第1頁(yè)/共1頁(yè)絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期浙江G5聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文類(lèi)讀物6本，數(shù)學(xué)類(lèi)讀物7本，英語(yǔ)類(lèi)讀物8本，每本圖書(shū)各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（）A.3種 B.21種 C.336種 D.12種【答案】B【解析】【分析】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文類(lèi)讀物6本，數(shù)學(xué)類(lèi)讀物7本，英語(yǔ)類(lèi)讀物8本，每本圖書(shū)各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有種.故選：B2.已知某隨機(jī)變量，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用方差公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：D3.在的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)為（）A.240 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得，令計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，即第四項(xiàng)為.故選：D4.已知，則在處的導(dǎo)數(shù)值為（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以在處的導(dǎo)數(shù)值為.故選：B5.已知事件A、B、C，滿足則P(B∪C|A)=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率結(jié)合概率的基本性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】依題意，.故選：A6.已知?jiǎng)t的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理分別求出，再求和得解.【詳解】顯然，在的展開(kāi)式中，，，所以.故選：C7.若則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)、研究單調(diào)性、極值、最值比較大小即可.【詳解】由題意知：，令，，由，解得，在，在，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋裕矗簿褪牵郑驗(yàn)樵谏蟽H有一個(gè)極大值，所以，即最大，所以.故選：A.8.某學(xué)校高二年級(jí)開(kāi)設(shè)4門(mén)校本選修課程，某班男生201寢室的5名同學(xué)選修，每人只選1門(mén)，恰有1門(mén)課程沒(méi)有同學(xué)選修，則該寢室同學(xué)不同的選課方案有（）A.360種 B.600種 C.960種 D.972種【答案】B【解析】【分析】從4門(mén)課程中取出3門(mén)課程，再把5名同學(xué)分成3組，并分配課程，列式計(jì)算即得.【詳解】從4門(mén)課程中取出3門(mén)課程，有種方法，把5名同學(xué)分成3組，按分組有種方法，按分組有種方法，把3門(mén)課程分配給上述分成的每一組有種方法，所以該寢室同學(xué)不同的選課方案有（種）.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類(lèi)型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類(lèi)型中，不同分組方法的求法．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，下列說(shuō)法正確的是（）A.展開(kāi)式共有9項(xiàng) B.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是240C.展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256 D.展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1【答案】BD【解析】【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，再逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得展開(kāi)式共有7項(xiàng)，，對(duì)于A，展開(kāi)式共有7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是，B正確；對(duì)于C，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，D正確.故選：BD10.下列等式正確的是（）A. B.若則C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷A；根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，即可判斷C；根據(jù)的展開(kāi)式和計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：，故A正確；B：由組合數(shù)的性質(zhì)知，若，則或，故B錯(cuò)誤；C：，又，所以，故C正確；D：，故D正確.故選：ACD11.一個(gè)不透明的箱子中裝有5個(gè)小球，其中白球3個(gè)，黑球2個(gè)，小球除顏色不同外，材質(zhì)大小全部相同，現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣正面朝上，則從箱子里抽出一個(gè)小球且不再放回；若硬幣反面朝上，則不抽取小球；重復(fù)該試驗(yàn)，直至小球全部取出，假設(shè)試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)，試驗(yàn)者手中沒(méi)有任何小球，下列說(shuō)法正確的有（）A.經(jīng)過(guò)兩次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有1個(gè)白球1個(gè)黑球的概率為B.若第一次試驗(yàn)抽到一個(gè)黑球，則第二次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中有黑白球各1個(gè)的概率為C.經(jīng)過(guò)7次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率為D.經(jīng)過(guò)7次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率最大【答案】AB【解析】【分析】利用條件概率公式計(jì)算判斷AB；利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算判斷C；設(shè)實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率為，令，由C項(xiàng)化簡(jiǎn)得即可判斷D.【詳解】記事件“一次實(shí)驗(yàn)硬幣正面朝上”，則“一次實(shí)驗(yàn)硬幣反面朝上”，則，從箱子中不放回地抽球，記“第次抽到白球”，記“第次抽到黑球”，“第次硬幣正面朝上且抽到白球”，“第次硬幣正面朝上且抽到黑球”，對(duì)于A，，，經(jīng)過(guò)兩次實(shí)驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有1個(gè)白球1個(gè)黑球的概率為：，A正確；對(duì)于B，第一次抽到黑球后，第二次抽到白球的概率為：，B正確；對(duì)于C，實(shí)驗(yàn)7次結(jié)束，則前6次有4次硬幣正面朝上，第7次硬幣正面朝上，則其概率為：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率為，則，，令，得化簡(jiǎn)可得，解得，即，所以經(jīng)過(guò)8次或9次實(shí)驗(yàn)后小球全部取出的概率最大，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決試驗(yàn)終止時(shí)概率最大問(wèn)題關(guān)鍵是理解試驗(yàn)停止時(shí)的條件，從而求得實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率，利用作商法求得中的最大項(xiàng)即可.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.四名男生和兩名女生排成一排，要求兩位女生不相鄰，則不同排法的種數(shù)是_______.（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用插空法，先排男生再排女生求解即可.【詳解】先排男生，再將女生排到5個(gè)空位里，有種情況.故答案為：13.從1，3，5，7中任取2個(gè)不同數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)不同的數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則所組成的四位數(shù)是偶數(shù)的概率為_(kāi)____．(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)【答案】【解析】【分析】針對(duì)選出的4個(gè)數(shù)中有0和無(wú)0進(jìn)行分類(lèi)討論，分別求出兩種情況下組成四位數(shù)的個(gè)數(shù)及偶數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率個(gè)數(shù)計(jì)算即可.【詳解】若選出的4個(gè)數(shù)中有0，則組成四位無(wú)重復(fù)的數(shù)字共有個(gè)，其中偶數(shù)有個(gè)；若選出的4個(gè)數(shù)中無(wú)0，則組成的四位無(wú)重復(fù)的數(shù)字共有個(gè)，其中偶數(shù)有個(gè)，所以的四位數(shù)為偶數(shù)的概率為.故答案為：14.已知函數(shù)對(duì)有則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，不妨設(shè)，由已知化簡(jiǎn)可得即在上遞增,進(jìn)而判斷可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，不妨設(shè)，，任意有可得即可得在上遞增,因?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，即在上遞增.當(dāng)時(shí)，不能恒成立，即在不符合單調(diào)遞增.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)小于0的不等式即得.（2）求出函數(shù)的極小、極大值，再利用三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出a的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，或，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，顯然當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有3個(gè)不同的實(shí)根，a的取值范圍是.16.已知關(guān)于的二項(xiàng)式的二項(xiàng)系數(shù)之和為32，其中．（1）若，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為40，求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和．【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）利用，解得，求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可得到展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）利用展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為40，解得，利用的指數(shù)為整數(shù)，求出展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)，從而得到有理項(xiàng)的系數(shù)之和.【小問(wèn)1詳解】由于關(guān)于的二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，所以，解得，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，展開(kāi)式的系數(shù)最大，故系數(shù)最大項(xiàng)為和【小問(wèn)2詳解】由（1）可得二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，解得：，因?yàn)檎归_(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為40，所以，由，得，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)為整數(shù)，可取0，2，4，所以展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)為，，，故展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為.17已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，分類(lèi)討論、兩種情況下的單調(diào)性即可；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性可得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】，令，則，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.18.每年的3月14日是“國(guó)際圓周率日”，這是為紀(jì)念中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)現(xiàn)圓周率而設(shè)立的.2024年3月14日，某班級(jí)為紀(jì)念這個(gè)日子，特舉辦數(shù)學(xué)題答題比賽．已知賽題共6道(各不相同)，其中3道為高考題，另3道為競(jìng)賽題，參賽者依次不放回地從6道賽題中隨機(jī)抽取一題進(jìn)行作答，答對(duì)則繼續(xù)，答錯(cuò)(或不答)或者6道題都答對(duì)即停止并記錄答對(duì)題數(shù)．（1）舉辦方進(jìn)行模擬抽題，設(shè)第次為首次抽到競(jìng)賽題，求的分布列；（2）同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異，但沒(méi)有參加過(guò)競(jìng)賽培訓(xùn)，高考題答對(duì)的概率為，競(jìng)賽題答對(duì)的概率為．①求同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為1的概率；②已知同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為2，求這兩題抽到競(jìng)賽題題數(shù)的均值．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析（2）①；②【解析】【分析】（1）寫(xiě)出可能取值，并分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；（2）①設(shè)出事件，分析可能的情況，并求出概率即可；②寫(xiě)出可能的取值，并計(jì)算出各個(gè)取值的概率，列出分布列并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】由題意知：可能取，，，，.所以的分布列為：XP【小問(wèn)2詳解】①設(shè)“同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為”為事件，“同學(xué)第一次抽中高考題，第二次抽中競(jìng)賽題并答錯(cuò)”為事件，“同學(xué)第一次抽中競(jìng)賽題并答對(duì)，第二次還抽中競(jìng)賽題并答錯(cuò)”為事件，則；；所以.②由同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為，設(shè)事件“第次選中競(jìng)賽題沒(méi)答對(duì)”；“第次選中競(jìng)賽題并答對(duì)”；“第次選中高考題”.答題結(jié)束時(shí)答對(duì)2題的概率為，易知可能取，；；.的分布列為：012P所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，熟練掌握全概率公式與貝葉斯公式求得的分布列，從而得解.19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，①求實(shí)數(shù)k的取值范圍；②證明：.【答案】（1）；（2）①；②證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程.（2）①由函數(shù)零點(diǎn)的意義變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討方程有兩個(gè)根的值范圍；②利用零點(diǎn)的意義變形得，借助函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分析法探討，構(gòu)造函數(shù)推理論證即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以切線方程為：.【小問(wèn)2詳解】①由，得，令函數(shù)，則有，求導(dǎo)得，由，得，在上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，于是，顯然，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此