2024屆高考數學精英模擬卷【新結構版】【滿分：150分】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，且，則()A. B. C. D.82.已知復數z滿足，則復數z的虛部為()A.i B.1 C. D.3.下表是關于某設備的使用年限x（單位：年）和所支出的維修費用y（單位：萬元）的統計表：x23456y3.44.25.15.56.8由上表數據求得線性回歸方程，若規定：維修費用y不超過10萬元，一旦大于10萬元時，該設備必須報廢.據此模型預測，該設備使用年限的最大值約為()A.8 B.9 C.10 D.114.規定：在整數集Z中，被7除所得余數為k的所有整數組成一個“家族”，記為，即，，給出如下四個結論：①；②；③若整數a，b屬于同一“家族”，則；④若，則整數a，b屬于同一“家族”.其中，正確結論的個數是()A.1 B.2 C.3 D.45.已知正實數a，b滿足，若不等式對任意正實數a，b以及任意實數x恒成立，則實數m的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度得函數的圖象，若在上有兩個不同的根，（），則的值為()A. B. C. D.7.已知圓柱的下底面圓的內接正三角形ABC的邊長為6，P為圓柱上底面圓上任意—點，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的表面積為()A. B. C. D.8.已知圓與圓交于A，B兩點，且四邊形OACB的面積為3r，則()A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為第一象限角，為第三象限角，且，，則的值可能為()A. B. C. D.10.已知，下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.11.已知M，N是拋物線上兩點，焦點為F，拋物線上一點到焦點F的距離為，下列說法正確的是()A.B.若，則直線MN恒過定點C.若的外接圓與拋物線C的準線相切，則該圓的半徑為D.若，則直線MN的斜率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則___________.13.已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為______.14.已知數列的通項公式為.若對于任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）證明：當時，.16.（15分）如圖，在四面體ABCD中，，，，E為AC的中點.（1）證明：平面平面ACD；（2）設，，點F在BD上，當的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.17.（15分）以雙曲線的右焦點F為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點.（1）求C的方程.（2）在x軸上是否存在定點M，過點M任意作一條不與坐標軸垂直的直線l，當l與C交于A，B兩點時，直線，的斜率之和為定值？若存在，求出M點的坐標，若不存在，說明理由.18.（17分）現有紅、綠、藍三種顏色的箱子，其中紅箱中有4個紅球，2個綠球，2個藍球；綠箱中有2個紅球，4個綠球，2個藍球；藍箱中有2個紅球，2個綠球，4個藍球，所有球的大小、形狀、質量完全相同.第一次從紅箱中隨機抽取一球，記錄顏色后將球放回去；第二次要從與第一次記錄顏色相同的箱子中隨機抽取一球，記錄顏色后將球放回去；以此類推，第次是從與第k次記錄顏色相同的箱子中隨機抽取一球，記錄顏色后放回去，記第n次取出的球是紅球的概率為.（1）求第3次取出的球是藍球的概率；（2）求的解析式.19.（17分）設是定義在R上的函數，若存在區間和，使得在上嚴格減，在上嚴格增，則稱為“含谷函數”，為“谷點”，稱為的一個“含谷區間”.（1）判斷下列函數中，哪些是含谷函數？若是，請指出谷點；若不是，請說明理由：（i），（ii）；（2）已知實數，是含谷函數，且是它的一個含谷區間，求m的取值范圍；（3）設p，，.設函數是含谷函數，是它的一個含谷區間，并記的最大值為.若，且，求的最小值.

答案以及解析1.答案：C解析：由題意，得，解得，所以，所以.故選C.2.答案：D解析：設復數，，又，可得，解得，所以復數z的虛部為.故選D.3.答案：C解析：，，因為過點，所以，即.所以回歸方程為.由題意得，解得.又因為，所以該設備使用年限的最大值約為10.故選C.4.答案：C解析：因為，所以，故①正確；因為，所以，故②錯誤；若a與b屬于同一“家族”，則，，(其中)，故③正確；若，設，則，不妨令，，則(，)，所以a與b屬于同一“家族”，故④正確.選C.5.答案：C解析：由題意得對任意實數a，b以及任意實數x恒成立.由已知條件及基本不等式，得，當且僅當，即，時等號成立.又，所以，則.因此實數m的取值范圍是.故選C.6.答案：D解析：設的最小正周期為T，由圖象可知，，所以，則，于是，又的圖象過點，所以，，所以，又，則，，則，由，得，則，又當時，，所以，得，則，，結合知，所以，所以.故選D.7.答案：B解析：如圖，因為是邊長為6的正三角形，則其外接圓的半徑，解得，又，設圓柱的母線長為l，則，解得，所以圓柱的外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故選B.8.答案：C解析：如圖所示，圓C的標準方程為，圓心為，半徑為3，由題意可知，，，，所以，所以，所以.設，則M為AB的中點，故四邊形OACB的面積，則，故，所以，所以，又因為，所以，解得，因此，.故選C.9.答案：CD解析：因為為第一象限角，所以，，所以，.又，所以是第二象限角，所以.因為為第三象限角，所以，，所以，，又，所以是第二象限角或第三象限角.當是第二象限角時，，此時；當是第三象限角時，，此時.10.答案：AB解析：令，，則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以當時，，即，A正確；令，，則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以當時，，即，B正確；令，，則，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，因此當時，與的大小不能確定，C錯誤；當時，，，D錯誤.11.答案：AD解析：根據拋物線的定義知，得，故A選項正確；設，，因為直線MN斜率必存在，設直線MN的方程為，代入得，，，，所以，解得，所以直線MN恒過定點，故B選項錯誤；外接圓圓心的縱坐標為，外接圓半徑為，故C選項錯誤；因為，所以直線MN過焦點F，且，設直線MN的傾斜角為，由拋物線性質知MN的斜率為互為相反數的兩個值，如圖，過M，N分別向準線作垂線MA，NB，過N向MA作垂線NC，設，則，，，，，，，故D選項正確.故選AD.12.答案：256解析：的展開式的通項為，所以，，，，，則，令，得.13.答案：解析：由，得A為線段的中點，且點P在橢圓外，所以，則，又，所以為線段的中點，所以，設，則，又，所以，由橢圓的定義可知：，得，如圖，延長交橢圓C于點Q，連接，則由橢圓的對稱性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以橢圓C的離心率為.故答案為：.14.答案：解析：由，得，所以.設，則.設，則，令，解得，即在上單調遞增，令，解得，即在上單調遞減，又，，，所以當時，，即，所以.當，2時，，即，所以.綜上，，所以，即，所以的取值范圍為.15.答案：（1）見解析（2）證明見解析解析：（1）由，得，①當時，，在R上單調遞減；②當時，令，得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.（2）證明：由（1）知，當時，，要證當時，，可證，因為，即證.設，則，令，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，所以，即，所以當時，.16.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：在中，，E為AC的中點，.在與中，，，，，，又E為AC的中點，，又，，平面，平面BED，又平面ACD，平面平面.（2）由（1）知是等腰三角形，又，為等邊三角形，，，在等腰中，，又，，以E為原點，EA，EB，ED所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，連接EF，則，，，，，，設平面ABD的法向量為，則令，得，易知的面積最小時，，在中，由知，，，，，，易得，設CF與平面ABD所成的角為，則，與平面ABD所成的角的正弦值為.17.答案：（1）（2）存在滿足條件的定點解析：（1）雙曲線C的漸近線方程為，圓F與直線切于點，所以代入得，①設，直線FQ有斜率，則，即，②又，③由①②③解得，，，所以雙曲線C的方程為.（2）假設存在滿足條件的定點，因為直線l不與坐標軸垂直，故設l的方程為，，.由消去x整理得，則即，且，因為，所以直線，的斜率為，.設（為定值），即，即，即，整理得，所以，所以.因為t，為定值，且上式對任意m恒成立，所以，解得，.將代入式解得或且.綜上，存在滿足條件的定點.18.答案：（1）（2）解析：（1）分別設第次取出紅球、綠球和籃球的概率為：、和，其中，，由題意知：，，，若第k次取出紅球，且第次取出藍球的概率為：，若第k次取出綠球，且第次取出藍球的概率為：，若第k次取出藍球，且第次取出藍球的概率為：，所以第次取出藍球的概率為：，由于，可得：，若設數列，上式即為：，配湊為：，，其中，數列是一個以為首項，為公比的等比數列，則，則，即，即第3次取出的球是藍球的概率為：.（2）同上，分別設第次取出紅球、綠球和籃球的概率為：、和，其中，，由題意知：，，，若第k次取出紅球，且第次取出紅球的概率為：，若第k次取出綠球，且第次取出紅球的概率為：，若第k次取出藍球，且第次取出紅球的概率為：，所以第次取出紅球的概率為：，由于，可得：，由已知，記第n次取出的球是紅球的概率為，上式即為，有，，其中，，數列是一個以為首項，為公比的等比數列，則，的解析式為：.19.答案：（1）是含谷函數，谷點；不是含谷函數，證明見解析（2）（3）解析：（1）函數，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以是含谷函數，谷點；函數，求導恒成立，函數單調遞增，所以不是含谷函數.（2）由題意可知函數在區間內先減后增，且存在谷點，令，所以，設，所以，由可知恒成立，所以在區間上單調遞增，若滿足谷點，