專題2.4有理數的乘除【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據有理數的乘法法則判斷不等關系】 1【題型2巧用分配律簡化運算】 2【題型3有理數的乘法與相反數、倒數、絕對值等知識的綜合】 2【題型4關于有理數乘法的新定義問題】 3【題型5利用有理數的乘法解決實際問題】 4【題型6巧用分配律進行有理數的四則混合運算】 5【題型7利用有理數的四則混合運算解決實際問題】 6【題型8巧用倒數解有關有理數除法的問題】 7【題型9運用有理數的除法化簡分數】 8【題型10與有理數的混合運算有關的分類討論問題】 8【知識點1有理數乘法的法則】①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同零相乘，都得0．

③多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．乘積是1的兩個數互為倒數，0沒有倒數；若a≠0，則a的倒數是1a【題型1根據有理數的乘法法則判斷不等關系】【例1】（2023春·廣東廣州·七年級統考期末）如果a+b=a?b>0，ab<0，那么（

）.A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0【變式1-1】（2023春·重慶江津·七年級校考階段練習）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘積ac的值一定是（）A．正數 B．負數 C．0 D．不能確定【變式1-2】（2023春·江蘇蘇州·七年級校考階段練習）若a+b<0，且ab>0，那么a、b應滿足的條件是（

）A．a>0、b>0 B．a<0，b<0C．a、b同號 D．a、b異號，且負數的絕對值較大【變式1-3】（2023春·河北邢臺·七年級校考階段練習）如圖，A，B兩點在數軸上表示的數分別是a，A．ab>0 B．a+b>0C．a?1b+1<0 【題型2巧用分配律簡化運算】【例2】（2023春·河南焦作·七年級焦作市實驗中學校考期中）用簡便方法計算：(1)4×(2)?(3)?5×(4)99【變式2-1】（2023春·山西晉中·七年級統考期末）計算?0.125×20×?8×A．乘法交換律 B．乘法分配律C．乘法結合律 D．乘法交換律和乘法結合律【變式2-2】（2023春·七年級單元測試）用簡便方法計算：(1)913(2)?5×(?3【變式2-3】（2023春·湖南張家界·七年級統考期中）簡便計算：(1)?24×(?(2)(?【題型3有理數的乘法與相反數、倒數、絕對值等知識的綜合】【例3】（2023春·海南省直轄縣級單位·七年級校考階段練習）已知a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值是2，求|a+b|+4m?3cd的值．【變式3-1】（2023春·重慶萬州·七年級校聯考階段練習）若a，b互為相反數，c，d互為倒數，|x?4|=3，求cd2x【變式3-2】（2023春·吉林白城·七年級統考期中）已知a，b互為相反數，且a≠0，c，d互為倒數，m的絕對值是最小的正整數，求m2【變式3-3】（2023春·貴州遵義·七年級校考階段練習）若a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值為2.(1)求a＋b，cd，m的值；(2)求m+2cd?a+b【題型4關于有理數乘法的新定義問題】【例4】（2023春·江蘇宿遷·七年級泗陽致遠中學校考階段練習）定義一種新運算“※”，對于任意的兩個有理數a，b，a※b=?3ab．(1)若m與?2互為倒數，n與5互為相反數，求m※n的值；(2)求(?3)※[6※(?4)]的值．【變式4-1】（2023春·重慶石柱·七年級重慶市石柱中學校校考階段練習）a，b為有理數，若規定一種新的運算“⊕”：定義a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．請根據“⊕”的定義計算：(1)﹣2⊕4；(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．【變式4-2】（2023春·全國·七年級期末）在學習完《有理數》后，小奇對運算產生了濃厚的興趣．對有理數a、b、c，在乘法運算中滿足①交換律：ab=ba；②對加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理數的運算，定義了一種新運算“⊕”，規則如下：(1)求2⊕?1(2)求?3⊕?4⊕(3)試用學習有理數的經驗和方法來探究這種新運算“⊕”是否具有交換律？請寫出你的探究過程．【變式4-3】（2023春·江蘇無錫·七年級校考階段練習）對于有理數a、b，定義運算：a?b＝a×b+|a|﹣b．(1)計算（﹣5）?4的值；(2)求[2?（﹣3）]?4的值；(3)填空：3?（﹣2）______（﹣2）?3（填“＞”或“＝”或“＜”）．【題型5利用有理數的乘法解決實際問題】【例5】（2023春·廣東深圳·七年級深圳市羅湖區翠園東曉中學校考期中）某出租車沿人民路東西方向行駛，如果把人民公園站臺記為0，向東行駛記為正，向西行駛記為負，這輛車從人民公園站臺出發以后行駛的路程如下表（單位：km）序號1234567路程+5?3+10?8?6+12?10(1)這輛車離開出發點最遠是千米；(2)這輛車在上述過程中一共行駛了多少路程？(3)若汽車耗油量為4升/千米，共耗油多少升？【變式5-1】（2023·全國·七年級假期作業）某自行車廠一周計劃生產700輛自行車，平均每天生產100輛，由于各種原因實際每天生產量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產情況（超產為正、減產為負）：星期一二三四五六日增減+5?2?4+13?10+16?9(1)根據記錄可知前四天共生產輛；(2)產量最多的一天比產量最少的一天多生產輛；(3)該廠實行計件工資制，每周生產一輛自行車給工人60元，超額完成任務超額部分每輛再獎15元，少生產一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【變式5-2】（2023春·陜西榆林·七年級校考期末）某食堂購進30袋大米，每袋以50千克為標準，超過的記為正，不足的記為負，稱重記錄如下表：與標準重量偏差（單位：千克）?2?10123袋數5103156(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？(2)這30袋大米的總重量比標準總重量多或少了多少千克？(3)大米的單價是每千克5.5元，食堂購進大米總共花了多少錢？【變式5-3】（2023·浙江·七年級假期作業）某水果超市最近新進了一批百香果，每斤8元，為了合理定價，在第一周試行機動價格，賣出時每斤以10元為標準，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為負，超市記錄第一周百香果的售價情況和售出情況：星期一二三四五六日每斤價格相對于標準價格（元）+1?2+3?1+2+5?4售出斤數2035103015550(1)第一周超市售出的百香果單價最高的是星期___________，最高單價是___________元；(2)這一周超市出售此種百香果的收益如何？（盈利或虧損的錢數）？(3)超市為了促銷這種百香果，決定從下周一起推出兩種促銷方式：方式一：購買不超過5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售價10元；為了給小明釀百香果蜜，張阿姨決定買35斤百香果，通過計算說明哪種方式購買更省錢．【知識點有理數除法的法則】①有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.②兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．【題型6巧用分配律進行有理數的四則混合運算】【例6】（2013秋·七年級單元測試）用簡便方法計算：9998【變式6-1】（2023春·湖南郴州·七年級校考期中）簡便運算：?1【變式6-2】（2023春·七年級課時練習）用簡便方法計算：(1)(-81)÷214-9(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-【變式6-3】（2023春·全國·七年級專題練習）小剛在課外書中看到這樣一道有理數的混合運算題：計算：1她發現，這個算式反映的是前后兩部分的和，而這兩部分之間存在著某種關系，利用這種關系，他順利地解答了這道題．（1）前后兩部分之間存在著什么關系？（2）先計算哪步分比較簡便？并請計算比較簡便的那部分．（3）利用（1）中的關系，直接寫出另一部分的結果．（4）根據以上分析，求出原式的結果．【題型7利用有理數的四則混合運算解決實際問題】【例7】（2023·浙江·七年級假期作業）有一個水庫某天8:00的水位為?0.1米（以警戒線為基準，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個時刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：0.5，?0.8，0，?0.2，?0.3，0.4．(1)經這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？(2)現在由于下暴雨，水庫水位以0.1米/小時速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現在水庫勻速泄水，可使靜態水位按0.2米/小時速度下降，為達到指揮部最低要求，求水庫需放水的時間．【變式7-1】（2023·浙江·七年級假期作業）明屹加油站周年慶，開展了加油每滿10L立返現金5元（不足10L不返現金）的活動，出租車司機李師傅只在東西走向的路上開車接送乘客，他7:00從甲地出發（向東行駛的里程數記作正數），到8:00為止，他所行駛的里程記錄如下（單位：公里）+4；?3；?6；+13；?10；?4；+5．(1)計算到8:00時，李師傅在甲地的哪個方向，距甲地多遠？(2)求從7:00開始到8:00為止，李師傅距甲地的最遠距離．(3)若李師傅當日工作至17:00為止，每小時行駛的里程相同，該車每百公里耗油8L，每升油7元，若李師傅今天出車時油箱是滿的，中間沒有加油，收工時想加滿油箱，則李師傅當日在該加油站加油共花費多少元？【變式7-2】（2023春·廣東佛山·七年級校考階段練習）2022年國慶節期間，若順德長鹿農莊在9月30日的游客人數為3萬人，下表為7天假期中每天接待游客的人數與前一天相比的變化情況(正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數)：日期1日2日3日4日5日6日7日人數變化/萬人+1.7+0.6+0.3?0.3?0.6+0.2?1.1(1)請判斷七天內游客人數最多的是哪天？最少的是哪天？它們相差多少萬人？(2)與9月30日相比，10月7日客流量是上升了還是下降了？變化了多少？(3)求這7天每天平均人數是多少萬人？【變式7-3】（2023·浙江·七年級假期作業）為鼓勵人們節約用水，某市居民生活用水實行“階梯水價”收費，具體收費標準是：用戶每月用水量在20噸及以內的為第一級水量基數，按一級用水價格收取，超過20噸且不超過30噸的部分為第二級水量基數，按一級用水價格的1.5倍收取，超過30噸的部分為第三級水量基數，按一級用水價格的1.8倍收取．為節約用水，小高記錄了1~7月份他家每月1號的水表讀數．（注：相鄰兩個月同一天的水表讀數之差為上一個月的用水量）1月2月3月4月5月6月7月水表讀數（噸）433450468485500514535(1)填空：小高家1月份的用水量_______噸，1~6月平均每月用水量為_______噸．(2)已知小高家2月份的水費為36元，試求他家6月份需繳納水費多少元？(3)7月份放暑假后，小高的爺爺、奶奶來到家里和小高一起生活，用水量明顯增加，比6月份多用水14噸，試求小高家7月份需繳納水費多少元？【題型8巧用倒數解有關有理數除法的問題】【例8】（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下列材料：計算50÷(1解法一：原式＝50÷1解法二：原式＝50÷(412?解法三：原式的倒數為(＝(1故原式＝300．上述得出的結果不同，肯定有錯誤的解法，你認為解法______是錯誤的．請你選擇合適的解法解答下列問題：計算：(?1【變式8-1】（2023·江蘇·七年級假期作業）閱讀下題的計算方法：計算：?分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值．解：2所以原式=?根據材料提供的方法，嘗試完成下面的計算：?【變式8-2】（2023春·遼寧鞍山·七年級階段練習）閱讀下列材料，并解答問題：材料一：乘積為1的兩個數互為倒數，如ab和ba，即若設a:b=x，則材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；利用上述材料，請用簡便方法計算：(?1【變式8-3】（2023春·福建泉州·七年級校聯考期中）利用倒數的意義完成計算：?【題型9運用有理數的除法化簡分數】【例9】（2023春·七年級課時練習）化簡下列分數：（1）?217；

（2）3?36；

（3）?54?8；

【變式9-1】（2023春·全國·七年級專題練習）化簡下列分數：（1）?72?8；（2）?13【變式9-2】（2023春·河北唐山·七年級校考階段練習）化簡下列分數：（1）?26=；（2）?6?24=；（3）0【變式9-3】（2023春·七年級課時練習）化簡下列分數：(1)?2?6;

(2)?(3)0?3;

(4)-?a【題型10與有理數的混合運算有關的分類討論問題】【例10】（2023春·全國·七年級專題練習）a、b為任何非零有理數，則aa+bA．?3或1 B．3或1或?1 C．1或3 D．?1或3【變式10-1】（2023春·湖北恩施·七年級校考期中）已知a、b、c均為非零有理數，且x＝a|a|+|b|b+|c|c?abcA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式10-2】（2023春·山東聊城·七年級校考期中）若ab≠0，則aa?bA．0 B．1 C．2 D．?2【變式10-3】（2023春·福建泉州·七年級校考階段練習）已知x1,x2,x3,???x20都是不等于0的有理數，若y1=x1x1，則y專題2.4有理數的乘除【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據有理數的乘法法則判斷不等關系】 1【題型2巧用分配律簡化運算】 3【題型3有理數的乘法與相反數、倒數、絕對值等知識的綜合】 6【題型4關于有理數乘法的新定義問題】 8【題型5利用有理數的乘法解決實際問題】 12【題型6巧用分配律進行有理數的四則混合運算】 16【題型7利用有理數的四則混合運算解決實際問題】 18【題型8巧用倒數解有關有理數除法的問題】 22【題型9運用有理數的除法化簡分數】 24【題型10與有理數的混合運算有關的分類討論問題】 26【知識點1有理數乘法的法則】①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同零相乘，都得0．

③多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．乘積是1的兩個數互為倒數，0沒有倒數；若a≠0，則a的倒數是1a【題型1根據有理數的乘法法則判斷不等關系】【例1】（2023春·廣東廣州·七年級統考期末）如果a+b=a?b>0，A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0【答案】B【分析】根據有理數加法法則和絕對值的性質得到a>b，根據有理數乘法法則得到a與b異號，即可得出a是正數，【詳解】解：∵a+b=a?b∴a與b異號，且a>∴a>0，b<0，故選：B．【點睛】此題考查了有理數乘法法則，加法法則絕對值的性質，能熟記有理數的加法法則和乘法法則是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·重慶江津·七年級校考階段練習）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘積ac的值一定是（）A．正數 B．負數 C．0 D．不能確定【答案】B【分析】根據題意，判斷出a、c的正負，即可求解．【詳解】解：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，即a與c異號，則ac的值一定是負數．故選：B．【點睛】此題考查了有理數乘法以及加法運算，解題的關鍵是正確判斷出a、c的正負．【變式1-2】（2023春·江蘇蘇州·七年級校考階段練習）若a+b<0，且ab>0，那么a、b應滿足的條件是（

）A．a>0、b>0 B．a<0，b<0C．a、b同號 D．a、b異號，且負數的絕對值較大【答案】B【分析】直接利用有理數的乘法運算法則結合加法運算法則分析得出答案．【詳解】解：∵a+b<0，且ab>0，∴a<0，b<0，故選：B．【點睛】此題主要考查了有理數的乘法運算以及加法運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．【變式1-3】（2023春·河北邢臺·七年級校考階段練習）如圖，A，B兩點在數軸上表示的數分別是a，A．ab>0 B．a+b>0C．a?1b+1<0 【答案】B【分析】先根據數軸確定a，【詳解】解：由數軸可得：?1<b<0<1<a，∴ab<0，a+b>0，a?1b+1>0，故選：B．【點睛】本題考查了數軸，解決本題的關鍵是根據數軸確定a，【題型2巧用分配律簡化運算】【例2】（2023春·河南焦作·七年級焦作市實驗中學校考期中）用簡便方法計算：(1)4×(2)?(3)?5×(4)99【答案】(1)2(2)?12(3)0(4)?3599【分析】（1）利用乘法的交換律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆運算求解即可；（4）把原式變形為100?1【詳解】（1）解：原式==?1×=2；（2）解：原式=?=?28+18?2=?12；（3）解：原式==0×=0；（4）解：原式==100×=?3600+=?35991【點睛】本題主要考查了有理數的簡便計算，熟知有理數乘法運算律是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·山西晉中·七年級統考期末）計算?0.125×20×?8×A．乘法交換律 B．乘法分配律C．乘法結合律 D．乘法交換律和乘法結合律【答案】D【分析】解答時，運用了乘法交換律和乘法結合律．【詳解】∵運用的運算律為乘法交換律和乘法結合律，故選D．【點睛】本題考查了用運算律進行有理運算，熟練掌握運算律的使用規律是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·七年級單元測試）用簡便方法計算：(1)913(2)?5×(?3【答案】(1)?296(2)0【分析】（1）先將帶分數拆成整數部分與分數部分的和的形式，然后按照乘法分配律運算法則計算即可；（2）先提公因數?36【詳解】（1）解：9=9+=9×=?270?26=?296（2）解：?5=?5?7+12=0×=0【點睛】本題考查了有理數乘法運算、乘法分配律逆運算，采用合適的運算方法可以使計算簡便，熟練掌握有理數的乘法分配律是解題關鍵．【變式2-3】（2023春·湖南張家界·七年級統考期中）簡便計算：(1)?24×(?(2)(?【答案】(1)2(2)?【詳解】（1）解：?24×(?=?24×?=12?18+8=2（2）(?=6=6==?【點睛】本題考查的是乘法運算律的應用，掌握利用乘法的分配律進行簡便運算是解本題的關鍵．【題型3有理數的乘法與相反數、倒數、絕對值等知識的綜合】【例3】（2023春·海南省直轄縣級單位·七年級校考階段練習）已知a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值是2，求|a+b|+4m?3cd的值．【答案】當m=2時，原式=5，當m=?2時，原式=?11【分析】先根據相反數性質、倒數的定義及絕對值的性質得出a+b=0，cd=1，m=2或?2，然后再分別代入計算即可．【詳解】解：根據題意知a+b=0，cd=1，m=2或?2，當m=2時，原式=4×2?3=5，當m=?2時，原式=4×(?2)?3=?11．綜上，當m=2時，原式=5，當m=?2時，原式=?11．【點睛】本題主要考查了相反數性質、倒數的定義、絕對值的性質等知識點，根據m進行分類討論是解答本題的關鍵．【變式3-1】（2023春·重慶萬州·七年級校聯考階段練習）若a，b互為相反數，c，d互為倒數，|x?4|=3，求cd2x【答案】?131314【分析】根據a，b互為相反數，c，d互為倒數，可得a+b=0，cd=1，即原式可以化簡為：12x?2x，根據|x?4|=3，可得x=7【詳解】∵a，b互為相反數，c，d互為倒數，∴a+b=0，cd=1，即：cd∵|x?4|=3，∴x?4=±3，∴x=7，或者x=1，當x=7時，12x當x=1時，12x即值為：?131314或者【點睛】本題考查有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握相反數，倒數，絕對值等概念和有理數相關運算的法則．【變式3-2】（2023春·吉林白城·七年級統考期中）已知a，b互為相反數，且a≠0，c，d互為倒數，m的絕對值是最小的正整數，求m2【答案】1【分析】根據a、b互為相反數且a≠0，c、d互為倒數，m的絕對值是最小的正整數，得到a+b=0，cd=1，m=1，a≠0【詳解】解：∵a、b互為相反數且a≠0，c、d互為倒數，m的絕對值是最小的正整數，∴a+b=0，cd=1，∴b=?a，m2將a+b=0，cd=1，a=?b，∴m=1??1=1+1?1=1．【點睛】本題考查了相反數，倒數，絕對值的意義，代數式求值等知識，解此題的關鍵是根據題意得出a+b=0，cd【變式3-3】（2023春·貴州遵義·七年級校考階段練習）若a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值為2.(1)求a＋b，cd，m的值；(2)求m+2cd?a+b【答案】（1）a+b=0，cd=1，m=±2；（2）4,0.【分析】（1）根據互為相反數的和為0，互為倒數的積為1，絕對值的意義，即可解答；（2）分兩種情況討論，即可解答．【詳解】(1)∵a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值為2，∴a+b=0，cd=1，m=±2.(2)當m=2時,m+2cd?a+b當m=?2時,m+2cd?a+b故答案為4,0.【點睛】此題考查相反數，絕對值，倒數，解題關鍵在于掌握各性質定義.【題型4關于有理數乘法的新定義問題】【例4】（2023春·江蘇宿遷·七年級泗陽致遠中學校考階段練習）定義一種新運算“※”，對于任意的兩個有理數a，b，a※b=?3ab．(1)若m與?2互為倒數，n與5互為相反數，求m※n的值；(2)求(?3)※[6※(?4)]的值．【答案】(1)?(2)648【分析】（1）由題意得：?2m=1，n+5=0，從而可求得m，n的值，再代入運算即可；（2）根據新定義的運算，再相應的值代入求解即可．【詳解】（1）解：∵m與?2互為倒數，n與5互為相反數，∴?2m=1，n+5=0，解得：m=?12，∴m※n=(?12=?3×(?=?15（2）解：(?3)※[6※(?4)]=(?3)※[?3×6×(?4)]=(?3)※72=?3×(?3)×72=648．【點睛】本題主要考查有理數的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式4-1】（2023春·重慶石柱·七年級重慶市石柱中學校校考階段練習）a，b為有理數，若規定一種新的運算“⊕”：定義a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．請根據“⊕”的定義計算：(1)﹣2⊕4；(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．【答案】(1)﹣25(2)59【分析】（1）根據題目中的定義計算即可；（2）根據題目中的定義和運算順序計算即可．【詳解】（1）解：﹣2⊕4＝（﹣2）×4﹣2×[4﹣（﹣2）]﹣5＝（﹣8）﹣2×（4+2）﹣5＝（﹣8）﹣2×6﹣5＝（﹣8）﹣12﹣5＝﹣25．（2）解：（﹣1⊕1）⊕（﹣7）＝{（﹣1）×1﹣2×[1﹣（﹣1）]﹣5}⊕（﹣7）＝[（﹣1）﹣2×（1+1）﹣5]⊕（﹣7）＝[（﹣1）﹣4﹣5]⊕（﹣7）＝（﹣10）⊕（﹣7）＝（﹣10）×（﹣7）﹣2×[（﹣7）﹣（﹣10）]﹣5＝70﹣2×（﹣7+10）﹣5＝70﹣2×3﹣5＝70﹣6﹣5＝59．【點睛】本題考查有理數的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是能夠用運算法則求新定義．【變式4-2】（2023春·全國·七年級期末）在學習完《有理數》后，小奇對運算產生了濃厚的興趣．對有理數a、b、c，在乘法運算中滿足①交換律：ab=ba；②對加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理數的運算，定義了一種新運算“⊕”，規則如下：(1)求2⊕?1(2)求?3⊕?4⊕(3)試用學習有理數的經驗和方法來探究這種新運算“⊕”是否具有交換律？請寫出你的探究過程．【答案】(1)2(2)24(3)不具有交換律，見解析【分析】（1）根據題目的新運算進行求解即可；（2）根據題意先算括號內新運算，再進行求解即可；（3）根據題意可舉例出一個例子即可求解．【詳解】（1）解：2⊕=2×=?2+4=2；（2）解：?3⊕=?3⊕=?3⊕==30?6=24；（3）不具有交換律，

例如：2⊕=2×=?2+4=2；?1==?2?2=?4，∴2⊕?1∴不具有交換律．【點睛】本題考查了新定義下的運算，解決本題的關鍵是掌握有理數的混合運算．【變式4-3】（2023春·江蘇無錫·七年級校考階段練習）對于有理數a、b，定義運算：a?b＝a×b+|a|﹣b．(1)計算（﹣5）?4的值；(2)求[2?（﹣3）]?4的值；(3)填空：3?（﹣2）______（﹣2）?3（填“＞”或“＝”或“＜”）．【答案】(1)﹣19(2)﹣7(3)＞【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（3）兩式利用題中的新定義計算得到結果，比較即可．【詳解】（1）解：（﹣5）?4＝﹣5×4+|﹣5|﹣4＝﹣20+5﹣4＝﹣19；（2）解：[2?（﹣3）]?4=[2×（-3）+|2|-（-3）]?4＝（﹣6+2+3）?4＝（﹣1）?4=（﹣1）×4+|-1|-4＝﹣4+1﹣4＝﹣7；（3）解：3?（﹣2）=3×（-2）+|3|-（-2）＝﹣6+3+2＝﹣1；（﹣2）?3=（-2）×3+|-2|-3＝﹣6+2﹣3＝﹣7，所以3?（﹣2）＞（﹣2）?3．故答案為：＞．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．【題型5利用有理數的乘法解決實際問題】【例5】（2023春·廣東深圳·七年級深圳市羅湖區翠園東曉中學校考期中）某出租車沿人民路東西方向行駛，如果把人民公園站臺記為0，向東行駛記為正，向西行駛記為負，這輛車從人民公園站臺出發以后行駛的路程如下表（單位：km）序號1234567路程+5?3+10?8?6+12?10(1)這輛車離開出發點最遠是千米；(2)這輛車在上述過程中一共行駛了多少路程？(3)若汽車耗油量為4升/千米，共耗油多少升？【答案】(1)12；(2)54km(3)共耗油216升【分析】（1）分別求出每一次出發點的距離，比較大小即可；（2）將所給的數的絕對值求和，即為總路程；（3）用總路程乘以每公里耗油量，即可求耗油總量．【詳解】（1）解：第一次與出發點的距離為5km第二次與出發點的距離為+5+第三次與出發點的距離為+5+第四次與出發點的距離為+5+第五次與出發點的距離為+5+第六次與出發點的距離為+5+第七次與出發點的距離為+5+∴這輛車離開出發點最遠是12km故答案為：12；（2）解：+5+∴這輛車在上述過程中一共行駛了54km；（3）解：∵54×4=216（升），∴汽車耗油量為3升/千米，共耗油216升．【點睛】本題考查正數與負數，有理數的乘法，能根據具體情境問題，靈活處理正數與負數的運算是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·全國·七年級假期作業）某自行車廠一周計劃生產700輛自行車，平均每天生產100輛，由于各種原因實際每天生產量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產情況（超產為正、減產為負）：星期一二三四五六日增減+5?2?4+13?10+16?9(1)根據記錄可知前四天共生產輛；(2)產量最多的一天比產量最少的一天多生產輛；(3)該廠實行計件工資制，每周生產一輛自行車給工人60元，超額完成任務超額部分每輛再獎15元，少生產一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【答案】(1)412(2)26(3)42675【分析】（1）前四個數據的和加上原計劃每天生產的數量乘以4，即可得解；（2）表格中數據最大的數減去最小的數即可得解；（3）先求出生產自行車的總數量，再根據題意，列出算式進行計算即可．【詳解】（1）解：100×4+5?2?4+13故答案為：412；（2）解：產量最多的一天比產量最少的一天多生產16??10故答案為：26．（3）解：根據圖表信息，本周生產的車輛共計：100×7+5?2?4+13?10+16?9709×60+709?700答：該廠工人這一周的工資總額是42675元．【點睛】本題考查正負數的意義，有理數運算的實際應用．讀懂題意，正確的列出算式，是解題的關鍵．【變式5-2】（2023春·陜西榆林·七年級校考期末）某食堂購進30袋大米，每袋以50千克為標準，超過的記為正，不足的記為負，稱重記錄如下表：與標準重量偏差（單位：千克）?2?10123袋數5103156(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？(2)這30袋大米的總重量比標準總重量多或少了多少千克？(3)大米的單價是每千克5.5元，食堂購進大米總共花了多少錢？【答案】(1)5千克(2)9千克(3)8299.5元【分析】（1）根據表中的數據及題意列式計算，即可求解；（2）根據表中的數據及題意列式計算，即可求解；（3）首先求得大米的總重量，再乘以單價，即可求解【詳解】（1）解：3??2答：這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差5千克（2）解：?2×5+答：這30袋大米的總重量比標準總重量多了9千克（3）解：這30袋大米的總重量為50×30+9=1509（千克），食堂購進大米總共花了1509×5.5=8299.5（元）．答：食堂購進大米總共花了8299.5元．【點睛】本題考查了有理數混合運算的應用，根據題意，準確列出算式是解決本題的關鍵．【變式5-3】（2023·浙江·七年級假期作業）某水果超市最近新進了一批百香果，每斤8元，為了合理定價，在第一周試行機動價格，賣出時每斤以10元為標準，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為負，超市記錄第一周百香果的售價情況和售出情況：星期一二三四五六日每斤價格相對于標準價格（元）+1?2+3?1+2+5?4售出斤數2035103015550(1)第一周超市售出的百香果單價最高的是星期___________，最高單價是___________元；(2)這一周超市出售此種百香果的收益如何？（盈利或虧損的錢數）？(3)超市為了促銷這種百香果，決定從下周一起推出兩種促銷方式：方式一：購買不超過5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售價10元；為了給小明釀百香果蜜，張阿姨決定買35斤百香果，通過計算說明哪種方式購買更省錢．【答案】(1)六；15(2)這一周超市出售此種百香果盈利135元(3)選擇方式一購買更省錢【分析】（1）通過看圖表的每斤價格相對于標準價格，可直接得結論；（2）計算總進價和總售價，比較即可；（3）計算兩種購買方式，比較得結論．【詳解】（1）解：這一周超市售出的百香果單價最高的是星期六，最高單價是10+5=15（元）．故答案為：六；15．（2）解：1×20?2×35+3×10?1×30+2×15+5×5?4×50=?195（元），10?8×?195+330=135（元）；答：這一周超市出售此種百香果盈利135元．（3）解：方式一：35?5×12×0.8+12×5=348方式二：35×10=350（元），∵348<350，∴選擇方式一購買更省錢．【點睛】本題主要考查了正負數的應用及有理數的計算．計算本題的關鍵是看懂圖表，理解圖表．盈利就是總售價大于總進價，虧損就是總售價小于總進價．【知識點有理數除法的法則】①有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.②兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．【題型6巧用分配律進行有理數的四則混合運算】【例6】（2013秋·七年級單元測試）用簡便方法計算：9998【答案】?899【詳解】試題分析：先化99989=1000?解：原式=（1000?19）×（?109）=1000×（?109）考點：有理數的混合運算【變式6-1】（2023春·湖南郴州·七年級校考期中）簡便運算：?1【答案】24【分析】現將除法化為乘法，再利用乘法分配律進行計算即可．【詳解】解：?==?=?8+36?4=24．【點睛】本題考查有理數的四則混合運算，解答的關鍵是熟練掌握運算法則和運算順序，會利用乘法分配律進行簡便運算．【變式6-2】（2023春·七年級課時練習）用簡便方法計算：(1)(-81)÷214-9(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-【答案】(1)?3535【詳解】試題分析：（1）根據除法法則把有理數的除法轉化為乘法，然后計算即可；（2）根據除法法則把有理數的除法轉化為乘法，然后根據有理數的運算法則依次計算即可.試題解析：（1）原式=-81×49+49×116=-36+1（2）原式=1÷［1211×116+3.9÷（-0.45）］=1÷(2-263點睛：本題考查了有理數的混合運算，正確運用有理數的混合運算法則是解題的關鍵.【變式6-3】（2023春·全國·七年級專題練習）小剛在課外書中看到這樣一道有理數的混合運算題：計算：1她發現，這個算式反映的是前后兩部分的和，而這兩部分之間存在著某種關系，利用這種關系，他順利地解答了這道題．（1）前后兩部分之間存在著什么關系？（2）先計算哪步分比較簡便？并請計算比較簡便的那部分．（3）利用（1）中的關系，直接寫出另一部分的結果．（4）根據以上分析，求出原式的結果．【答案】(1)前后兩部分互為倒數；(2)先計算后部分比較簡單；-3；(3)-13；(4)-【分析】(1)根據被除數和除數之間的關系得出互為倒數；(2)根據乘法分配律進行計算得出答案；(3)根據倒數的性質得出答案；(4)根據有理數的加法計算法則得出答案.【詳解】(1)前后兩部分互為倒數；

(2)先計算后部分比較簡便1(3)1(4)原式=?13【題型7利用有理數的四則混合運算解決實際問題】【例7】（2023·浙江·七年級假期作業）有一個水庫某天8:00的水位為?0.1米（以警戒線為基準，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個時刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：0.5，?0.8，0，?0.2，?0.3，0.4．(1)經這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？(2)現在由于下暴雨，水庫水位以0.1米/小時速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現在水庫勻速泄水，可使靜態水位按0.2米/小時速度下降，為達到指揮部最低要求，求水庫需放水的時間．【答案】(1)未超過(2)5小時【分析】（1）求得上述各數的和，然后根據結果與0的大小關系即可作出判斷；（2）根據題意列式求解．【詳解】（1）解：?0.1+0.5?0.8+0?0.2?0.3+0.4=?0.5，答：水庫的水位未超過警戒線．（2）?1??0.5答：水庫需放水5小時．【點睛】本題考查了有理數的混合運算及正負數在實際生活中的應用，根據題意列出算式是解題的關鍵．【變式7-1】（2023·浙江·七年級假期作業）明屹加油站周年慶，開展了加油每滿10L立返現金5元（不足10L不返現金）的活動，出租車司機李師傅只在東西走向的路上開車接送乘客，他7:00從甲地出發（向東行駛的里程數記作正數），到8:00為止，他所行駛的里程記錄如下（單位：公里）+4；?3；?6；+13；?10；?4；+5．(1)計算到8:00時，李師傅在甲地的哪個方向，距甲地多遠？(2)求從7:00開始到8:00為止，李師傅距甲地的最遠距離．(3)若李師傅當日工作至17:00為止，每小時行駛的里程相同，該車每百公里耗油8L，每升油7元，若李師傅今天出車時油箱是滿的，中間沒有加油，收工時想加滿油箱，則李師傅當日在該加油站加油共花費多少元？【答案】(1)李師傅在甲地的西邊1公里位置；(2)李師傅距甲地的最遠距離是8公里；(3)李師傅當日在該加油站加油共花費237元．【分析】（1）將記錄的數字相加得到結果，根據正負即可得到結果；（2）根據幾次的絕對值進行比較即可；（3）將記錄數字絕對值相加，乘以10，得出行駛的公里數，用結果除以100乘8得出耗油的升數，再用升數乘7減3乘5即可得到結果．【詳解】（1）解：4?3?6+13?10?4+5=?1（公里），∴李師傅在甲地的西邊1公里位置；（2）解：第一站離甲地是4公里；第二站離甲地是5?3=1；第三站離甲地是1?6=?5；第四站離甲地是?5+13=8；第五站離甲地是8?10=?2；第六站離甲地是?2?4=?6；第七站離甲地是?6+5=?1；取絕對值可以看出最遠是8公里；（3）解：當日工作至17:00為止，共工作10小時，10×4+3+6+13+10+4+5450÷100×8=36（L），36×7?3×5=237（元）．答：李師傅當日在該加油站加油共花費237元．【點睛】本題考查了正數和負數以及有理數的混合運算，正確理解本題中正數和負數的意義是解答本題的關鍵．【變式7-2】（2023春·廣東佛山·七年級校考階段練習）2022年國慶節期間，若順德長鹿農莊在9月30日的游客人數為3萬人，下表為7天假期中每天接待游客的人數與前一天相比的變化情況(正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數)：日期1日2日3日4日5日6日7日人數變化/萬人+1.7+0.6+0.3?0.3?0.6+0.2?1.1(1)請判斷七天內游客人數最多的是哪天？最少的是哪天？它們相差多少萬人？(2)與9月30日相比，10月7日客流量是上升了還是下降了？變化了多少？(3)求這7天每天平均人數是多少萬人？【答案】(1)游客人數最多的為3日，最少的為7日，這兩天的游客人數相差1.4萬人(2)與9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了0.8萬人(3)這7天每天平均人數4.9萬人【分析】（1）由表知，從10月4日旅游的人數比前一天少，所以10月3日人數最多；10月7日人數最少；10月3日人數減去10月7日人數可得它們相差的人數；（2）由（1）的結論，根據正負數的意義即可求解；（3）分別計算這7天增加的人數，相加，再加上每天的3萬人，可得總人數．【詳解】（1）解：10月1日至7日每天游客與9月30日相比的變化情況是：1日：+1.7（萬人）2日：1.7+0.6=2.3（萬人）3日：2.3+0.3=2.6（萬人）4日：2.6?0.3=2.3（萬人）5日：2.3?0.6=1.7（萬人）6日：1.7+0.2=1.9（萬人）7日：1.9?1.1=0.8（萬人）所以游客人數最多的為3日，最少的為7日，這兩天的游客人數相差2.6?0.8=1.4（萬人）.（2）解：由（1）可知，與9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了0.8萬人（3）這7天的游客總人數是3×7+(1.7+2.3+2.6+2.3+1.7+1.9+0.8)=21+13.3=34.3（萬人）這7天每天平均人數：34.3÷7=4.9（萬人）【點睛】本題考查了正數和負數，有理數加減混合運算的應用，注意正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數，根據題意列出算式是解題的關鍵．【變式7-3】（2023·浙江·七年級假期作業）為鼓勵人們節約用水，某市居民生活用水實行“階梯水價”收費，具體收費標準是：用戶每月用水量在20噸及以內的為第一級水量基數，按一級用水價格收取，超過20噸且不超過30噸的部分為第二級水量基數，按一級用水價格的1.5倍收取，超過30噸的部分為第三級水量基數，按一級用水價格的1.8倍收取．為節約用水，小高記錄了1~7月份他家每月1號的水表讀數．（注：相鄰兩個月同一天的水表讀數之差為上一個月的用水量）1月2月3月4月5月6月7月水表讀數（噸）433450468485500514535(1)填空：小高家1月份的用水量_______噸，1~6月平均每月用水量為_______噸．(2)已知小高家2月份的水費為36元，試求他家6月份需繳納水費多少元？(3)7月份放暑假后，小高的爺爺、奶奶來到家里和小高一起生活，用水量明顯增加，比6月份多用水14噸，試求小高家7月份需繳納水費多少元？【答案】(1)17；17(2)6月份需繳納水費為43元(3)7月份需繳納水費88元【分析】（1）根據題意，用2月的水表讀數減去1月的水表讀數得出1月份的用水量，用7月份的水表讀數減去1月份的水表讀數除以6即可求得1~6月平均每月用水量；（2）根據題意，2月份的水費按一級用水價格收取，根據題意求得一級用水的價格與二級用水的價格，進而根據表格求得6月份用水量，即可求解；（3）根據題意得出7月份的用水超過30噸，則按照一、二、三級的水費進行計算即可求解．【詳解】（1）解：小高家1月份的用水量450?433=17噸；1~6月平均每月用水量為535?433÷6=17故答案為：17；17．（2）解：∵小高家2月份用水量為：468?450=18<20，∴一級用水的價格為36÷18=2元/噸；二級用水的價格為1.5×2=3元/噸；∴他家6月份用水量為：535?514=21噸，∵21>20，∴6月份需繳納水費為20×2+1×3=43元．（3）解：根據題意：三級用水的價格為2×1.8=3.6元/噸，7月用水：21+14=35（噸）20×2+10×3+5×3.6=88（元）∴7月份需繳納水費88元．【點睛】本題考查了有理數的混合運算的應用，根據題意列出算式是解題的關鍵．【題型8巧用倒數解有關有理數除法的問題】【例8】（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下列材料：計算50÷(1解法一：原式＝50÷1解法二：原式＝50÷(412?解法三：原式的倒數為(＝(1故原式＝300．上述得出的結果不同，肯定有錯誤的解法，你認為解法______是錯誤的．請你選擇合適的解法解答下列問題：計算：(?1【答案】一；?【分析】根據有理數的除法，可轉化成有理數的乘法，可得答案；根據有理數的運算順序，先算括號里面的，再算有理數的除法，可得答案．【詳解】解：沒有除法分配律，故解法一錯誤；故答案為：一．原式＝?＝?＝?1【點睛】本題考查了有理數的除法，先算括號里面的，再算有理數的除法，注意沒有除法分配律．【變式8-1】（2023·江蘇·七年級假期作業）閱讀下題的計算方法：計算：?分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值．解：2所以原式=?根據材料提供的方法，嘗試完成下面的計算：?【答案】125【分析】根據閱讀材料先計算所求式子的倒數，從而得出原式的結果．【詳解】解：?==5+8?18+30=25，所以，原式=1【點睛】本題是閱讀材料問題，考查了有理數的混合運算和對閱讀材料問題的運用，掌握運算順序，正確判定符號計算是關鍵．【變式8-2】（2023春·遼寧鞍山·七年級階段練習）閱讀下列材料，并解答問題：材料一：乘積為1的兩個數互為倒數，如ab和ba，即若設a:b=x，則材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；利用上述材料，請用簡便方法計算：(?1【答案】-1【分析】根據所給材料，先算(13?【詳解】先計算原式的倒數：(13=(13=-20+15-5=-10，所以原式=?1【點睛】本題考查了有理數的除法，解答本題的關鍵是看懂材料，靈活運用運算律簡便計算．【變式8-3】（2023春·福建泉州·七年級校聯考期中）利用倒數的意義完成計算：?【答案】1【分析】先計算?1【詳解】解：∵?==?=12?16+18=14．∴?1【點睛】本