江蘇省東臺市2025屆高一數學第二學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知分別為的三邊長，且，則=（）A． B． C． D．32．角的終邊經過點，那么的值為（）A． B． C． D．3．給出下列命題：（1）存在實數使.（2）直線是函數圖象的一條對稱軸.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，則.其中正確命題的題號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）4．函數的部分圖像如圖所示，則A．B．C．D．5．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可以估計眾數與中位數分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；136．在中，角的對邊分別為.若，，，則邊的大小為（）A．3 B．2 C． D．7．在中，已知，，則為（）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形C．銳角非等邊三角形 D．鈍角三角形8．等比數列中，，則A．20 B．16 C．15 D．109．《張丘建算經》中如下問題：“今有馬行轉遲，次日減半，疾五日，行四百六十五里，問日行幾何?”根據此問題寫出如下程序框圖，若輸出，則輸入m的值為（）A．240 B．220 C．280 D．26010．已知，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的反函數為____________.12．已知點在直線上，則的最小值為__________.13．某校老年、中年和青年教師的人數分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數為_____14．若存在實數使得關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是____.15．當時，不等式成立，則實數k的取值范圍是______________.16．已知曲線與直線交于A，B兩點，若直線OA，OB的傾斜角分別為、，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.(1)求AB的長；(2)求△ABC的面積.18．某種產品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間有如下對應數據：245683040605070（1）畫出散點圖；（2）求線性回歸方程；（3）試預測廣告費支出為10萬元時，銷售額為多少？附：公式為：，參考數字：，.19．在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，三點滿足.（1）求值；（2）已知若的最小值為，求的最大值.20．已知數列an滿足an+1=2an（1）求證:數列bn（2）求數列an的前n項和為S21．某高中為了選拔學生參加“全國高中數學聯賽”，先在本校進行初賽（滿分150分），隨機抽取100名學生的成績作為樣本，并根據他們的初賽成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計這次初賽成績的平均數、中位數、眾數.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由已知直接利用正弦定理求解．【詳解】在中，由A＝45°，C＝60°，c＝3，由正弦定理得．故選B．【點睛】本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，屬于基礎題．2、C【解析】，故選C。3、C【解析】

（1）化簡求值域進行判斷；（2）根據函數的對稱性可判斷；（3）根據余弦函數的圖像性質可判斷；（4）利用三角函數線可進行判斷.【詳解】解：（1），（1）錯誤；（2）是函數圖象的一個對稱中心，（2）錯誤；（3）根據余弦函數的性質可得的最大值為，，其值域是，（3）正確；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函數線有，（4）正確.故選.【點睛】本題考查正弦函數與余弦函數、正切函數的性質，以及三角函數線定義，著重考查學生綜合運用三角函數的性質分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．4、A【解析】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點】三角函數的圖像與性質【名師點睛】根據圖像求解析式問題的一般方法是：先根據函數圖像的最高點、最低點確定A，h的值，由函數的周期確定ω的值，再根據函數圖像上的一個特殊點確定φ值．5、D【解析】分析：根據頻率分布直方圖中眾數與中位數的定義和計算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數與中位數的值.詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點的橫坐標為數據的眾數，所以中間一個矩形最該，故數據的眾數為，而中位數是把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標，第一個矩形的面積為，第二個矩形的面積為，故將第二個矩形分成即可，所以中位數是，故選D.點睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數與眾數的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對應的概率，且各個小矩形的面積之和為1是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力.6、A【解析】

直接利用余弦定理可得所求.【詳解】因為，所以，解得或（舍）.故選A.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了一元二次方程的解法，屬于基礎題．7、A【解析】

已知第一個等式利用正弦定理化簡，再利用誘導公式及內角和定理表示，根據兩角和與差的正弦函數公式化簡，得到A＝B，第二個等式左邊前兩個因式利用積化和差公式變形，右邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，將A+B＝C，A﹣B＝0代入計算求出cosC的值為0，進而確定出C為直角，即可確定出三角形形狀．【詳解】將已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化簡得：2sinAcosB＝sinC，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，∵A與B都為△ABC的內角，∴A﹣B＝0，即A＝B，已知第二個等式變形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），∴C＝90°，則△ABC為等腰直角三角形．故選A．【點睛】此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦公式，二倍角的余弦函數公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．8、B【解析】試題分析：由等比中項的性質可得：，故選擇B考點：等比中項的性質9、A【解析】

根據程序框圖,依次循環計算,可得輸出的表達式.結合,由等比數列求和公式,即可求得的值.【詳解】由程序框圖可知,此時輸出.所以即由等比數列前n項和公式可得解得故選:A【點睛】本題考查了循環結構程序框圖的應用,等比數列求和的應用,屬于中檔題.10、A【解析】

由，代入運算即可得解.【詳解】解：因為，，所以.故選：A.【點睛】本題考查了兩角差的正切公式，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先求出在區間的值域，再由表示的含義，得到所求函數的反函數.【詳解】因為，所以，.所以的反函數是.故答案為：【點睛】本題主要考查反函數定義，同時考查了三角函數的值域問題，屬于簡單題.12、5【解析】

由題得表示點到點的距離，再利用點到直線的距離求解.【詳解】由題得表示點到點的距離.又∵點在直線上，∴的最小值等于點到直線的距離，且.【點睛】本題主要考查點到兩點間的距離和點到直線的距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系，即可得到答案?！驹斀狻吭O抽取的樣本中老年教師的人數為，學校所有的中老年教師人數為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【點睛】本題考查分層抽樣，考查學生的計算能力，屬于基礎題。14、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉化為含的絕對值不等式，對分成三種情況，結合絕對值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡得恒成立.當時，顯然成立.當時，可得，，可得且，可得，即，解得.當時，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查三角函數的值域，考查含有絕對值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.15、k∈（﹣∞，1]【解析】

此題先把常數k分離出來，再構造成再利用導數求函數的最小值，使其最小值大于等于k即可．【詳解】由題意知：∵當0≤x≤1時（1）當x＝0時，不等式恒成立k∈R（2）當0＜x≤1時，不等式可化為要使不等式恒成立，則k成立令f（x）x∈（0，1]即f'（x）再令g（x）g'（x）∵當0＜x≤1時，g'（x）＜0∴g（x）為單調遞減函數∴g（x）＜g（0）＝0∴f'（x）＜0即函數f（x）為單調遞減函數所以f（x）min＝f（1）＝1即k≤1綜上所述，由（1）（2）得k≤1故答案為：k∈（﹣∞，1]．【點睛】本題主要考查利用導數求函數的最值，屬于中檔題型．16、【解析】

曲線即圓曲線的上半部分，因為圓是單位圓，所以，，，，聯立曲線與直線方程，消元后根據韋達定理與直線方程代入即可求解.【詳解】由消去得，則，由三角函數的定義得故.【點睛】本題主要考查三角函數的定義，直線與圓的應用.此題關鍵在于曲線的識別與三角函數定義的應用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）21【解析】

（1）由，求得，再由正弦定理，即可求解.(2)由（1）和，求得，再由三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，因為，且為三角形的內角，所以，由正弦定理，可得，即，解得.(2)由（1）和，則，由三角形的面積公式，可得.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.18、(1)散點圖見詳解；(2)；(3)萬元.【解析】

（1）根據表格數據，繪制散點圖即可；（2）根據參考數據，結合表格數據，分別求解回歸直線方程的系數即可；（3）令（2）中所求回歸直線中，即可求得預測值.【詳解】（1）根據表格中的5組數據，繪制散點圖如下：（2）由表格數據可知：，故可得故所求回歸直線方程為.（3）由（2）知，令，解得.故廣告費支出為10萬元時，銷售額為萬元.【點睛】本題考查散點圖的繪制，線性回歸直線方程的求解，以及應用回歸直線方程進行預測，屬綜合性基礎題.19、（1）（2）1【解析】

（1）由，得，化簡得，即可得到答案；（2）化簡函數，對實數分類討論求得函數的最小值，得到關于的分段函數，進而求得函數的最大值.【詳解】（1）由題意知三點滿足，可得，所以，即即，則，所以.（2）由題意，函數因為，所以，當時，取得最小值，當時，當時，取得最小值，當時，當時，取得最小值，綜上所述，，可得函數的最大值為1，即的最大值為1.【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，向量的數量積的坐標性質，以及三角函數和二次函數的性質的綜合應用，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.20、(1)證明見解析；(2)S【解析】

（1）計算得到bn+1bn（2）根據（1）知an【詳解】(1)因為bn+1b所以數列bn(2)因為bn=aSn【點睛】本題考查了等比數列的證明，分組求和，意在考查學生的計算能力和對于數列方法的靈活運用.21、（1）（2）平均數、中位數、眾數依次為80，81，80【解析】

（1