2025屆福建省泉山市臺商投資區數學九上期末聯考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．若關于x的一元一次不等式組的解集是xa，且關于y的分式方程有非負整數解，則符合條件的所有整數a的和為（）A．0 B．1 C．4 D．62．如圖，是的直徑，點是延長線上一點，是的切線，點是切點，，若半徑為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．3．已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（）A．4 B．2 C．1 D．﹣44．下列敘述，錯誤的是（）A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形B．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對角線相等的四邊形是矩形5．“一般的，如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根．——蘇科版《數學》九年級（下冊）P21”參考上述教材中的話，判斷方程x2﹣2x=﹣2實數根的情況是（）A．有三個實數根 B．有兩個實數根 C．有一個實數根 D．無實數根6．如圖4，兩個正六邊形的邊長均為1，其中一個正六邊形的一邊恰在另一個正六邊形的對角線上，則這個圖形（陰影部分）外輪廓線的周長是A．7 B．8 C．9 D．107．一元二次方程mx2+mx﹣＝0有兩個相等實數根，則m的值為（）A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．28．二次函數y＝a(x﹣m)2﹣n的圖象如圖，則一次函數y＝mx+n的圖象經過()A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限9．如圖，A、B是曲線上的點，經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，若S陰影＝1則S1+S2=()A．4 B．5 C．6 D．810．估計，的值應在()A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間11．要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5，6，9，另一個三角形的最長邊長為4.5，則它的最短邊長是（）A． B． C． D．12．運動會的領獎臺可以近似的看成如圖所示的立體圖形，則它的左視圖是（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，PA、PB分別切⊙O于點A、B，若∠P=70°，則∠C的大小為（度）．14．在平面直角坐標系中，點P的坐標為（﹣4，0），半徑為1的動圓⊙P沿x軸正方向運動，若運動后⊙P與y軸相切，則點P的運動距離為______．

15．已知菱形中，，，邊上有點點兩動點，始終保持，連接取中點并連接則的最小值是_______．16．如果，那么__________．17．在一個不透明的布袋里裝有若干個只有顏色不同的紅球和白球,其中有3個紅球,且從布袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是三分之一,則白球的個數是______18．如圖，在中，，，點在邊上，，．點是線段上一動點，當半徑為的與的一邊相切時，的長為____________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，拋物線交軸于兩點，與軸交于點，連接．點是第一象限內拋物線上的一個動點，點的橫坐標為．(1)求此拋物線的表達式；(2)過點作軸，垂足為點，交于點．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)過點作，垂足為點．請用含的代數式表示線段的長，并求出當為何值時有最大值，最大值是多少？20．（8分）如圖，已知一次函數y1＝ax+b的圖象與x軸、y軸分別交于點D、C，與反比例函數y2＝的圖象交于A、B兩點，且點A的坐標是（1，3）、點B的坐標是（3，m）．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）求C、D兩點的坐標，并求△AOB的面積；（3）根據圖象直接寫出：當x在什么取值范圍時，y1＞y2？21．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，動點P在線段上以每秒2個單位長度的速度由點運動到點停止，設運動時間為，過點作軸的垂線，交直線于點,交拋物線于點．連接，是線段的中點，將線段繞點逆時針旋轉得線段．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，當為何值時，面積有最大值，最大值是多少？（3）當為何值時，點落在拋物線上．22．（10分）如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的條件下，求線段BC掃過的面積（結果保留π）．23．（10分）如圖，一次函數y=-x+b的圖象與反比例函數（x>0）的圖象交于點A（m,3）和B（3,n）.過A作AC⊥x軸于C，交OB于E，且EB=2EO（1）求一次函數和反比例函數解析式（2）點P是線段AB上異于A，B的一點，過P作PD⊥x軸于D，若四邊形APDC面積為S，求S的取值范圍.24．（10分）某商店經銷一種學生用雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元，市場調查發現，這種雙肩包每天的銷售量(個)與y銷售單價x(元)有如下關系:，設這種雙肩包每天的銷售利潤為w元．(1)這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?(2)如果物價部門規定這種雙肩包的銷售單價不高于42元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元?25．（12分）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．（1）求k的取值范圍．（2）請選擇一個k的負整數值，并求出方程的根．26．如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接交于點，則的面積與的面積之比為多少？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解析】先解關于x的一元一次不等式組，再根據其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根據其有非負整數解，同時考慮增根的情況，得出a的值，再求和即可.【詳解】解：由不等式組，解得：∵解集是x≤a，∴a<5；由關于的分式方程得得2y-a+y-4=y-1又∵非負整數解，∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此時分式方程為增根），a=1，a=3它們的和為1.故選：B.【點睛】本題綜合考查了含參一元一次不等式，含參分式方程的問題，需要考慮的因素較多，屬于易錯題.2、B【分析】連接OC，求出∠COD和∠D，求出邊DC長，分別求出三角形OCD的面積和扇形COB的面積，即可求出答案．【詳解】連接OC，

∵AO=CO，∠CAB=30°，

∴∠COD=2∠CAB=60°，

∵DC切⊙O于C，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠D=90°-∠COD=90°-60°=30°，

在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=4，∴，∴陰影部分的面積是:故選：B．【點睛】本題考查了扇形的面積，三角形的面積的應用，還考查了等腰三角形性質，三角形的內角和定理，切線的性質，解此題的關鍵是求出扇形和三角形的面積．3、A【分析】根據方程有兩個相等的實數根結合根的判別式即可得出關于的一元一次方程，解方程即可得出結論．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數根，∴，解得：．故選A．【點睛】本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，由方程有兩個相等的實數根結合根的判別式得出關于的一元一次方程是解題的關鍵．4、D【分析】根據菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四邊形的判定方法分別分析即可得出答案．【詳解】解：A、根據對角線互相垂直的平行四邊形可判定為菱形，再有對角線且相等可判定為正方形，此選項正確，不符合題意；B、根據菱形的判定方法可得對角線互相垂直平分的四邊形是菱形正確，此選項正確，不符合題意；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是判斷平行四邊形的重要方法之一，此選項正確，不符合題意；D、根據矩形的判定方法：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，因此只有對角線相等的四邊形不能判定是矩形，此選項錯誤，符合題意；選：D．【點睛】此題主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四邊形的判定，關鍵是需要同學們準確把握矩形、菱形正方形以及平行四邊形的判定定理之間的區別與聯系．5、C【解析】試題分析：由得，，即是判斷函數與函數的圖象的交點情況.因為函數與函數的圖象只有一個交點所以方程只有一個實數根故選C.考點：函數的圖象點評：函數的圖象問題是初中數學的重點和難點，是中考常見題，在壓軸題中比較常見，要特別注意.6、B【解析】解：∵個正六邊形的一邊恰在另一個正六邊形的對角線上，∴它的一半是60°，它的鄰補角也是60°，∴上面的小三角形是等邊三角形，∴上面的（陰影部分）外輪廓線的兩小段和為1，同理可知下面的（陰影部分）外輪廓線的兩小段和為1，故這個圖形（陰影部分）外輪廓線的周長是1．故選B．7、C【解析】由方程有兩個相等的實數根，得到根的判別式等于0，求出m的值，經檢驗即可得到滿足題意m的值．【詳解】∵一元二次方程mx1+mx﹣＝0有兩個相等實數根，∴△＝m1﹣4m×（﹣）＝m1+1m＝0，解得：m＝0或m＝﹣1，經檢驗m＝0不合題意，則m＝﹣1．故選C．【點睛】此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數根．8、A【解析】由拋物線的頂點坐標在第四象限可得出m＞0，n＞0，再利用一次函數圖象與系數的關系，即可得出一次函數y＝mx+n的圖象經過第一、二、三象限．【詳解】解：觀察函數圖象，可知：m＞0，n＞0，∴一次函數y＝mx+n的圖象經過第一、二、三象限．故選A．【點睛】本題考查了二次函數的圖象以及一次函數圖象與系數的關系，牢記“k＞0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、三象限”是解題的關鍵．9、D【分析】B是曲線上的點，經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段圍成的矩形面積都是5，從而求出S1和S2的值即可【詳解】∵A、B是曲線上的點，經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段圍成的矩形面積都是5，,∵S陰影＝1，∴S1=S2=4，即S1+S2=8，故選D【點睛】本題主要考查反比例函數上的點向坐標軸作垂線圍成的矩形面積問題，難度不大10、B【解析】先根據二次根式的乘法法則化簡，再估算出的大小即可判斷.【詳解】解：，，故的值應在2和3之間.故選：B.【點睛】本題主要考查了無理數的估算，正確估算出的范圍是解答本題的關鍵．11、B【分析】根據題意可得出兩個三角形相似，利用最長邊數值可求出相似比，再用三角形的最短邊乘以相似比即可．【詳解】解：由題意可得出：兩個三角形的相似比為：，所以另一個三角形最短邊長為：．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的相似比，根據題目求出兩個三角形的相似比是解此題的關鍵．12、D【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【詳解】解：由左視圖的定義知該領獎臺的左視圖如下：故選D．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，注意看不到的線用虛線表示．二、填空題（每題4分，共24分）13、55【分析】連接OA，OB，根據圓周角定理可得解.【詳解】連接OA，OB，∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°．∴．∴∠C和∠AOB是同弧所對的圓周角和圓心角，∴∠C=∠AOB=55°．14、3或1【解析】利用切線的性質得到點P到y軸的距離為1，此時P點坐標為（-1，0）或（1，0），然后分別計算點（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距離即可．【詳解】若運動后⊙P與y軸相切，則點P到y軸的距離為1，此時P點坐標為（-1，0）或（1，0），而-1-（-4）=3，1-（-4）=1，所以點P的運動距離為3或1．故答案為3或1．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．15、1【分析】過D點作DH⊥BC交BC延長線與H點，延長EF交DH與點M，連接BM．由菱形性質和可證明，進而可得，由BM最小值為BH即可求解．【詳解】解：過D點作DH⊥BC交BC延長線與H點，延長EF交DH與點M，連接BM．∵在菱形中，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴當BM最小時FG最小，根據點到直線的距離垂線段最短可知，BM的最小值等于BH，∵在菱形中，，∴又∵在Rt△CHD中，，∴，∴，∴AM的最小值為6，∴的最小值是1．故答案為：1．【點睛】本題考查了動點線段的最小值問題，涉及了菱形的性質、等腰三角形性質和判定、垂線段最短、中位線定理等知識點；將“兩動點”線段長通過中位線轉化為“一定一動”線段長求解是解題關鍵．16、【解析】∵，根據和比性質，得==，故答案為.17、6【分析】設白球的個數是x個，根據列出算式，求出x的值即可.【詳解】解：設白球的個數是x個，根據題意得：解得：x=6.故答案為6.【點睛】本題考查了概率的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.18、或或【分析】根據勾股定理得到AB、AD的值，再分3種情況根據相似三角形性質來求AP的值．【詳解】解：∵在中，，，，∴AD=在Rt△ACB中，，，，∴CB=6+10=16∵AB2=AC2+BC2AB=①當⊙P與BC相切時,設切點為E,連結PE,則PE=4，∠AEP=90°∵AD=BD=10∴∠EAP=∠CBA,∠C=∠AEP=90°∴△APE∽△ACB②當⊙P與AC相切時，設切點為F，連結PF,則PF=4，∠AFP=90°∵∠C=∠AFP=90°∠CAD=∠FAP∴△CAD∽△FAP③當⊙P與BC相切時，設切點為G，連結PG,則PG=4，∠AGP=90°∵∠C=∠PGD=90°∠ADC=∠PDG∴△CAD∽△GPD故答案為：或或5【點睛】本題考查了利用相似三角形的性質對應邊成比例來證明三角形邊的長.注意分清對應邊，不要錯位．三、解答題（共78分）19、(1)；(2)存在，或；；(3)當時，的最大值為：．【解析】(1)由二次函數交點式表達式，即可求解；(2)分三種情況，分別求解即可；(3)由即可求解．【詳解】解：(1)由二次函數交點式表達式得：，即：，解得：，則拋物線的表達式為；(2)存在，理由：點的坐標分別為，則，將點的坐標代入一次函數表達式：并解得：…①，同理可得直線AC的表達式為：，設直線的中點為，過點與垂直直線的表達式中的值為，同理可得過點與直線垂直直線的表達式為：…②，①當時，如圖1，則，設：，則，由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)，故點；②當時，如圖1，，則，則，故點；③當時，聯立①②并解得：(舍去)；故點Q的坐標為：或；(3)設點，則點，∵，∴，，∵，∴有最大值，當時，的最大值為：．【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．20、（1）y1＝，y1＝﹣x+4；（1）4；（3）當x滿足1＜x＜3、x＜2時，則y1＞y1．【分析】（1）把點A（1，3）代入y1＝，求出k，得到反比例函數的解析式；再把B（3，m）代入反比例函數的解析式，求出m，得到點B的坐標，把A、B兩點的坐標代入y1=ax+b，利用待定系數法求出一次函數的解析式；

（1）把x=2代入一次函數解析式，求出y1=4，得到C點的坐標，把y1=2代入一次函數解析式，求出x=4，得到D點坐標，再根據S△AOB=S△AOD-S△BOD，列式計算即可；

（3）找出一次函數落在反比例函數圖象上方的部分對應的自變量的取值即可．【詳解】解：（1）把點A（1，3）代入y1＝，則3＝，即k＝3，故反比例函數的解析式為：y1＝．把點B的坐標是（3，m）代入y1＝，得：m＝＝1，∴點B的坐標是（3，1）．把A（1，3），B（3，1）代入y1＝ax+b，得，解得，故一次函數的解析式為：y1＝﹣x+4；（1）令x＝2，則y1＝4；令y1＝2，則x＝4，∴C（2，4），D（4，2），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×3﹣×4×1＝4；（3）由圖像可知x＜2、1＜x＜3時，一次函數落在反比例函數圖象上方，故滿足y1＞y1條件的自變量的取值范圍：1＜x＜3、x＜2．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數的解析式，函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，難度適中．利用了數形結合思想．21、（1）；（2）當時，面積的最大值為16；（3）【分析】（1）用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）先用待定系數法求出直線AB的解析式，然后根據點P的坐標表示出Q,D的坐標，進一步表示出QD的長度，從而利用面積公式表示出的面積，最后利用二次函數的性質求最大值即可；（3）分別過點作軸的垂線，垂足分別為，首先證明≌，得到，然后得到點N的坐標，將點N的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范圍．【詳解】（1）∵拋物線過點，∴解得所以拋物線的解析式為：；（2）設直線AB的解析式為，將代入解析式中得,解得∴直線AB解析式為．∵，，∴，∴，∴當時，面積的最大值為16；（3）分別過點作軸的垂線，垂足分別為，．在和中，，∴≌，∴．∵，．當點落在拋物線上時，.∴,，∴．【點睛】本題主要考查二次函數與幾何綜合，掌握待定系數法，全等三角形的判定及性質，二次函數的性質是解題的關鍵．22、（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）2π.【分析】（1）利用軸對稱的性質畫出圖形即可；（2）利用旋轉變換的性質畫出圖形即可；（3）BC掃過的面積=，由此計算即可；【詳解】（1）△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1如圖所示；（2）△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2如圖所示；（3）BC掃過的面積===2π．【點睛】本題考查了利用軸對稱和旋轉變換作圖，扇形面積公式等知識，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．23、（1）y=-x+4，，（2）0<S<4【分析】（1）由得：，由點橫坐標為3得點的橫坐標為1，將點代入解析式即可求得答案；

（2）設P的坐標為，由于點P在線段AB上，從而可知，，由題