北京海淀北京科技大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，與采用分層抽樣的辦法抽取樣本.某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人3．在中，若，則的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．5．在中，，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a，以A,C為圓心，正方形邊長(zhǎng)為半徑分別作圓，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）A．2-π2 B．2-π37．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A． B． C． D．9．已知兩點(diǎn),,若直線與線段相交,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．10．已知集，集合，則A．(-2,-1) B．(-1,0) C．(0,2) D．(-1,2)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，.的值為_(kāi)__________.12．在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若的周長(zhǎng)為,面積為，，則__________．13．定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且，若對(duì)任意的正整數(shù)，有，則___________.14．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_____.15．已知變量x，y線性相關(guān)，其一組數(shù)據(jù)如下表所示.若根據(jù)這組數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的線性回歸方程為，則______.x1245y5.49.610.614.416．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求；（2）求.18．如圖在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，證明平面.19．四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是等邊三角形，為的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，能否在棱上找到一點(diǎn)，使平面平面?若存在，求的長(zhǎng).20．某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制.各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)下表.規(guī)定：三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí).為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.（I）求和頻率分布直方圖中的的值，并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率；（II）在選取的樣本中，從兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是等級(jí)的概率．21．總書(shū)記在黨的十九大報(bào)告中指出，要在“幼有所育、學(xué)有所教、勞有所得、病有所醫(yī)、老有所養(yǎng)、住有所居、弱有所扶”上不斷取得新進(jìn)展，保證全體人民在共建共享發(fā)展中有更多獲得感．現(xiàn)S市政府針對(duì)全市10所由市財(cái)政投資建設(shè)的敬老院進(jìn)行了滿意度測(cè)評(píng)，得到數(shù)據(jù)如下表：敬老院ABCDEFGHIK滿意度x（%）20342519262019241913投資原y（萬(wàn)元）80898978757165626052（1）求投資額關(guān)于滿意度的相關(guān)系數(shù)；（2）我們約定：投資額關(guān)于滿意度的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在0.75以上（含0.75）是線性相關(guān)性較強(qiáng)，否則，線性相關(guān)性較弱.如果沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)，則采取“末位淘汰”制（即滿意度最低的敬老院市財(cái)政不再繼續(xù)投資，改為區(qū)財(cái)政投資）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投資額關(guān)于滿意度的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：，，，，.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.線性相關(guān)系數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

對(duì)分兩種情況討論分析得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，綜合得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】由分層抽樣的辦法可知在名學(xué)生中抽取的男生有，故女生人數(shù)為，應(yīng)選答案D．3、D【解析】

，兩種情況對(duì)應(yīng)求解.【詳解】所以或故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.4、C【解析】

利用特殊值,將代入四個(gè)選項(xiàng)即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】將代入四個(gè)選項(xiàng),可得A中B中D中只有C中所以排除ABD選項(xiàng)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾個(gè)項(xiàng)選擇數(shù)列的通項(xiàng)公式,特殊值法是解決此類問(wèn)題的簡(jiǎn)單方法,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

將,分別代入中,整理可得,即可得到,進(jìn)而得到結(jié)論【詳解】由題可得,即在中,,,即又,是直角三角形,故選B【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判定,考查和角公式,考查已知三角函數(shù)值求角6、D【解析】

將陰影部分拆分成兩個(gè)小弓形，從而可求解出陰影部分面積，根據(jù)幾何概型求得所求概率.【詳解】如圖所示：陰影部分可拆分為兩個(gè)小弓形則陰影部分面積：S正方形面積：S=∴所求概率P=本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查利用幾何概型求解概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

對(duì)分類討論，利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，兩條直線分別化為：，，此時(shí)兩條直線相互垂直；當(dāng)時(shí)，兩條直線分別化為：，，此時(shí)兩條直線不垂直，舍去；當(dāng)且時(shí)，由兩條直線相互垂直，則，即，解得或；綜上可得：或，兩條直線相互垂直，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、兩條直線相互垂直的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

找出直線與PQ相交的兩種臨界情況，求斜率即可.【詳解】因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)題意，作圖如下：直線與線段PQ相交的臨界情況分別為直線MP和直線MQ，已知，，由圖可知：當(dāng)直線繞著點(diǎn)M向軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其斜率范圍為：；當(dāng)直線與軸重合時(shí)，沒(méi)有斜率；當(dāng)直線繞著點(diǎn)M從軸至MP旋轉(zhuǎn)時(shí)，其斜率范圍為：綜上所述：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的計(jì)算，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再解絕對(duì)值不等式，最后根據(jù)交集的定義求解.【詳解】由得，由得，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)不等式和絕對(duì)值不等式的解法，集合的交集.指數(shù)不等式要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

在和在中,根據(jù)正弦定理,分別表示出.由可得等式,代入已知條件化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】在中,由正弦定理可得,則在中,由正弦定理可得,則點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則所以因?yàn)?,由誘導(dǎo)公式可知代入上述兩式可得所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、3【解析】

分析：由題可知，中已知，面積公式選用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.詳解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案為3.點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化；第三步：求結(jié)果.13、【解析】

根據(jù)條件求出的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式．【詳解】令，得，則，，令，得，則，，令，得，即，則，即所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)．所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．14、【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，，時(shí)，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【詳解】,時(shí)，,且在上是減函數(shù)，，，因?yàn)榻獾?【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.15、4.3【解析】

由所給數(shù)據(jù)求出，根據(jù)回歸直線過(guò)中心點(diǎn)可求解．【詳解】由表格得到，，將樣本中心代入線性回歸方程得.故答案為：4.3【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，掌握回歸直線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，即回歸直線必過(guò)中心點(diǎn)．16、【解析】

已知求，通常分進(jìn)行求解即可。【詳解】時(shí)，，化為：．時(shí)，，解得．不滿足上式．∴數(shù)列在時(shí)成等比數(shù)列．∴時(shí)，．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)式的求法:求數(shù)列通項(xiàng)式常用的方法有累加法、定義法、配湊法、累乘法等。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由可求得公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，解得：（2）由（1）知：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的求解問(wèn)題，考查基礎(chǔ)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見(jiàn)證明；(2)見(jiàn)證明【解析】

（1）可證，從而得到要求證的線面平行.（2）可證，再由及是棱的中點(diǎn)可得，從而得到平面.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn)，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）證明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn)，所以，②由①②及面，面，，所以平面.【點(diǎn)睛】線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法可利用三角形的中位線或平行公理.線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，而要求證的線線垂直又可以轉(zhuǎn)化為已知的線面垂直（有時(shí)它來(lái)自面面垂直）來(lái)考慮.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）連接,根據(jù)三角形性質(zhì)可得,由底面菱形的線段角度關(guān)系可證明,即證明平面,從而證明.（Ⅱ）易證平面平面,連接交于點(diǎn),過(guò)作交于,即可證明平面,在三角形【詳解】（Ⅰ）證明：連接,是等邊三角形,為的中點(diǎn),所以；又底面是菱形,,所以,,所以平面,平面,所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以平面,又平面即平面平面平面平面,又,所以平面連接交于點(diǎn),過(guò)作交于,如下圖所示:所以平面,又平面所以平面平面因?yàn)?所以,即在等邊三角形中,可得在菱形中,由余弦定理可得在中,可得所以【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定方法,平面與平面垂直的判定及性質(zhì)的應(yīng)用,余弦定理在解三角形中的用法,屬于中檔題.20、（I），；（II）.【解析】試題分析：(I)根據(jù)頻率直方圖的相關(guān)概率易求，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想可得該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率；（II）記“至少有一名學(xué)生是等級(jí)”事件為，求事件對(duì)立事件的的概率，可得.試題解析：（I）由題意可知，樣本容量因?yàn)槌煽?jī)是合格等級(jí)人數(shù)為：人，抽取的50人中成績(jī)是合格等級(jí)的頻率為，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，所以，該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率為（II）由莖葉圖知，等級(jí)的學(xué)生共有3人，等級(jí)學(xué)生共有人，記等級(jí)的學(xué)生為，等級(jí)學(xué)生為，則從8名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有情況為：共28個(gè)基本事件記“至少有一名學(xué)生是等級(jí)”事件為，則事件的可能結(jié)果為共10種因此考點(diǎn)：1、頻率分布直方圖；2、古典概型.21、(1)0.72；(2)