專題01三角形的證明（易錯必刷41題13種題型專項訓練）角平分線的性質等腰三角形的性質等腰三角形的判定與性質等邊三角形的判定直角三角形的性質勾股定理勾股定理的證明線段垂直平分線的性質等腰三角形的判定等邊三角形的性質等邊三角形的判定與性質含30度角的直角三角形勾股定理的證明

一．角平分線的性質（共7小題）1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為（）A．1 B．6 C．3 D．122．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現在要建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點有（）A．四處 B．三處 C．兩處 D．一處3．如圖，△ABC的三邊AB、AC、BC的長分別為4、6、8，其三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（）A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：24．在△ABC內一點P到三邊的距離相等，則點P一定是△ABC（）A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條高的交點 D．三條中線的交點5．如圖：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB＝CE，則下列結論：①DE＝DF，②AE＝AF，③BD＝CD，④AD⊥BC．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝3，AB＝10，則△ABD的面積是．7．兩個城鎮A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路．現電信部門需在C處修建一座信號發射塔，要求發射塔到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內部，請在圖中，用尺規作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）二．線段垂直平分線的性質（共2小題）8．如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點D、E兩點，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點F、G兩點，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．169．如圖，△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，則AF＝．三．等腰三角形的性質（共6小題）10．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數為（）A．35° B．40° C．45° D．50°11．已知等腰三角形的一個外角等于100°，則它的頂角是（）A．80° B．20° C．80°或20° D．不能確定12．在等腰△ABC中，AB＝AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或1013．如圖，一鋼架中，∠A＝15°，焊上等長的鋼條來加固鋼架．若AP1＝P1P2，則這樣的鋼條最多只能焊上（）條．A．4 B．5 C．6 D．714．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D在BC上，且AD＝AE．（1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度數．（2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度數．（3）猜想∠EDC與∠BAD的數量關系．（不必證明）15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點，過點D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為E、F，CG是AB邊上的高．（1）當D點在BC什么位置時，DE＝DF？并證明；（2）線段DE，DF，CG的長度之間存在怎樣的數量關系？并加以證明．四．等腰三角形的判定（共2小題）16．已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）條．A．3 B．4 C．5 D．617．如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個五．等腰三角形的判定與性質（共3小題）18．如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為1cm2，則△PBC的面積為（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能確定19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）設DN與AM交于點F，判斷△ADF的形狀．（只寫結果）20．已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F．①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數．六．等邊三角形的性質（共2小題）21．如圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是．22．如圖，在等邊△ABC中，已知點E在直線AB上（不與點A、B重合），點D在直線BC上，且ED＝EC．（1）若點E為線段AB的中點時，試說明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的邊長為2，AE＝1，求CD的長．七．等邊三角形的判定（共1小題）23．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④八．等邊三角形的判定與性質（共1小題）24．邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）A． B． C． D．九．直角三角形的性質（共1小題）25．閱讀理解：如圖1，在△ABC的邊AB上取一點P，連接CP，可以把△ABC分成兩個三角形，如果這兩個三角形都是等腰三角形，我們稱點P是△ABC的邊AB上的完美點．解決問題：（1）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，試找出邊AB上的完美點P，并說明理由．（2）如圖3，已知∠A＝36°，△ABC的頂點B在射線l上，點P是邊AB上的完美點，請認真分析所有符合要求的點B，直接寫出相應的∠B的度數．十．含30度角的直角三角形（共2小題）26．如圖，已知∠AOB＝30°，點P在邊OA上，OP＝14，點E，F在邊OB上，PE＝PF，EF＝6．若點D是邊OB上一動點，則∠PDE＝45°時，DF的長為．27．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？十一．勾股定理（共11小題）28．如圖所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE＝（）A．1 B． C． D．229．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的邊長是6cm，則正方形A，B，C，D，E，F，G的面積之和是（）A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm230．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或8431．如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個正三角形，則S1、S2、S3、S4的關系為（）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定32．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要米的地毯．33．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，點D為AB的中點，如果點M在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點N在線段CA上由C點向A點運動，若使△BDM與△CMN全等，則點N的運動速度應為厘米/秒．34．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝5，BC＝12，則AB2+CD2＝．35．如圖，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，分別以AB，AC，BC為邊向外作等邊三角形，面積分別記為S1，S2，S3，則S1+S2+S3的值等于．36．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點，CD＝3，點P從B點出發沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動．設點P的運動時間為t．連接AP．（1）當t＝3秒時，求AP的長度（結果保留根號）；（2）當△ABP為等腰三角形時，求t的值；（3）過點D作DE⊥AP于點E．在點P的運動過程中，當t為何值時，能使DE＝CD？37．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．（1）直接寫出AB的長度．（2）設點P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的長；（3）設點M在AC上，若△MBC為等腰三角形，直接寫出AM的長．38．問題再現：數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．（1）如圖1，是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三邊長向外作正方形的面積分別為S1，S2，S3，試猜想S1，S2，S3之間存在的等量關系，直接寫出結論．（3）如圖3，如果以Rt△ABC的三邊長a，b，c為直徑向外作半圓，那么第（2）問的結論是否成立？請說明理由．（4）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三邊分別為5，12，13，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積．十二．勾股定理的證明（共1小題）39．觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a＞b，根據圖中圖形面積之間的關系及勾股定理，可直接得到等式（）A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+