第三章一元函數的導數及其應用【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規律把握

1．常考點：導數的幾何意義、函數的單調性、不等式與導數．(1)導數的幾何意義屬于送分題；(2)函數的單調性、不等式與導數常以壓軸題形式出現．2．輪考點：函數的極值、最值、零點與導數．常綜合考查函數的極值、最值、零點與導數的關系，著重分類討論思想的考查．第1課時導數的概念及運算考試要求了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(形如f(ax＋b))的導數．通過函數圖象，理解導數的幾何意義.鏈接教材夯基固本第1課時導數的概念及運算

f′(x0)2．導數的幾何意義函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的____，相應的切線方程為_____________________．提醒：求曲線的切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的區別，前者只有一條，而后者包括了前者．斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3．基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝_f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝__f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f(x)＝lnx0αxα-1cos

x－sin

xaxln

aex

f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

cf′(x)y′u·u′x

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)f′(x0)是函數y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率． (

)(2)求f′(x0)時，可先求f(x0)，再求f′(x0)． (

)(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線． (

)(4)函數f(x)＝sin(－x)的導數是f′(x)＝cosx． (

)××××二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第二冊P59探究改編)某跳水運動員離開跳板后，

他的重心相對于水面的高度與時間的函數關系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(高度單位：m，時間單位：s)，則他在0.5s時的瞬時速度為(

)A．9.1m/s

B．6.75m/sC．3.1m/s

D．2.75m/sC

[∵h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.故選C.]

3．(人教A版選擇性必修第二冊P70練習T2改編)函數y＝f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數f(x)的導函數，則下列數值排序正確的是(

)A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3)C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5)D．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3)

y＝(e－1)x＋2典例精研核心考點第1課時導數的概念及運算

名師點評

導數的運算方法(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導．(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解．(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元．[跟進訓練]2．(1)若函數f(x)，g(x)滿足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，則f′(1)＋g′(1)＝(

)A．1

B．2

C．3

D．4(2)(2024·廣東廣州模擬)已知函數f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝________．√

e2

考向2求參數的值(范圍)[典例4]

(1)(2023·山東濟南二模)已知直線y＝x－1與曲線y＝ex＋a相切，則實數a的值為(

)A．－2

B．－1C．0

D．2(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________________．(－∞，－4)∪(0，＋∞)

提醒：“在點P處的切線”與“過點P的切線”不同．[跟進訓練]3．(1)若過點(a，b)可以作曲線y＝lnx的兩條切線，則(

)A．a＜lnb

B．b＜lna

C．lnb＜a

D．lna＜b(2)(2023·江蘇南通八市聯考)過點(－1，0)作曲線y＝x3－x的切線，寫出一條切線的方程__________________________．√

2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)

√

[跟進訓練]4．(1)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝___________．(2)已知f(x)＝ex(e為自然對數的底數)，g(x)＝lnx＋2，直線l是曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的公切線，則直線l的方程為_________________．

1－ln2

y＝ex或y＝x＋1

微點突破2導函數與原函數的性質聯系問題1．導函數與原函數對稱性的關系性質1：若函數f(x)連續且可導，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱?導函數f′(x)的圖象關于點(a，0)對稱．性質2：若函數f(x)連續且可導，則f(x)的圖象關于點(a，f(a))對稱?導函數f′(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(證明略)2．導函數與原函數奇偶性的關系性質1：若f(x)為偶函數且可導，則f′(x)為奇函數．性質2：若f(x)為奇函數且可導，則f′(x)為偶函數．[典例1]已知定義在R上的函數f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(2＋x)＝－f(2－x)，f′(x)是f(x)的導數，則(

)A．f′(x)是奇函數，且是周期函數B．f′(x)是偶函數，且是周期函數C．f′(x)是奇函數，且不是周期函數D．f′(x)是偶函數，且不是周期函數[賞析]突破點1：熟知函數的性質根據題意，定義在R上的函數f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數，所以f′(x＋4)＝[f(x＋4)]′＝f′(x)，所以f′(x)是周期函數．√突破點2：導函數與原函數的奇偶性關系因為f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，所以f′(－x)＝－[f(－x)]′＝f′(x)，所以f′(x)是偶函數．故選B.

名師點評

求解此類問題的關鍵是熟知原函數與導函數間的性質關系，明確函數的奇偶性、對稱性、周期性之間的內化條件，體會賦值法在解題中的應用．[跟進訓練](2023·江蘇鹽城中學三模)設函數f(x)的定義域為R，其導函數為f′(x)，若f′(－