2023-2024學年江蘇省揚州市邗溝中學九下數學第十五周周末強化訓練一．選擇題（共2小題）1．（2024?鼓樓區一模）如圖為某射擊場35名成員射擊成績的條形統計圖（成績均為整數），其中部分已破損．若他們射擊成績的中位數是5環，則下列數據中無法確定的是（）A．3環以下（含3環）的人數 B．4環以下（含4環）的人數 C．5環以下（含5環）的人數 D．6環以下（含6環）的人數2．（2024?秦淮區一模）如圖，AB，CD分別垂直BD，垂足分別為B，D，連接AD，BC交于點E，作EF⊥BD，垂足為F．設AB＝a，CD＝b，EF＝c，若﹣＝1，則下列等式：①a+c＝b；②b+c＝2a；③a2＝b?c，其中一定成立的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二．填空題（共11小題）3．（2024?鼓樓區一模）如圖，四邊形ABCD是矩形，根據尺規作圖痕跡，計算∠1的大小為．4．（2024?鼓樓區一模）如圖，正八邊形ABCDEFGH的半徑為4，則它的面積是．5．（2024?鼓樓區一模）關于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m（m＞1）的兩根之和是．6．（2024?鼓樓區一模）如圖，已知點A（1，0）、B（5，0），點C在y軸上運動．將AC繞A順時針旋轉60°得到AD，則BD的最小值為．7．（2024?秦淮區一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，將AD繞點A順時針旋轉，使點D落在邊BC上（記為D′），則點D運動的路徑長是.（答案保留π）8．（2024?秦淮區一模）如圖，正八邊形ABCDEFGH的對角線AF，HD交于點M，則∠AMH的度數是°．9．（2024?秦淮區一模）二次函數y＝ax2+2x+3（a為常數，a≠0）的圖象的頂點與原點O的距離的最小值為．

10．（2024?南京一模）如圖，正比例函數y＝ax與反比例函數y＝的圖象交于A，B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，若S△ABC＝12，則b＝．11．（2024?南京一模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸上，以AB為弦的⊙D與y軸相切．若點A的坐標為（4，0），則點D的坐標為．12．（2024?南京一模）如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉，使點B的對應點B′恰好落在BD上．若AB＝5，BC＝12，連接DD′，則DD′的長為．13．（2024?南京一模）如圖，在△ABC中，AB＝2，BD是高．若，則BC的長的最小值為．

三．解答題（共9小題）14．（2024?鼓樓區一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F．（1）求證：AC＝BC；（2）連接AO并延長交BC于點E，若AO＝5，OF＝3，求OE的長．15．（2024?鼓樓區一模）在平面直角坐標系，二次函數y＝ax2﹣bx﹣a的圖象與y軸交于點A，將點A向右平移4個單位長度得到點B，點B恰好也在該函數的圖象上．（1）寫出該函數圖象的對稱軸；（2）已知點M（1，1﹣a），N（3，﹣3）．①若函數圖象恰好經過點M，求a的值；②若函數圖象與線段MN只有一個交點，結合函數圖象，直接寫出a的取值范圍．

16．（2024?秦淮區一模）點A（﹣1，y1）和點B（2，y2）在二次函數y＝x2+mx+n2（m，n是常數）的圖象上．（1）當y1＝y2時，求m的值；（2）當y1＜2時，求證y2＞y1．17．（2024?秦淮區一模）如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點，AD平分∠BAC交半圓O于點D，DE∥AB交射線AC于點E．（1）求證：DE＝AB；（2）若AB＝4，當DB＝AE時，四邊形EABD的面積為．

18．（2024?南京一模）如圖，一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作．無人機懸停在P處，測得前方水平地面上大樹AB的頂端B的俯角為63°26′，同時還測得前方某建筑物CD的頂端D的俯角為36°52′．已知點A，B，C，D，P在同一平面內，大樹的高度AB為5.2m，建筑物的高度CD為30.2m，大樹與建筑物的距離AC為20m，求無人機在P處時離地面的高度．（參考數據：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00）．19．（2024?南京一模）某公司成功研制出一種產品，經市場調研，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關系如圖所示，其中曲線AB為反比例函數圖象的一部分，BC為一次函數圖象的一部分．（1）求y與x之間的函數表達式；（2）已知每年該產品的研發費用為40萬元，該產品成本價為4元/件，設銷售產品年利潤為w（萬元），當銷售單價為多少元時，年利潤最大？最大年利潤是多少？（說明：年利潤＝年銷售利潤﹣研發費用）

20．（2024?南京一模）如圖，AC與BD相交于點E，連接AB，CD，CD＝DE．經過A，B，C三點的⊙O交BD于點F，且CD是⊙O的切線．（1）連接AF，求證AF＝AB；（2）求證AB2＝AE?AC；（3）若AE＝2，EC＝6，BE＝4，則⊙O的半徑為．21．（2024?南京一模）已知二次函數y＝ax2+bx+2（a＜0）．（1）求證：該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）若該函數圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求證a+b2＝0；（3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在該二次函數的圖象上，且2＜y2＜y1，結合函數的圖象，直接寫出k的取值范圍．

22．（2024?南京一模）幾何問題中需建構模型去研究圖形中元素之間的關系…在△ABC中，P是BC上一點，點E在直線BC的上方，連接AP，EP，EC，探究下列問題：【認識模型】（1）如圖①，△APB∽△CPE．①連接BE，求證△PEB∽△PCA；②∠BEC與∠BAC滿足的數量關系為；【運用模型】（2）已知∠BAC＝90°，D是AB的中點，且△APD∽△CPE．①如圖②，若P是BC的中點，連接DE，求證DE∥BC；②若∠B＝30°，BC＝4，當點P在BC上運動時，點E的位置隨點P的位置的變化而變化，直接寫出AE的長的最小值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共2小題）1．【解答】解：由題意和條形圖可得，3環以下（含3環）的人數為：2+3+5＝10，故選項A不符合題意，∵射擊成績的中位數是5環，一共35人，4球以下的人數為10人，由圖可知，4球的人數超過6人，∴4環以下（含4環）的人數為：2+3+5+7＝17，故選項B不符合題意，5環以下（含5環）的人數無法確定，故選項C符合題意，6環以下（含6環）的人數為：35﹣1＝34，故選項D不符合題意，故選：C．2．【解答】解：∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB＝a，CD＝b，EF＝c，∴AB∥EF∥CD，∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∴+＝+＝＝1，∴+＝1，∴＝，a（b﹣c）＝bc，∵﹣＝1，∴＝1，∴＝1，∴a+c＝b，故①符合題意；由a+c＝b得b+c＝a+2c，∵a與2c不一定相等，∴a+2c不一定等于2a，∴b+c與2a不一定相等，故②不符合題意；∵a（b﹣c）＝bc，且a＝b﹣c，∴a2＝b?c，故③符合題意，故選：B．二．填空題（共11小題）3．【解答】解：由作圖痕跡可知，所作為∠ABD的平分線和線段BD的垂直平分線．設∠ABD的平分線與AD的交點為E，如圖，則∠ABE＝．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝24°，∴∠ABD＝90°﹣24°＝66°，∴∠ABE＝＝33°，∴∠1＝∠A+∠ABE＝90°+33°＝123°．故答案為：123°．4．【解答】解：如圖，連接OF、OG，則OF＝OG＝4，過點G作GM⊥OF于點M，∵正八邊形ABCDEFGH內接于⊙O，∴∠FOG＝＝45°，在Rt△OGM中，∠GOM＝45°，OG＝4，∴OM＝GM＝OG＝2，∴S△FOG＝OF?GM＝×4×2＝4，∴S正八邊形ABCDEFGH＝8S△FOG＝32．故答案為：32．5．【解答】解：設關于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的兩根分別為：x1，x2，（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m，x2﹣2nx+n2+2x﹣2n+2﹣m＝0，x2+（2﹣2n）x+n2﹣2n+2﹣m＝0，x1+x2＝﹣（2﹣2n）＝2n﹣2，故答案為：2n﹣2．6．【解答】解：以AO為邊作等邊三角形AOH，連接HD，∵點A（1，0）、B（5，0），∴OA＝1，AB＝4，∵△AOH是等邊三角形，∴AO＝AH＝OH，∠OAH＝60°，∵將AC繞A順時針旋轉60°得到AD，∴AD＝AC，∠CAD＝60°＝∠OAH，∴∠OAC＝∠DAH，∴△CAO≌△DAH（SAS），∴∠AHD＝∠COA＝90°，∴點D在過點H且垂直于AH的直線上運動，∴當BD⊥DH時，BD有最小值，此時，如圖，過點A作AN⊥BD于N，∵∠AHD＝90°，AN⊥BD，DB⊥HD，∴四邊形AHDN是矩形，∴AH＝DN＝1，∠HAN＝90°，∴∠BAN＝30°，∴BN＝AB＝2，∴BD＝DN+BN＝3，故答案為：3．7．【解答】解：由旋轉可得，AD'＝AD＝4，∵AB＝2，∠B＝90°，∴∠AD'B＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAD'＝∠AD'B＝30°，∴點D運動的路徑長是＝．故答案為：．8．【解答】解：∵八邊形ABCDEFGH為正八邊形，∵∠AHG＝∠HAB＝180°﹣360°÷8＝135°，∵正八邊形ABCDEFGH的對角線AF，HD，∴∠AHD＝∠AHG＝67.5°，∠FAB＝90°，∴∠MAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠AMH＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．故答案為：67.5．9．【解答】解：∵y＝ax2+2x+3，∴頂點P為（﹣，），即（﹣，3﹣），∴OP2＝（﹣）2+（3﹣）2＝（）2+9﹣+（）2＝2（﹣）2+，∵2＞0，∴當＝，OP2有最小值，∴OP的最小值為：＝．10．【解答】解：設A點坐標為（m，），則B點坐標為（﹣m，﹣），∴C點坐標為（m，﹣），∴AC＝，BC＝2m，∴△ABC的面積＝AC?BC＝?2m?＝12，∴b＝6．故答案為：6．11．【解答】解：設⊙D與y軸相切于M，作直徑MN，連接BD，∴MN⊥OC，∵A的坐標是（4，0），∴OA＝4，∵四邊形OABC是正方形，∴∠MCB＝∠NBC＝90°，BC＝AB＝OA＝OC＝4，∴四邊形MNBC是矩形，∴MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC＝NB，∴MN⊥AB，∴NB＝AB＝2，∴MC＝NB＝2，∴OM＝4﹣2＝2，設圓的半徑是r，∴DB＝r，DN＝4﹣r，∵BD2＝DN2+NB2，∴r2＝（4﹣r）2+22，∴r＝，∴MD＝，∴點D的坐標為（，2）．故答案為：（，2）．12．【解答】解：過A點作AH⊥BD于H點，如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12，在Rt△ABD中，BD＝＝＝13，∵∠ABH＝∠DBA，∠AHB＝∠DAB，∴△BAH∽△BDA，∴BH：AB＝AB：BD，即BH：5＝5：13，解得BH＝，∵矩形ABCD繞點A旋轉，使點B的對應點B′恰好落在BD上．∴AB＝AB′＝5，AD＝AD′＝12，∠BAB′＝∠DAD′，∴BH＝B′H＝，∵＝，∠DAD′＝∠BAB′，∴△ADD′∽△ABB′，∴DD′：BB′＝AD：AB，即DD′：＝12：5，解得DD′＝．故答案為：．13．【解答】解：取AC中點E，過E作EF⊥AC，過點A作AF⊥AB，交EF于F，則∠AEF＝∠BAF＝90°，AE＝AC，∴∠FAE+∠DAB＝∠FAE+∠AFE＝90°，?∴∠AFE＝∠BAD，∴BD＝AC，BD是△ABC的高，.∴BD＝AE，∠BDA＝∠AEF＝90°，△BDA≌△AEF（AAS），∴AB＝AF＝2，則BF＝＝2，∵E為AC中點，EF⊥AC，∵EF是AC的垂直平分線，∴CF＝AF＝2，由三角形三邊關系可知，BC≥BF﹣CF＝2﹣2，∴當F、C、B三點共線時取等號，即：BC的最小值為2﹣2；故答案為：2﹣2．三．解答題（共9小題）14．【解答】（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴，∴AC＝BC；（2）解：延長AE交⊙O于點G，連接BG，∵AG為直徑，∴∠ABG＝90°，∵CD⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠ABG＝∠AFC，∴FC∥BG，∴△COE∽△BGE，∴，∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AF＝BF，即點F為AB的中點，∵點O為AG的中點，∴OF為△ABG的中位線，∴OF＝，∵OF＝3，∴GB＝6，∵AO＝5，∴OC＝OG＝5，∴，∴OE＝．15．【解答】解：（1）∵二次函數y＝ax2﹣bx﹣a的圖象與y軸交于點A，∴A（0，﹣a），點A向右平移4個單位長度，得到點B（4，﹣a），∴點B（4，﹣a）；∵A與B關于對稱軸x＝2對稱，∴拋物線對稱軸x＝2；（2）①∵對稱軸x＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣a，∵函數圖象恰好經過點M（1，1﹣a），∴1﹣a＝a﹣4a﹣a，∴a＝﹣；將x＝1代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，將x＝3代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，②當a＞0時，拋物線開口向上，∴﹣3≤﹣4a，解得a≤，故0＜a，當a＜0時，拋物線開口向下，∴1﹣a≥﹣4a，解得a，故﹣≤a＜0，綜上，若函數圖象與線段MN只有一個交點，a的取值范圍是0＜a或﹣≤a＜0．16．【解答】（1）解：∵y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，且y1＝y2，∴1﹣m+n2＝4+2m+n2，∴m＝﹣1，（2）證明：∵y1＜2，∴y1＝1﹣m+n2＜2，∴﹣m+n2＜1，∴m＞n2﹣1，∴2m＞2n2﹣2，∴，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2，∵n2≥0，∴2+3n2≥2，∴y2＞2+3n2≥2＞y1．∴y2＞y1．17．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠4＝∠2，∴∠1＝∠4，∴OD∥AE，∵DE∥AB，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA＝OD，∴四邊形AODE是菱形，∴AE＝DE＝DO＝AO，∵AO＝AB，∴AE＝DE＝AB；（2）解：∵DB＝AE，AE＝AB，∴DB＝AB＝2，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝2，∴△ABD的面積＝AD?BD＝×2×2＝2，∵AO＝BO，∴△AOD的面積＝△BOD的面積＝△ABD的面積＝，∵四邊形AODE是菱形，∴菱形AODE的面積＝2△AOD的面積＝2，∴四邊形EABD的面積＝菱形AODE的面積+△DOB的面積＝2+＝3，故答案為：3．18．【解答】解：延長AB交PG于點F，延長CD交PG于點E，由題意得：AF⊥PG，CE⊥PG，AF＝CE，AC＝EF＝20m，設PF＝xm，∴PE＝PF+EF＝（x+20）m，在Rt△BPF中，∠BPF＝63°26′，∴BF＝PF?tan63°26′≈2x（m），在Rt△PED中，∠EPD＝36°52′，∴ED＝PE?tan36°52′≈0.75（x+20）m，∵AF＝CE，∴AB+BF＝CD+DE，∴5.2+2x＝30.2+0.75（x+20），解得：x＝32，∴AF＝AB+BF＝5.2+2x＝69.2（m），∴無人機在P處時離地面的高度約為69.2m．19．【解答】解：（1）當4≤x≤8時，設y＝，將A（4，40）代入得k＝4×40＝160，∴y與x之間的函數關系式為y＝；當8＜x≤28時，設y＝k'x+b，將B（8，20），C（28，0）代入得，，解得，∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣x+28，綜上所述，y＝；（2）當4≤x≤8時，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）?﹣40＝120﹣，∵當4≤x≤8時，w隨著x的增大而增大，∴當x＝8時，wmax＝120﹣＝40；當8＜x≤28時，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣40＝﹣（x﹣16）2+104，∴當x＝16時，wmax＝104；∵104＞40，∴當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為104萬元．20．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，OA交BF于點G，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，即∠OCD＝∠OCA+∠DCE＝90°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DEC＝∠AEG，∴∠OAC+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝180°﹣（∠OAC+∠AEG）＝90°，即OA⊥BF，由垂徑定理可得，OA垂直平分BF，∴AF＝AB；（2）證明：如圖，連接BC，由（1）知，AF＝AB，則∠AFB＝∠ABE，又∠ACB＝∠AFB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，即：AB2＝AE?AC；（3）解：如圖，連接CO，并延長交AB于點H，連接OB，BC，∵AE＝2，EC＝6，則AC＝AE+EC＝8，由（2）可知，AB2＝AE?AC＝16，∴AB＝4＝BE，由（2）知△ABE∽△ACB，則，即，∴AC＝CB＝8，又：OA＝OB，∴CH垂直平分AB，∴，在Rt△BCH中，，設半徑為r，則OA＝OC＝r，，在Rt△AOH中，OH2+AH2＝OA2即：，解得，故答案為：．21．【解答】（1）證明：由題意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a．∵a＜0，∴﹣8a＞0．又對于任意的實數b都有b2≥0，∴b2﹣8a＞0，即Δ＞0．∴該函數的圖象與x軸總有兩個公共點．（2）證明：由題意，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．又x2＝﹣2x1，∴