據:

346345347357349352341345358350

354344346342345358348345346357

350345352349346345351355352348

請列出頻率分布表，繪制頻率分布直方圖并說明其用途.

解(1)計算最大值與最小值的差.

在上面的數據中，最大值是358,最小值是341,它們的差是

358-341=17

(2)確定組距與組數.

將差值分組,一般數據越多，分的組數也越多(如果數據在100以內，通常分為5?12組).

如果組距取3,組數可山下式取值：

最大值-最小值=17=52

組距I-3,

(注：如果不是整數，取大于這個分數的最小整數.)

故分為6組.

(3)確定分點.

將數據按照3的組距分組,分為6組：

340.5?343.5,343.5-346.5,346.5?349.5,349.5-352.5,352.5?355.5,355.5-

358.5.

(4)列頻率分布表.

分組個數累計頻數頻率

340.5?343.5220.067

343.5?346.510100.333

346.5?349.5550.167

349.5-352.5660.2

352.5?355.5220.067

355.5?358,5550.166

合計301.000

(5)繪頻率分布直方圖.

圖8-1

頻率分布直方圖能反映出去年該種零件日產量的分布情況。例如，從左至右的第二個矩

形最高，意味著日產量為343~345件的天數最多，其頻數等于該矩形的面積，即

0.111x3=0.333」

3

上式表明，去年約有J■的天數日產量為343~345件.

3

由例6看到，繪制頻率分布圖的方法和步驟如下：

(1)計算數據最大值和最小值；

(2)決定組距和組數；

(3)決定分點；

(4)列頻率分布表；

(5)繪制頻率分布直方圖.

練習題8.2.2

已知一個樣本為：

25212325262926283029

26242527262224252628

(1)填寫下面的頻率分布表：

分組頻數頻率

20.5-22,5

22,5—24.5

24.5-26.5

26.5—28.5

28.5-30.5

合計

(2)畫出頻率分布直方圖。

參考答案：

(1)填寫下面的頻率分布表:

分組頻數頻率

20.5-22,520.1

22,5—24.530.15

24.5—26.590.45

26.5-28.530.15

28.5—30.530.15

合計201

(2)畫出頻率分布直方圖.

六、小結：

1.本節課知識內容

2.需要注意的問題

(1)總體、個體、樣本三者之間的關系是，所有的個體構成了總體，樣本取自于總體，

因此,樣本是總體的一部分,沒有個體就沒有總體；

(2)在統計學中.采用抽取樣本，用樣本的情況去估計總體的情況的原因有兩點：

①在很多情況下總體包含的個體數目往往很多，甚至無限,不可能一一加以考察；

②有些試驗帶有破壞性。

(3)簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣是三種常用的抽樣方法.三種抽樣方法的共同特

點是在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，體現了這些抽樣方法的客觀性和公平性.其中

簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，在系統抽樣和分層抽樣時都要用到簡單隨機抽樣方法.當

總體中的個數較少時，常采用簡單隨機抽樣;當總體中的個數較多時，常采用系統抽樣;當已

知總體由差異明顯的兒個部分組成時，常采用分層抽樣.采用不同的方法抽樣后，用樣本的特

性估計總體的準確程度是不同的.所以應當根據總體情況，適當選擇相應的抽樣方法，以提

高估計總體的特性的準確程度.

(4)用樣本估計總體的具體方法是：通過隨機抽樣，計算樣本頻率；利用樣本頻率，估

計總體概率.樣本的容量越大,對總體的估計也就越精確.

(5)在制作一組數據的頻率分布表時,決定組距與組數是關鍵,在一般情況下,數據越多,

分組的組數也就越多.怎樣分組更好一些,關系到數據的分布規律是呈現得比較清楚還是比

較模糊的問題.在實際決定組數時,往往有一個嘗試過程:先決定一個組距,再算出相應的組

數,看看這個組數是否大致符合確定組數的經驗法則.在嘗試中,往往要比較相應于幾個組距

的組數,然后從中選定一個較為合適的組數.

(6)在畫頻率分布直方圖時,按公式計算小長方形的高是十分麻煩的,因為小長方形的

高與頻數成正比.所以只要用某一長度h表示頻數為1的小長方形的高,就可以得到頻數為k

的小長方形的高就是kh.

(7)頻率分布表和頻率分布直方圖是頻率分布的兩種不同的表示形式，前者準確,后者

直觀,兩者放在一起，使我們對一組數據的頻率分布情況了解得更清晰.

七、作業：

作業：習題8.2第1題.；達標訓練8.2第1題.

8.2統計初步（二）

一、教學目標：

1.知識目標：

本節的教學基本要求是會求樣木平均數、樣本方差和樣本標準差.

2.能力目標：

培養學生的基本運算能力和觀察、分析、歸納、抽象的能力和解決實際問題的能力.

3.思想品質目標：

對學生進行愛國主義教育和為社會主義建設學習的思想品質.

二、教學重點：

教學重點是計算樣本平均數、樣本方差及樣本標準差。

三、教學難點：

教學難點是樣本方差、樣本標準差的計算。剖析樣本平均數、樣本方差、樣本標準差公

式及頻率分布的各個步驟之間的內在聯系是突破難點的關鍵.

四、教學方法：

講授法、圖示法、練習法并結合計算器的使用.

五、教學過程：

（-）用樣本平均數和標準差估計總體的平均數和標準差

1.樣本平均數

先看一個實例：

例7某班任抽10名學生階段數學測驗的成績是：78,65,47,84,92,88,75,58,

73,68.問這個樣本的平均成績是多少？

解：這個樣本的平均成績是

-78+65+47+84+92+88+75+58+73+68…

x=-------------------------------------------------------=72.8.

10

一般地，如果有"個數幾沏，…，/那么

—1

x=—（X）+%2+…Z）（8.2）

n

叫做這〃個數的平均數，指讀作。拔”.為了書寫方便，有時將七+%2+…+瑞記

作+>,.即

1=\

￡壬=x,+x2+---+X,,

*'=lo

我們發現，以上方法在計算樣本數量較少時很方便，但是如果遇到樣本數量很大時，就

不方便了。例如在計算全國高考學生數學高考成績的平均成績時，采用這樣的方法計算就太

麻煩了.這時.，可以采取用樣本估計總體的方法，即從中抽取部分考生的成績，用他們的

平均成績去估計所有考生的平均成績.

我們稱總體中所有個體的平均數叫做總體平均數，樣本中所有個體的平均數叫做樣本

平均數.一般來說，通過樣本平均數來估計總體平均數時，樣本容量越大，這種估計就越

精確.

例8從一批機器零件毛坯中隨機取出20件，稱得它們的重量如下（單位:kg）:

210208200192202218206214215207

195207218202216185227215187205

計算樣本平均數（結果保留到個位）.

-1

解x=—+（210+208+200+192+202+???+205）

20

4129

20

Q206（千克）.

因此可以估計這批機器零件毛坯平均每件約重206千克.

例9某一自動化車床連續用刀具加工某種零件.從新刀具換上到損壞為止，所加工零

件的個數叫做刀具的壽命，現隨機抽取30把刀具記錄其壽命如下：

344353346351353348353349351354

350345352349355345351355352348

346349350357347354351348349351

計算這30把刀具的平均壽命（個）.

-11

解：x=—（344+353+…+351）=—X10506=350.2（個）.

3030

練習題8.2.3.1

從一塊小麥地里隨機抽取10株，測得各株高為（單位：cm）:71、77、80、78、75、

84、79、82、79、75.求樣本平均數，并說明樣本平均數的意義.

參考答案：

x=78,小麥地里的平均株高是78（cm）.

2.樣本方差

設樣本容量為n,為了衡量樣本數據的波動大小,即樣本中各數據偏離平均數的大小,我

們將樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和除以（〃T）得到的數叫做樣本方差，即

s~—----[（X]_x）-+（x2~x）~+…—x）~]（8.3）

樣本方差越大,說明樣本數據的波動越大.

例10某種零件的長度要求是1010±0.05cm為合格產品.從甲乙兩個工人各自加工

的零件中各抽出10個出來，分別檢測它們的長度結果如下：

甲9.9510.039.9910.011010.0110.0110

10.019.99

乙9.99109.9810.011010.019.9910.01

9.9910.02

請評價甲乙兩個工人加工產品的質量（計算保留5位小數）.

解：根據公式（8.2）（取〃=10）,有

一1

X甲=—（9.95+10.03+9.99+10.01+10+10.01+10.01+10+10.01+9.99）

=10

—1

.乙=.（9.99+10+9.98+10.01+10+10.01+9.99+10.01+9.99+10.02）

=10

甲乙兩個工人生產的零件長度全部合格并且兩個工人生產的零件長度的樣本平均數相

同，我們進一步比較樣本方差.由公式（8.3）,有

s。=§（9.95—10）2+（10.03—IO-+…+（9.99—IO-]

￡

=9X0.00400=0.00044,

s2="[（9.99—10尸+（10—10產+…+（10.02-10）2]

]_

=9X0.00140=0.00016.

由于端〈或，表明工人乙生產的零件長度比工人乙生產的零件長度波動小，因此工人

乙生產的產品優于工人甲生產的產品（同時說明工人乙比工人甲技術好）.

需要指出的是，我們在這里是用一個樣本（10個零件長度）的樣本方差作為工人甲（或

乙）產品的總體方差情況的估計值，這也體現了用樣本估計總體的基本思想.

3.樣本標準差

樣本方差的算術平;^矍_____________

一32刁（8-4）

叫做樣本標準差.它也是可用來衡量樣本波動大小的一個重要量.

如例10的樣本標準差s甲=Vo.00044X0.021,s乙=70.00016?0.0126.也能表明

工人乙生產的零件長度對樣本平均數的波動更小.

統計的數據計算量一般比較大，計算方差、標準差是十分麻煩的，因此，一般經常使用

函數型計算器來進行計算.使用K*L?T快靈通FG-81L函數計算器，計算樣本平均數（[）

和樣本標準差（xo”-1J非常方便。

做一做：參照第9章相關內容，利用計算器計算例題10.

練習題8.2.3.2

計算上題中的樣本方差及樣本標準差，并說明樣本方差或樣本標準差的意義.

參考答案：

§2=14,5=3.7,表明工人乙生產的零件長度比工人乙生產的零件長度波動小，因

此工人乙生產的產品優于工人甲生產的產品（同時說明工人乙比工人甲技術好）.

六、小結：

1.本節課知識內容

2.需要注意的問題

（1）平均數反映了樣本和總體的平均水平,方差和標準差則反映了樣本和總體的波動

大小程度.方差和標準差在比較兩組數據波動大小時,這兩個量是等價的.標準差的優點是

其度量單位與原數據的度量單位一致,有時比較方便.在教學中應向學生指出,樣本方差越大,

樣本的波動就越大.從一個總體中抽取的樣本方差與總體方差有密切的聯系.總體方差可用

樣本方差來估計,樣本容量越大，樣本的方差就越接近總體方差,在統計學里常用樣本方差來

估計總體方差.平均數、方差和標準差的計算工作量較大，一般采用計算器進行；

*（2）本教材定義的方差是

S2=-----[（X|-X）-+（x-xyH----F（X"-X）2]-

n-12

為什么要除以〃-1，而不是除以〃，這是因為參加求和〃個離差

為一工工2一工…乙一"受約束條件—6=0所制約，只有〃一1個可以自由變化.

它是總體的無偏估計量.

七、練習與作業：

練習：習題8.2第2、3、4題

參考答案：

2.x=61.95,>fs=3,52=9.

10

3.(1)19包合格，即"=20,m=19,P(A)=—=?=0.95.

n20

由此判斷這一批方便面的合格率約為0.95.

(2)x=102.15(g).

>2713

4.(1)在隨機抽取20份答卷中，〃=20,滿意的加=13,P(A)?—=—=0.65.

n20

⑵x=59.5

作業：習題8.2第5、6題.；達標訓練8.2第2題.

第8章復習與練習

一、內容提要

1.本章知識結構框圖：

W

機頻率與概率一

事

件概率的應用舉例

率等可能事件的概率

與

統

總

計

體

、——系統抽樣

個

體簡單隨機抽樣——

、——~分層抽樣

樣

本

、

樣頻率分布圖與頻率分布直方圖

本

容

量用樣本估計總體樣本平均數

樣本方差與樣本標準差

2.需要注意的問題

(1)要準確無誤地理解隨機事件的概念，這是學好概率的基礎和關鍵.

(2)概率從數量上反映出了一個事件發生的可能性的大小.

(3)要仔細體會用樣本估計總體的統計基本思想.即如何根據樣本去探求有關總體的

特征.

(4)在處理數據時,經常利用表與圖等形式進行分析.要掌握頻率分布表及頻率分布直

方圖的概念和制作.

(5)統計是與數據打交道，整理資料的工作量較大,計算比較麻煩，學習時務必耐心、仔

細，否則極易出錯，要結合第9章內容，掌握用函數型計算器進行計算的方法.

二、復習題8

(-)選擇題

1.某電視臺對近期播放的電視連續劇進行了5次“電話調查”，結果如下表：

該電視連續劇收視率為().

被調查人數n10001000100010001000

收看人數機9081899391

m

收視頻率〃

A.0.09;B.0.08;C.0.1;D.9.

2.要考察某地區2歲兒童身高狀況，隨機抽取200個2歲兒童測身高.這200個兒童

的身高是（）.

A.總體；B.個體；C.樣本；D.樣本容量.

3.某學校的部分數學興趣小組成員的數學中考成績如下（總分120分）:

10311610310010211510710495117

1061131179710911210195108100

樣本平均數是（).

A.93;B.106;C.85.7;D.96.35

4.上題中，樣本標準差約是（).

V98O

A.V98O；B.106;C.7;D.

20

（-）填空題

1.在一定條件下,可能出現不同的結果,這類現象叫做.

2.從某工廠生產的某一批零件毛坯中，隨機抽取10件，測得長度為（單