第1頁（共1頁）2024年江蘇省連云港市中考數學試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．的相反數是（）A． B． C．﹣2 D．22．2024年5月，全國最大的海上光伏項目獲批落地連云港，批準用海面積約28000畝，總投資約90億元．其中數據“28000”用科學記數法可以表示為（）A．28×103 B．2.8×104 C．2.8×103 D．0.28×1053．下列運算結果等于a6的是（）A．a3+a3 B．a?a6 C．a8÷a2 D．（﹣a2）34．下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁5．如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（）A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線6．下列說法正確的是（）A．10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率較大 B．從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數，取得偶數的可能性較大 C．小強一次擲出3顆質地均勻的骰子，3顆全是6點朝上是隨機事件 D．拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續拋此硬幣2次必有1次正面朝上7．如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是80cm，則圖中陰影圖形的周長是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm8．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a＜0）的頂點為（1，2）．小燁同學得出以下結論：①abc＜0；②當x＞1時，y隨x的增大而減小；③若ax2+bx+c＝0的一個根為3，則；④拋物線y＝ax2+2是由拋物線y＝ax2+bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．如果公元前121年記作﹣121年，那么公元2024年應記作年．10．在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．11．如圖，直線a∥b，直線l⊥a，∠1＝120°，則∠2＝°．12．關于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數根，則c的值為．13．杠桿平衡時，“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為1600N和0.5m，動力為F（N），動力臂為l（m）．則動力F關于動力臂l的函數表達式為．14．如圖，AB是圓的直徑，∠1、∠2、∠3、∠4的頂點均在AB上方的圓弧上，∠1、∠4的一邊分別經過點A、B，則∠1+∠2+∠3+∠4＝°．15．如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG．若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分點，AB＝4，則BC的長為．16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．點P在邊AC上，過點P作PD⊥AB，垂足為D，過點D作DF⊥BC，垂足為F．連接PF，取PF的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經過的路徑長為．三、解答題（本大題共11小題，共102分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，作圖過程需保留作圖痕跡）17．（6分）計算：．18．（6分）解不等式：，并把解集在數軸上表示出來．19．（6分）下面是某同學計算的解題過程：解：……①＝（m+1）﹣2……②＝m﹣1……③上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出完整的正確解題過程．20．（8分）如圖，AB與CD相交于點E，EC＝ED，AC∥BD．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）用無刻度的直尺和圓規作圖：求作菱形DMCN，使得點M在AC上，點N在BD上．（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）21．（10分）為了解七年級男生體能情況，某校隨機抽取了七年級20名男生進行體能測試，并對測試成績（單位：分）進行了統計分析：【收集數據】10094888852798364838776899168779772839673【整理數據】該校規定：x≤59為不合格，59＜x≤75為合格，75＜x≤89為良好，89＜x≤100為優秀．（成績用x表示）等次頻數（人數）頻率不合格10.05合格a0.20良好100.50優秀5b合計201.00【分析數據】此組數據的平均數是82，眾數是83，中位數是c；【解決問題】（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）若該校七年級共有300名男生，估計體能測試能達到優秀的男生約有多少人？（3）根據上述統計分析情況，寫一條你的看法．22．（10分）數學文化節猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質地都相同的字謎卡片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數學名詞”，字謎C、字謎D是猜“數學家人名”．（1）若小軍從中隨機抽取一張字謎卡片，則小軍抽取的字謎是猜“數學名詞”的概率是；（2）若小軍一次從中隨機抽取兩張字謎卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法求小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的概率．23．（10分）我市將5月21日設立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動的紀念品．折扇單價為8元，其中郵費和優惠方式如表所示：郵購數量1～99100以上（含100）郵寄費用總價的10%免費郵寄折扇價格不優惠打九折若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？24．（10分）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx+1（k≠0）的圖象與反比例函數的圖象交于點A、B，與y軸交于點C，點A的橫坐標為2．（1）求k的值；（2）利用圖象直接寫出時x的取值范圍；（3）如圖2，將直線AB沿y軸向下平移4個單位，與函數的圖象交于點D，與y軸交于點E，再將函數的圖象沿AB平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積.25．（12分）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為km，南門O設立在A6A7邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路BM，A6A7在BM上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路BC，C處有一座雕塑．在A1處測得雕塑在北偏東45°方向上，在A2處測得雕塑在北偏東59°方向上．（1）∠CA1A2＝°，∠CA2A1＝°；（2）求點A1到道路BC的距離；（3）若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到0.1km，參考數據，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）26．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣1（a、b為常數，a＞0）．（1）若拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，求拋物線對應的函數表達式；（2）如圖，當b＝1時，過點C（﹣1，a）、分別作y軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接MN、MD．求證：MD平分∠CMN；（3）當a＝1，b≤﹣2時，過直線y＝x﹣1（1≤x≤3）上一點G作y軸的平行線，交拋物線于點H．若GH的最大值為4，求b的值．27．（12分）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小聽將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖2），這時候就容易發現大正方形面積是小正方形面積的倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數量關系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內一點P為端點的四條線段之間的數量關系；【探究應用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉，他發現旋轉過程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，當∠DAP最大時，求AD的長；（4）如圖6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值．

2024年江蘇省連云港市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．的相反數是（）A． B． C．﹣2 D．2【分析】根據相反數的定義判斷即可．【解答】解：的相反數是，故選：A．【點評】本題考查了相反數的定義，絕對值相等，正負號相反的兩個數互為相反數．2．2024年5月，全國最大的海上光伏項目獲批落地連云港，批準用海面積約28000畝，總投資約90億元．其中數據“28000”用科學記數法可以表示為（）A．28×103 B．2.8×104 C．2.8×103 D．0.28×105【分析】將一個數表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案．【解答】解：28000＝2.8×104，故選：B．【點評】本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵．3．下列運算結果等于a6的是（）A．a3+a3 B．a?a6 C．a8÷a2 D．（﹣a2）3【分析】利用合并同類項法則，同底數冪乘法及除法法則，冪的乘方法則逐項判斷即可．【解答】解：a3+a3＝2a3，則A不符合題意；a?a6＝a7，則B不符合題意；a8÷a2＝a6，則C符合題意；（﹣a2）3＝﹣a6，則D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查合并同類項，同底數冪乘法及除法，冪的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．4．下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【分析】如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．【解答】解：觀察可得：甲和丁對應角相等，對應邊成比例，且形狀相同，大小不同，故選：D．【點評】本題主要考查了相似多邊形的性質，相似多邊形的性質為：①對應角相等；②對應邊的比相等．5．如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（）A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線【分析】根據圓弧的定義進行判斷．【解答】解：∵重物由A點擺動到B點，是以點O為圓心，OA為半徑的圓弧，∴此重物移動路徑的形狀為圓弧，故選：C．【點評】本題考查了圓的基本性質，圓可以定義為在一個平面內，線段繞著它固定的一個端點（即圓心）旋轉一周，另一個端點所形成的圖形．圓上任意兩點間的部分叫做圓弧．6．下列說法正確的是（）A．10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率較大 B．從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數，取得偶數的可能性較大 C．小強一次擲出3顆質地均勻的骰子，3顆全是6點朝上是隨機事件 D．拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續拋此硬幣2次必有1次正面朝上【分析】分別利用概率的意義，隨機事件的定義分析得出即可．【解答】解：A、10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸或者后摸的人摸到獎票的概率都一樣大，故此選項不符合題意；B、從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數，取得奇數的可能性較大，故此選項不符合題意；C、小強一次擲出3顆質地均勻的骰子，3顆全是6點朝上是隨機事件，故此選項符合題意；D、拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續拋此硬幣2次不一定有1次正面朝上，故此選項不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了概率的意義和隨機事件的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．7．如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是80cm，則圖中陰影圖形的周長是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm【分析】利用平移的性質將陰影部分的周長轉化為邊長是80cm的正方形的周長，加上邊長是80cm的正方形的兩條邊長，再減去2×20cm，即可得出結果．【解答】解：陰影圖形的周長＝4×80+2×80﹣2×20＝440（cm），故選：A．【點評】本題考查平移的性質，利用平移的性質將陰影部分的周長進行轉化是解題的關鍵．8．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a＜0）的頂點為（1，2）．小燁同學得出以下結論：①abc＜0；②當x＞1時，y隨x的增大而減小；③若ax2+bx+c＝0的一個根為3，則；④拋物線y＝ax2+2是由拋物線y＝ax2+bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【分析】根據頂點坐標判斷b、c的正負性，由此判斷①；根據開口方向和對稱軸判斷②；用a表示b、c，再解方程判斷③；根據平移法則判斷④．【解答】解：∵頂點為（1，2），∴，∴b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵a+b+c＝2，∴c＝2﹣a﹣b＝2﹣a﹣（﹣2a）＝2+a，∴c無法判斷，故①錯誤；∵a＜0，∴拋物線開口向下，∵對稱軸為直線x＝1，∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，故②正確；∵b＝﹣2a，c＝2+a，∴y＝ax2﹣2ax+2+a，∵當x＝3時，y＝0，∴0＝9a﹣6a+2+a，∴a＝，故③正確；∵y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，∴將拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到y＝a（x﹣1+1）2+2﹣2＝ax2，故④錯誤；故選：B．【點評】本題考查了二次函數的性質，二次函數的平移，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．如果公元前121年記作﹣121年，那么公元2024年應記作+2024年．【分析】正數和負數是一組具有相反意義的量，據此即可求得答案．【解答】解：如果公元前121年記作﹣121年，那么公元2024年應記作+2024年，故答案為：+2024．【點評】本題考查正數和負數，理解具有相反意義的量是解題的關鍵．10．在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥2．【分析】根據二次根式的被開方數是非負數即可得出答案．【解答】解：∵x﹣2≥0，∴x≥2．故答案為：x≥2．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵．11．如圖，直線a∥b，直線l⊥a，∠1＝120°，則∠2＝30°．【分析】由平行線的性質推出l⊥b，由三角形外角的性質得到∠2＝∠1﹣∠3＝30°．【解答】解：∵直線a∥b，直線l⊥a，∴l⊥b，∴∠3＝90°，∵∠1＝120°，∴∠2＝∠1﹣∠3＝30°．故答案為：30．【點評】本題考查平行線的性質，垂線，三角形外角的性質，關鍵是由平行線的性質推出l⊥b，由三角形外角的性質即可求出∠2的度數．12．關于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數根，則c的值為．【分析】根據一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數根可知Δ＝0，即1﹣4c＝0，即可解得答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝0，即1﹣4c＝0，解得c＝；故答案為：．【點評】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程有兩個相等的實數根，則Δ＝0．13．杠桿平衡時，“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為1600N和0.5m，動力為F（N），動力臂為l（m）．則動力F關于動力臂l的函數表達式為．【分析】根據l?F＝1600×0.5進行求解即可．【解答】解：∵l?F＝1600×0.5，∴，故答案為：．【點評】本題考查了根據實際問題列反比例函數關系式，掌握杠桿原理是解題的關鍵．14．如圖，AB是圓的直徑，∠1、∠2、∠3、∠4的頂點均在AB上方的圓弧上，∠1、∠4的一邊分別經過點A、B，則∠1+∠2+∠3+∠4＝90°．【分析】根據半圓的度數為180°，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可得出結果．【解答】∵AB是圓的直徑，∴AB所對的弧是半圓，所對圓心角的度數為180°，∵∠1、∠2、∠3、∠4所對的弧的和為半圓，∴，故答案為：90．【點評】本題考查圓周角定理，根據半圓的度數為180°，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即可．15．如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG．若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分點，AB＝4，則BC的長為．【分析】設AG與BF交于點M，BG＝a，則BC＝5a，勾股定理求出AG，BF，根據等面積法求出BM，根據，列出方程進行求解即可．【解答】解：設AG與BF交于點M，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD＝4，∵翻折，∴，AG⊥BH，設BG＝a，則BC＝5a，∴，，∵，∴，∵∠BMG＝∠C＝90°，∴tan，∴BM?BF＝BG?BC，∴，∴，經檢驗是原方程的解，∴，故答案為：．【點評】本題考查矩形折疊，勾股定理，解直角三角形，掌握性質和綜合推理能力是解題的關鍵．16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．點P在邊AC上，過點P作PD⊥AB，垂足為D，過點D作DF⊥BC，垂足為F．連接PF，取PF的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經過的路徑長為．【分析】以C為原點，建立坐標系，設AP＝a，則CP＝2﹣a，利用含30度角的直角三角形的性質，求出點E的坐標，得到點E在直線上運動，求出點P分別與A，C重合時點E的坐標，利用兩點間的距離公式進行求解即可．【解答】解：以C為原點，建立坐標系，過點D作DG⊥AC設AP＝a，則CP＝2﹣a，∴P（0，2﹣a），∵∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵PD⊥AB，∴∠PDA＝90°，∴∠APD＝30°，∴，∵DG⊥AC，∴∠AGD＝90°，∴，，∵DF⊥BC，DG⊥AC，∠ACB＝90°，∴四邊形DGCF為矩形，∴DG＝CF，∴，∵E為P，F的中點，∴，令，∴，∴點E在直線上運動，當點P與C重合時，a＝0，此時E（0，1），當點P與A重合時，a＝2，此時，∴點E所經過的路徑長為：，故答案為：．【點評】本題考查含30度角的直角三角形，一次函數與幾何的綜合應用，矩形的判定和性質，兩點間的距離，綜合運用這些性質是解題的關鍵．三、解答題（本大題共11小題，共102分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，作圖過程需保留作圖痕跡）17．（6分）計算：．【分析】利用絕對值的性質，零指數冪及算術平方根的定義計算即可．【解答】解：原式＝2+1﹣4＝3﹣4＝﹣1．【點評】本題考查實數的運算及零指數冪，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．18．（6分）解不等式：，并把解集在數軸上表示出來．【分析】根據不等式的運算法則進行計算．【解答】解：，x﹣1＜2（x+1），x﹣1＜2x+2，x﹣2x＜2+1，﹣x＜3，x＞﹣3．這個不等式的解集在數軸上表示如下：【點評】本題考查了解不等式，要注意在不等式兩邊都除以一個負數時，要改變不等號的方向．19．（6分）下面是某同學計算的解題過程：解：……①＝（m+1）﹣2……②＝m﹣1……③上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出完整的正確解題過程．【分析】利用分式的加減法則計算并判斷即可．【解答】解：從第②步開始出現錯誤，正確的解題過程如下：原式＝＝＝．【點評】本題考查分式的加減，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．20．（8分）如圖，AB與CD相交于點E，EC＝ED，AC∥BD．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）用無刻度的直尺和圓規作圖：求作菱形DMCN，使得點M在AC上，點N在BD上．（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）【分析】（1）根據平行，得出∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，利用AAS證明全等；（2）過點E作CD垂線即可．【解答】（1）證明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（AAS）；（2）如圖，四邊形DMCN即為所求作的菱形．【點評】本題考查了全等三角形的判定，菱形的構造，掌握菱形的對角線互相垂直且平分是解題的關鍵．21．（10分）為了解七年級男生體能情況，某校隨機抽取了七年級20名男生進行體能測試，并對測試成績（單位：分）進行了統計分析：【收集數據】10094888852798364838776899168779772839673【整理數據】該校規定：x≤59為不合格，59＜x≤75為合格，75＜x≤89為良好，89＜x≤100為優秀．（成績用x表示）等次頻數（人數）頻率不合格10.05合格a0.20良好100.50優秀5b合計201.00【分析數據】此組數據的平均數是82，眾數是83，中位數是c；【解決問題】（1）填空：a＝4，b＝0.25，c＝83；（2）若該校七年級共有300名男生，估計體能測試能達到優秀的男生約有多少人？（3）根據上述統計分析情況，寫一條你的看法．【分析】（1）根據隨機抽取了七年級20名男生可得a的值，1減去其他組的頻率可得b，根據中位數的定義求解可得c的值；（2）總人數乘以樣本中體能測試能達到優秀的男生的頻率可得；（3）根據上述統計分析情況寫一條看法，只要合理即可．【解答】解：（1）（1）a＝20×0.2＝4，b＝1﹣0.05﹣0.20﹣0.50＝0.25，將七年級20名男生的測試成績從小到大排列為：52646872737677798383838888878991949697100，排在第10，11位的是83，83，∴中位數c＝＝83；故答案為：4，0.25，83；（2）300×0.25＝75（人），答：估計七年級300名男生中約有75人體能測試能達到優秀；（3）平時應加強體能訓練，（答案不唯一，只要合理即可）．【點評】本題考查了中位數、平均數、眾數和樣本估計總體，頻數分布直方提，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．22．（10分）數學文化節猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質地都相同的字謎卡片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數學名詞”，字謎C、字謎D是猜“數學家人名”．（1）若小軍從中隨機抽取一張字謎卡片，則小軍抽取的字謎是猜“數學名詞”的概率是；（2）若小軍一次從中隨機抽取兩張字謎卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法求小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能結果，其中小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數學名詞”，字謎C、字謎D是猜“數學家人名”，∴小軍從中隨機抽取一張字謎卡片，則小軍抽取的字謎是猜“數學名詞”的概率是＝，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能結果，其中小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的結果有2種，即CD、DC，∴小軍抽取的字謎均是“猜數學家人名”的概率＝．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．23．（10分）我市將5月21日設立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動的紀念品．折扇單價為8元，其中郵費和優惠方式如表所示：郵購數量1～99100以上（含100）郵寄費用總價的10%免費郵寄折扇價格不優惠打九折若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？【分析】如果每次購買都是100把，得到200×8×0.9＝1440（元）≠1504（元）；設一次郵購折扇x（x＞100）把，則另一次郵購折扇（200﹣x）把，得到0.9×8x+8×（1+10%）（200﹣x）＝1504，求出x＝160，即可得到兩次郵購的折扇分別是160把和40把．【解答】解：如果每次購買都是100把，∴200×8×0.9＝1440（元）≠1504（元），∴一次購買多于100把，另一次購買少于100把，設一次郵購折扇x（x＞100）把，則另一次郵購折扇（200﹣x）把，∴0.9×8x+8×（1+10%）（200﹣x）＝1504，∴x＝160，∴200﹣x＝40．答：兩次郵購的折扇分別是160把和40把．【點評】本題考查百分數的應用，關鍵是由百分數的實際意義列出關于x的方程．24．（10分）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx+1（k≠0）的圖象與反比例函數的圖象交于點A、B，與y軸交于點C，點A的橫坐標為2．（1）求k的值；（2）利用圖象直接寫出時x的取值范圍；（3）如圖2，將直線AB沿y軸向下平移4個單位，與函數的圖象交于點D，與y軸交于點E，再將函數的圖象沿AB平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積.【分析】（1）先求出點A的縱坐標，再將點A坐標代入一次函數解析式求出k值即可；（2）根據函數圖象及交點坐標，直接寫出不等式解集即可；（3）作CG⊥DE，根據等腰直角三角形性質求出CG長，再由兩點間距離公式求出AC長，由平移性質可知，陰影部分面積就是?ACFD的面積求出即可．【解答】解：（1）∵點A在的圖象上，∴當x＝2時，．∴A（2，3），∴將點A（2，3）代入y＝kx+1，得：k＝1．（2）由（1）可知一次函數解析式為y＝x+1，聯立方程組，解得，，A（2，3），B（﹣3，﹣2），根據圖像可知不等式的解集為：x＜﹣3或0＜x＜2．（3）由題意可知C（0，1），CE＝4．如圖，過點C作CG⊥DE，垂足為G，∵CE＝4，∠CEG＝45°，∴．又∵A（2，3），C（0，1），∴．由平移性質可知，陰影部分面積就是?ACFD的面積，即．【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，熟練掌握交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵．25．（12分）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為km，南門O設立在A6A7邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路BM，A6A7在BM上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路BC，C處有一座雕塑．在A1處測得雕塑在北偏東45°方向上，在A2處測得雕塑在北偏東59°方向上．（1）∠CA1A2＝90°，∠CA2A1＝76°；（2）求點A1到道路BC的距離；（3）若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到0.1km，參考數據，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）【分析】（1）求出正八邊形的一個外角的度數，再根據角的和差關系進行求解即可；（2）過點A作AD⊥BC于點D，解Rt△CA2A1，求出（km），解Rt△CA1D，求出（km）；（3）連接CA8并延長交BM于點E，延長A1A8交BE于點G，過點A8作AF⊥BC，垂足為F，解Rt△A7A8G，求出A8G，證明△CA8F∽△CEB，列出比例式進行求解即可．【解答】解：（1）∵正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8，∴外角＝，∴∠CA1A2＝45°+45°＝90°，∠CA2A1＝45°+（90°﹣59°）＝76°，故答案為：90；76；（2）過點A1作A1D⊥BC于點D，在Rt△CA2A1中，，∠CA2A1＝76°，∴（km），在Rt△CA1D中，易知∠CA1D＝45°∴，答：點A1到道路BC的距離為2.0千米．（3）連接CA8并延長交BM于點E，延長A1A8交BE于點G，過點A8作A8F⊥BC于點F，∵正八邊形的外角均為45°，∴在Rt△A7A8G中，，∴，又∵A8F＝A1D＝CD＝2，，∴，∵∠CFA8＝∠B，∠FCA8＝∠BCE，∴△CA8F∽△CEB，∴，∴，∵，∴EB＝2.4（km）．答：小李離點B不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響．【點評】本題考查了正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，掌握綜合推理能力是解題的關鍵．26．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣1（a、b為常數，a＞0）．（1）若拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，求拋物線對應的函數表達式；（2）如圖，當b＝1時，過點C（﹣1，a）、分別作y軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接MN、MD．求證：MD平分∠CMN；（3）當a＝1，b≤﹣2時，過直線y＝x﹣1（1≤x≤3）上一點G作y軸的平行線，交拋物線于點H．若GH的最大值為4，求b的值．【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）連接CN，根據題意，求得M（﹣1，a﹣2），N（1，a），進而求出CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，利用勾股定理求出，求出，從而得到∠NDM＝∠NMD，結合平行線的性質即可證明結論；（3）設G（m，m﹣1），則H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，求出當a＝1時，x2＝1﹣b≥3，得到點G在H的上方，設GH＝t，故t＝﹣m2+（1﹣b）m，其對稱軸為，分為和兩種情況討論即可．【解答】（1）解：∵拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，∴分別將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中，得，解得，∴拋物線對應的函數表達式為．（2）證明：連接CN，如圖，∵b＝1，∴y＝ax2+x﹣1，當x＝﹣1時，y＝a﹣2，∴M（﹣1，a﹣2），當x＝1時，y＝a，∴N（1，a），∵C（﹣1，a），N（1，a），∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN，在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，∴，∵，∴DN＝MN，∴∠NDM＝∠NMD，∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD，∴∠NMD＝∠CMD，∴MD平分∠CMN．（3）解：設G（m，m﹣1），則H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，當a＝1時，y＝x2+bx﹣1，∵過直線y＝x﹣1（1≤x≤3）上一點G作y軸的平行線，令x2+bx﹣1＝x﹣1，解得x1＝0，x2＝1﹣b．∵b≤﹣2，∴x2＝1﹣b≥3，點G在H的上方，如圖，設GH＝t，則t＝﹣m2+（1﹣b）m，其對稱軸為，且，①當時，即﹣5≤b≤﹣2，由圖可知，當時，t取得最大值，解得b＝﹣3或b＝5（舍去），②當時，得b