【例3】已知a2-ab-2b2=1，求a2+b2的取值范圍。【例4】若4x2-xy+y2=25，則3x2+y2的取值范圍為。設(shè)x，y滿足-y2=1，則3x2-2xy的最小值是。1.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值為.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2-4y2=4，則|x|-|y|的最小值為.3.已知x2-xy+y2=1，則x2-y2的取值范圍為.4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y+4=0，則的取值范圍為.5.已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2-b2=1，則2a2+3b2+4ab的最小值是.A.3-1B.3+1C.23+2所以ab的最小值為9。【點(diǎn)撥】利用均值不等式，轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題。【解法2】所以方程x2+(3-t)x+t=0有正根，視a，b為此方程的兩根，所以ab的最小值為9。【點(diǎn)撥】部分換元，逆用韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程，并利用判別式法求解。【解法3】式子即為權(quán)方和不等式。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。所以ab的最小值為9。【點(diǎn)撥】對(duì)條件變形，使一邊常數(shù)化，利用權(quán)方和不等式解決問(wèn)題。【賞析】本題是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的雙變量最值問(wèn)題。由于條件中出現(xiàn)了雙變量的和與積，【解法1】是應(yīng)用基本不等式求最值，體現(xiàn)了整體法的思想。注意利用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取得，這是很容易忽略的。解法是基于問(wèn)題的結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)的和與積，從而逆用韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程，并利用其判別式求解。此法也要注意對(duì)取等條件進(jìn)行檢驗(yàn)。【解法3】利λbi時(shí)取到它的特點(diǎn)是分子的指數(shù)比分母高1次。靈活地使用權(quán)方和不等式常常可以起到事半功倍的化簡(jiǎn)效果，此法對(duì)學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力要求較高。+y2所以-2x+y經(jīng)檢驗(yàn)，等號(hào)可以取到)，所以2x+y的最大值為。【點(diǎn)撥】利用基本不等式，巧妙配湊解決問(wèn)題。【解法2】即6x2-3tx+t2-1=0，2-4×6t2-1)=24-15t20，有-t，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意。所以2x+y的最大值為。【點(diǎn)撥】結(jié)合需求解的代數(shù)式2x+y，對(duì)已知條件進(jìn)行變形，將多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，突出主元，借助判別式法建立不等式來(lái)解決問(wèn)題。【解法3】因?yàn)閍.ba.b，所以2x+y經(jīng)檢驗(yàn)符合題意。所以2x+y的最大值為。5【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，從向量的角度思考，是一種有新意的方法。【解法4】2所以2x+y的最大值為。【點(diǎn)撥】根據(jù)題中條件的形式，將變量替換，重新呈現(xiàn)兩個(gè)變量的依托關(guān)系，轉(zhuǎn)化為我們熟知的不等式最值問(wèn)題。【解法5】注意到4x2+y2+xy=1是二次齊次式，可以采取如下方法：2x2k22， 綜上2x+y的最大值為。【點(diǎn)撥】利用兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系進(jìn)行變量的替換，借助齊次性解決問(wèn)題。【解法6】觀察題設(shè)條件聯(lián)想到余弦定理。已知等式可化為2+y2-2如圖4-1，構(gòu)造△ABC，可以設(shè)AB=2x，AC=y，則BC=1，以下有兩種思路：經(jīng)檢驗(yàn)等號(hào)可以成立。(2)如圖4-2，延長(zhǎng)BA至D點(diǎn)，使AD=AC=y，當(dāng)BD為直徑時(shí)最大，【點(diǎn)撥】注意題中的條件暗藏余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，再利用三角形中各角之間的關(guān)系，借助正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。【賞析】【解法1】采用基本不等式的方法進(jìn)行解題，注意利用基本不等式求最值時(shí)的口訣“一決這類(lèi)問(wèn)題的常用手段。【解法3】從向量的獨(dú)特視角出發(fā)，構(gòu)思巧妙。【解法4】通過(guò)換元轉(zhuǎn)化，利用曲線的有界性求解。【解法5】構(gòu)建變量之間的線性關(guān)系，采用了“1”進(jìn)行代換進(jìn)而齊次化方法。【解法6】采用數(shù)形結(jié)合的方法，體現(xiàn)了“數(shù)”“形”結(jié)合的巧妙。各解法均是處理此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)解題策略，精彩紛呈，值得學(xué)習(xí)。【例3】已知a2-ab-2b2=1，求a2+b2的取值范圍。注：該題也可以采用以下?lián)Q元法：【點(diǎn)撥】分解因式，換元后利用基本不等式解決問(wèn)題。【解法2】22m222【點(diǎn)撥】【解法5】對(duì)條件式和差代換，消元后利用基本不等式。【解法3】所以1=a2-ab-2b2≤a2-2b2+，1，令解得λ=-3，【點(diǎn)撥】配湊系數(shù)利用基本不等式，然后用待定系數(shù)法解決問(wèn)題。【解法4】設(shè)a222，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以r2cos2θ-r2cosθsinθ-2r2sin2θ=1。所以因?yàn)閏os2θ-cosθsinθ-2sin2θ1sin2θ-3cos2θ=--22所以cos2θ-cosθsinθ-2sin2θ∈【點(diǎn)撥】設(shè)值換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題。設(shè)a22=λn2-2λ)b2+(2mn-λ)ab。所以解得負(fù)根舍去【點(diǎn)撥】對(duì)所求表達(dá)式齊次化，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題。【解法6】因?yàn)閍2-ab-2b2=1，22222又令a22所以(λ-1)t2-λt-2λ-1=0，利用判別式-4λ-4≥0，所以λ≥（負(fù)解舍去)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意。【點(diǎn)撥】對(duì)所求表達(dá)式分式齊次化，化歸為一元二次函數(shù)，利用判別式解決問(wèn)題。【賞析】本題【解法1】、2、3都是借助基本不等式求解的，不同點(diǎn)在于對(duì)條件進(jìn)行不同形式的轉(zhuǎn)化及變形，或者利用基本不等式的不同形式。【解法4】利用三角換元化歸為三角函數(shù)，實(shí)際上形如x2+y2=r2的結(jié)構(gòu)，可以假設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,這樣就可把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角函數(shù)，再利用三角恒等變換，最后借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解。【解法5】、【解法6】實(shí)質(zhì)上是利用函數(shù)與方程的思想，把問(wèn)題化歸到一元二次函數(shù)或一元二次不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造不等式求解，如判別式Δ>0等。【例4】若4x2-xy+y2=25，則3x2+y2的取值范圍為。【點(diǎn)撥】線性換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題，利用判別式法求解。【解法2】2y2y22y2y2得3x2≤30。經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意。【點(diǎn)撥】結(jié)合所求結(jié)論，合理配湊基本不等式的形式，用待定系數(shù)法解決問(wèn)題。【解法3】2所以【點(diǎn)撥】對(duì)所求結(jié)論實(shí)現(xiàn)分式齊次化，換元后轉(zhuǎn)化為單變?cè)獑?wèn)題，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解。【解法4】根據(jù)條件配方有2=25，令則有2【點(diǎn)撥】將已知等式配方后，利用三角換元求解。【賞析】【解法1】通過(guò)線性換元，將3x2+y2表示為關(guān)于t的函數(shù)，再令k=進(jìn)而將3x2+y2的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程有解，然后利用判別式法求出t的取值范圍，解法簡(jiǎn)練。對(duì)照已知和所求不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)對(duì)xy項(xiàng)進(jìn)行合理的放縮才能求出3x2+y2的取值范國(guó)。【解法2】通過(guò)待定系數(shù)，結(jié)合均值不等式，將xy放縮為然后利用x2，y2的系數(shù)比為3求出相應(yīng)的t，解法巧妙，簡(jiǎn)明快捷。【解法3】先將3x2+y2除以4x2-xy+y2，再將所得分式的分子、分母同除以x2，將3x2+y2轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，分離常數(shù)后，結(jié)合對(duì)的函數(shù)的圖象求出的取值范園，在得到后，也可以令利用判別式法求解。【解法4】配方后利用三角換元，將原函數(shù)表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性-1≤sin(2θ+φ)≤1求出3x2+y2的取值范固。如果已知的等式可分解，也可以考慮將其因式分解，然后利用配湊法或換元法求解。以上四個(gè)解法需要讀者認(rèn)真研讀，領(lǐng)會(huì)要領(lǐng)，在解題中靈活應(yīng)用。2設(shè)x，y滿足-y2=1，則3x2-2xy的最小值是。所以(t,(t,2(t,t2(t,(t,2(t,t【點(diǎn)撥】對(duì)已知條件因式分解，然后采用單變量換元或雙變量換元處理。【解法2】22【解法3】 當(dāng)且僅當(dāng)m=322時(shí)取等號(hào)。 【點(diǎn)撥】把已知條件看作雙曲線，利用雙曲線參數(shù)方程解題。依題意有 1斜率，雙曲線的漸近線的斜率為±2 1考慮曲線y=4x2，x當(dāng)直線y-1=k與曲線相切時(shí)，斜率k有最大值，此時(shí)k=12-8，【點(diǎn)撥】已知條件和所求結(jié)論都是二次式，可以作齊次化處理，然后利用幾何意義解題或構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)法求最值。【解法5】依題意有其中(22,(22,(22,(22,,【解法6】4(2k-3)設(shè)y=kx4(2k-3) 所以3x2-2xy=3x2 【點(diǎn)撥】引入變量，實(shí)現(xiàn)x與y的關(guān)系的單一化，為求解最值創(chuàng)設(shè)條件。【解法7】因?yàn)?x2-2xy=x(3x-2y)，令3x-2y=t， 2t2所以3x2-2xy=xt2-2xy6+4。【點(diǎn)撥】對(duì)所求代數(shù)式因式分解，然后部分換元，變?yōu)閱巫兞繂?wèn)題，利用基本不等式解決問(wèn)題。【賞析】本題是典型的利用不等式求解最值問(wèn)題。條件中含有雙變量的平方差關(guān)系，聯(lián)想平方差公式之后選擇變量換元的【解法1】和解法的本質(zhì)相同。【解法3】利用三角換元轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)，是一種常見(jiàn)的方法。【解法4】和【解法5】首先將結(jié)論代數(shù)式齊次化，再進(jìn)行換元，化雙元為單元，轉(zhuǎn)化為單變?cè)钪祮?wèn)題。【解法6】考慮變量之間的線性關(guān)系，是參數(shù)方程的一種應(yīng)用。【點(diǎn)撥】常量代換，結(jié)合基本不等式實(shí)現(xiàn)配湊。【解法2】【點(diǎn)撥】對(duì)絕對(duì)值討論，代入消元，再利用基本不等式求解。【解法3】所以設(shè)，如圖4-3所示。 ②當(dāng)2<a<0時(shí)，fI(a)>0，f(a)單調(diào)遞增.【賞析】【解法1】利用了“1”的代換，將分子中的“1”代換為將化為倒數(shù)形式．在處理時(shí)，要注意只有和—這兩個(gè)值，顯然當(dāng) 時(shí)，取得最小值.【解法2】和【解法3】都利用了統(tǒng)一變量的思路，在處理絕對(duì)值時(shí)，都利用了分類(lèi)討論思想去絕對(duì)值．在處理最值時(shí)，【解法2】使用了對(duì)先分離常數(shù)，然后乘“1”的方法．【解法3】則直接利用導(dǎo)數(shù)分析關(guān)于a的函數(shù)f(a)的單調(diào)性．在利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)要注意函數(shù)的定義域，本題中函數(shù)f(a)的定義域?yàn)?—∞,0)u(0,2).利用均值不等式時(shí)，“1”的代換和乘“1”是常見(jiàn)的策略，解題時(shí)應(yīng)予以重視．除此以外，有時(shí)也用換元、判別式、三角代換、化為齊次式等方法解題.解決雙變量問(wèn)題的基本策略有1）利用條件轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)2）利用重要不等式、基本不等式3）設(shè)主元，利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題4）構(gòu)造具有幾何意義、物理意義的問(wèn)題.常用的技巧是代入法、配方法、換元法（三角換