8.1.2樣本相關系數

課標要求素養要求

1.結合實例，會通過相關系數比較多組

成對數據的相關性.通過學習樣本相關系數，提升數學抽象

2.了解樣本相關系數與標準化數據向量及數據分析素養.

夾角的關系.

課前預習知識探究

新知探究

A情境引入

散點圖可以說明變量間有無線性相關關系，但無法量化兩個變量之間的相關程

度的大小，更不能精確地說明成對樣本數據之間關系的密切程度，那么我們如何

才能尋找到這樣一個合適的量來對樣本數據的相關程度進行定量分析呢？

問題若樣本系數/?=0.97,則成對樣本數據的相關程度如何?

提示r=0.97,表明成對樣本數據正線性相關程度很強.

??知識梳理

1.相關系數尸的計算

注意：相關系數是研究變量之間線性相關程度的量

假設兩個隨機變量的數據分別為（尤1，）1）,（如”），…，（羽，泗），對數據作進一

步的“標準化處理”處理，用5-32,Sy=4E（?—1）2分別

除為一光和y—V（i=l，2,…，n,光和y分另U為x”及，…，x”和yi,丁2，…，yn

/

的均值），得&二二X。X2一犬)；2—y包二二,為簡單起見,

<SxSy）<SiSy)

把上述“標準化”處理后的成對數據分別記為（X/,>/）,（X2',R），…，（%',yJ），

則變量x和變量y的樣本相關系數r的計算公式如下：

=：(為'+尤2'>2'H--------FX?>,/)

E(xf—x)Cyi~y)

z=i

￡Cyi-y)

2.相關系數/?的性質

（1）當r>0時，稱成對樣本數據正相關；當r<0時，成對樣本數據負相關；當r

=0時，成對樣本數據間沒有線性相關關系.

（2）樣本相關系數r的取值范圍為「一1,1］.

當團越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；

當|廠|越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱.

3.樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系

r=%'j'=5x'||y'|cos0=cos。（其中x'=（xi',及'，…，xj）,y'=bi'，>2'，…，yJ），

=尸血，。為向量x'和向量V的夾角）.

拓展深化

［微判斷］

1.回歸分析中，若「=±1說明x,y之間具有完全的線性關系.（J）

2.若;■=（）,則說明成對樣本數據間是函數關系.（X）

提示若r=0,則說明成對樣本數據間沒有線性相關關系.

3.樣本相關系數r的范圍是re（—8,4-oo）.（X）

提示樣本相關系數的范圍是［-1,1］.

［微訓練］

1.下面對相關系數/?描述正確的是（）

A.「>0表明兩個變量負相關

B.r>1表明兩個變量正相關

C.r只能大于零

D.|r|越接近于0,兩個變量相關關系越弱

解析因r>0表明兩個變量正相關，故A錯誤；又因re[-l,1],故B,C錯

誤；兩個變量之間的相關系數「的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關

性越強，「的絕對值越接近于0,表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關，故D

正確.

答案D

2.（多選題）下面的各圖中，散點圖與相關系數「符合的是（）

解析因為相關系數「的絕對值越接近1,線性相關程度越高，且r>0時正相關,

rVO時負相關，故觀察各選項，易知B不符合，A,C,D均符合.故選ACD.

答案ACD

[微思考]

當r=l或一1時，兩個變量的相關性如何？

提示當r=l時，兩個變量完全正相關；當r=—1時，兩個變量完全負相關.

■■■課堂互動:題型剖析刪

題型一線性相關性的檢驗

【例1】現隨機抽取了某中學高一10名在校學生，他們入學時的數學成績共分）

與入學后第一次考試的數學成績y（分）如下：

學生號12345678910

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

請問：這10名學生的兩次數學成績是否具有線性相關關系？

解^=7O(12O+1O8H---F99+108)=107.8,

一1

y=/84+64H---F57+71)=68,

歲?=12()2+1082H---F992+1082=116584,

10

gy?=842+642H——F572+712=47384,

10

120X84+108X64+-+99X57+108X71

=73796.

所以相關系數為r=

__________73796—10X107.8X68__________

yj（116584-10X107.82）（47384-10X682）

-0.7506.

由此可看出這10名學生的兩次數學成績具有線性相關關系.

規律方法利用相關系數r判斷線性相關關系，需要應用公式計算出r的值，由

于數據較大，需要借助計算器.

【訓練1】假設關于某種設備的使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）有如

下統計資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

555

已知卻”90,140.78,旦孫=112.3.

(1)求x,y；

⑵對x,y進行線性相關性檢驗.

?-2+3+4+5+6

解(l)x=-------------=4.

2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

尸5=5.

(2)*"—5x(=112.3-5X4X5=12.3,

5一

玄/一5/=90—5X42=10,

5一

,5)^-5/=140.78-125=15.78,

所以r=123^0.979.

41r0X15.78

所以無與y之間具有很強的線性相關關系.

題型二判斷線性相關的強弱

［例2］維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標“縮醛化度”y來衡量，這

個指標越高，耐水性能也越好，而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生產

中常用甲醛濃度M克/升）去控制這一指標，為此必須找出它們之間的關系，現安

排一批實驗，獲得如下數據.

甲醛濃

18202224262830

度X

縮醛化

26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36

度任）

求樣本相關系數/?并判斷它們的相關程度.

解列表如下

iXiVXT1孫

11826.86324721.4596483.48

22028.35400803.7225567

32228.75484826.5625632.5

42428.87576833.4769692.88

52629.75676885.0625773.5

62830.00784900840

73030.36900921.7296910.80

￡168202.9441445892.01364900.16

168…-202.94

元=7=24,y~,

7--

.孫一7xy

1=1

士"記，產-7V

20294

4900.16-7X24X—y-

(202.94)2

小144—7X242、5892.0136-7XI

-0.96.

由此可知，甲醛濃度與縮醛化度之間有很強的正線性相關關系.

規律方法當相關系數m越接近1時，兩個變量的相關關系越強，當相關系數M

越接近o時，兩個變量的相關關系越弱.

【訓練2】以下是收集到的新房屋的銷售價格M萬元)和房屋的大小Mm2)的數

據.

房屋大小Jc/m211511080135105

銷售價格W萬元24.821.618.429.222

⑴畫出數據的散點圖；

(2)求相關系數r,并作出評價.

解(1)圖略.

(2)列表如下:

iXiVxi貨孫

111524.813225615.042852

211021.612100466.562376

38018.46400338.561472

413529.218225852.643942

510522110254842310

￡545116609752756.812952

545

元=^——109)

5

￡孫一5Xy

z=1

X第一￡yj—5y2

_________12952—5X109X23.2_______

-^60975-5X109^2756.8-5X23.22

=^1570X^65.6%0-96,

由此可知，新房屋的銷售價格和房屋的大小之間有很強的正線性相關關系.

素養達成逐步落實

一'素養落地

1.通過本節課的學習，進一步提升數學抽象及數據分析素養.

2.判斷變量之間的線性相關關系，一般用散點圖，但在作圖中，由于存在誤差,

有時很難判斷這些點是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個變量之間

是否具有線性相關關系，此時就可利用線性相關系數來判斷.

3.|“越接近1,它們的散點圖越接近一條直線，兩個變量之間的相關關系越強.

二、素養訓練

1.兩個變量之間的相關程度越低，則其線性相關系數的數值（）

A.越小B.越接近1

C.越接近0D.越接近一1

解析由相關系數的性質知選C.

答案c

2.給定〉與x的一組樣本數據，求得相關系數廠=-0.690,則（）

A.y與x線性不相關B.y與x正線性相關

C.y與無負線性相關D.以上都不對

解析因為r=-0.690<0,所以y與x負線性相關.

答案C

3.（多選題）下列說法正確的是（）

A.變量間的關系是非確定性關系，因此因變量不能由自變量唯一確定

B.線性相關系數可以是正的或負的

C.如果廠=±1,說明x與y之間完全線性相關

D.線性相關系數re（—1,1）

解析???相關系數mwi,

.??D錯誤.

答案ABC

4.某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據：

X681012

y2356

已知記憶力x和判斷力y是線性相關的，求相關系數r.

解列表如下

iXiyi孫

16236412

28364924

31051002550

41261443672

￡361634474158

尸彳=9,y-=4,

4--

昌“"4a-V158-4X9X4

，r=—/“―/“=/—/=七0.99.

課后作業鞏固提高

基礎達標

一'選擇題

1.已知某產品產量與產品單位成本之間的線性相關系數為-0.97,這說明二者之

間存在著（）

A.高度相關B.中度相關

C.弱度相關D.極弱相關

解析由1-0.97|比較接近1知選A.

答案A

2.關于兩個變量x,y與其線性相關系數r,有下列說法：

①若r>0,則x增大時，y也相應增大；

②若團越趨近于1，則尤與y的線性相關程度越強；

③若r=l或/■=-1,則x與y的關系完全對應（有函數關系），在散點圖上各個散

點均在一條直線上.

其中正確的有（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

解析根據相關系數的定義，變量之間的相關關系可利用相關系數「進行判斷：

當r為正數時，表示變量x,y正相關；

當r為負數時，表示兩個變量x,y負相關；

|r|越接近于1,相關程度越強；

|r|越接近于0,相關程度越弱.故可知①②③正確.

答案D

3.甲、乙、丙、丁四位同學各自對A,B兩變量進行線性相關試驗，并分別求得

相關系數r如表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

則這四位同學的試驗結果能體現出A,B兩變量有更強的線性相關性的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析由相關系數的意義可知，相關系數的絕對值越接近于1,相關性越強，結

合題意可知，丁的線性相關性最強，故選D.

答案D

4.對于相關系數r,下列結論正確的個數為（）

①1,—0.75］時，兩變量負相關很強

②rC［0.75,1］時，兩變量正相關很強

③—.75,-0.3］或［0.3,0.75）時，兩變量相關性一般

@r=0.1時，兩變量相關性很弱

A.1B.2

C.3D.4

解析由相關系數的性質可知4個結論都正確.

答案D

5.對四對變量y和x進行線性相關檢驗，已知〃是觀測值組數，，是相關系數，

且已知：

①”=7,r=0.9533；②〃=15,r=0.3012；

③”=17,r=0.4991；@n=13,r=0.9950.

則變量y和尤線性相關程度最高的兩組是（）

A.①②B.①④

C.②④D.③④

解析相關系數r的絕對值越接近于1,變量x,y的線性相關程度越高.

答案B

二'填空題

6.已知某個樣本點中的變量x,y線性相關，相關系數r〉0,平移坐標系，則在

以(x,y)為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數的點都落在第象

限.

解析因為r>0,

所以大多數的點都落在第一、三象限.

答案一、三

7.若已知石(y—是g(XL%)2的4倍,石⑶一x)(y—y)是篙(屈一彳尸的1.5

倍,則相關系數r的值為.

n-

Z(X/—x)(y—y)

解析由「=一I”一，得「=*

\￡Cxi-x)2x\/E(y—y)2

答案i3

8.部門所屬的10個工業企業生產性固定資產價值%與工業增加值y資料如下表(單

位:百萬元)：

固定資

33566789910

產價值

工業增

15172528303637424045

加值

根據上表資料計算的相關系數為

-3+3+5+6+6+7+8+9+9+10

解析尸----------------------------=6.6.

15+17+25+28+30+36+37+42+40+45

y=----------------------------1--0---------------------------=31.5.

10--

￡(xi-x)(y/~y)

=七0.9918.

_10

(x—x)2￡(y-y)2

tz=l

答案0.9918

三'解答題

9.5個學生的數學和物理成績如表:

^學生

ABCDE

學科

數學8075706560

物理7066686462

試用散點圖和相關系數一判斷它們是否有線性相關關系，若有，是正相關還是負

相關?

解散點圖法：涉及兩個變量：數學成績與物理成績，可以以數學成績為自變量,

考察因變量物理成績的變化趨勢.以x軸表示數學成績，y軸表示物理成績，可

得相應的散點圖.

＞物理成績

??

60-,

50-

。50607（）8。。（）x數學成績

由散點圖可見，兩者之間具有線性相關關系且是正相關.

（相關系數r法）列表：

iXiX?y?xiyi

18070640049005600

27566562543564950

37068490046244760

46564422540964160

56062360038443720

￡350330247502182023190

5

之孫-5x

23190-23100

=0.9>0.

^250X40

，兩變量具有相關關系且正相關.

10.某火鍋店為了了解營業額M百元）與氣溫M°C）之間的關系，隨機統計并制作

了某6天當天營業額與當天氣溫的對比表.

氣溫/℃261813104-1

營業額/百元202434385064

畫出散點圖并判斷營業額與氣溫之間是否具有線性相關關系.

解畫出散點圖如圖所示.

營業額/百元

60

5()?

40-,

30

2(),

10,氣溫/七

-51015202530x

一1

x=^(26+18+13+10+4-l)^11.7,

一1

尸制20+24+34+38+50+64戶38.3,

6

￡xy/=26X20+18X24+13X34+10X38+4X50-1X64-1910,

i=1z

￡6=262+182+132+102+42+(—1)2=1286,

i=l

Sy?=202+242+342+382+502+642=10172,

i=1

6

￡孫一6%y

z=l

由可得個一0.98.

由于|r|的值較接近1,所以光與y具有很強的線性相關關系.

能力提升

11.為考察兩個變量x,y的相關性，搜集數據如下表，則兩個變量的線性相關程

度（）

X510152025

y103105110111114

A.很強B.很弱

C.無相關D.不確定

55555,

解析￡廝=75,Ey=543,￡x}=1375,￡為y=8285,￡?=59051,

i=li=ri=li=l"i=l

x=15,y=108.6,

5--

,￡Xiyi-5

i=lxy

{Jy—5)2

_________8285—5X1