第23課時圓周運動的臨界極值問題[重難突破課]CONTENTS02著眼“四翼”·探考點題型規律方法聚焦“素養”·提能力巧學妙解應用0102著眼“四翼”·探考點題型規律方法

題型一

水平面內圓周運動的臨界極值問題

常

見情

境（1）水平轉盤上的物體恰好不發生相對滑動的臨界條件：物體

與轉盤之間的摩擦力恰好達到最大靜摩擦力。（2）繩的拉力出現臨界條件：繩恰好拉直（此時繩上無彈力）

或繩上拉力恰好為最大承受力等。（3）物體間恰好分離的臨界條件：物體間的彈力恰好為零解

題思

路（1）若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等關鍵詞，表明題

述的過程存在臨界狀態。（2）若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等關鍵

詞，表明題述的過程存在著極值，這個極值點也往往是臨界狀

態。（3）當確定了物體運動的臨界狀態或極值條件后，要分別針對

不同的運動過程或現象，選擇相對應的物理規律，然后再列方程

求解【典例1】

如圖甲所示，在勻速轉動的水平盤上，沿半徑方向放著

用輕質細線相連的質量相等的兩個物體A和B，它們分居圓心兩側，與

圓心距離分別為2r和3r，兩物體與盤間的動摩擦因數相同，最大靜摩

擦力等于滑動摩擦力。若初始時繩子恰好拉直但沒有拉力，現增大轉

盤角速度讓轉盤做勻速圓周運動，但兩物體還未發生相對滑動，這一

過程A與B所受摩擦力f的大小與ω2的大小關系圖像如圖乙所示，下列

關系式正確的是（

）

1.【發生相對滑動時的臨界問題】（多選）2022年2月7日，在首都體育館舉行的北京2022年冬奧會短

道速滑項目男子1000米決賽中，我國選手任子威奪得冠軍。如圖1

所示為短道速滑比賽場地的示意圖（由直道和半圓形軌道構成），

比賽場地周長約為111.12m，其中直道長度為28.85m，彎道內徑為

8m。如圖2所示為運動員轉彎瞬間的一幕。假設該比賽場地的冰面

水平，運動員在彎道緊鄰黑色標志塊做勻速圓周運動，轉彎時冰刀

與冰面間的動摩擦因數為0.1，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，運動

員的質量為50kg，運動員可看作質點，重力加速度g取10m/s2。下

列說法正確的是（

）A.運動員由直道進入彎道前要減速B.圖2中的運動員在轉彎時，冰面的支持力和重力的合力提供其做圓

周運動所需的向心力D.運動員緊鄰黑色標志塊轉彎時的最大速度為2m/s

2.【物體間恰好分離的臨界問題】（多選）如圖所示，三角形為一光滑圓錐體的正視圖，錐面與豎直方向的夾角為θ＝37°。一根長為l＝1m的細線一端系在圓錐體頂端，另一端系著一可視為質點的小球，小球在水平面內繞圓錐體的軸做勻速圓周運動，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不計空氣阻力，則（

）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力

3.【繩的彈力恰好有無的臨界問題】如圖所示，AC、BC兩繩系一質量為m＝0.1kg的小球，AC繩長L＝2m，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，兩繩拉直時與豎直軸的夾角分別為30°和45°。小球在水平面內做勻速圓周運動時，若兩繩中始終有張力，小球的角速度可能是（g＝10m/s2）（

）A.2rad/sB.2.5rad/sC.3.5rad/sD.4rad/s

題型二

豎直面內圓周運動的臨界極值問題1. 兩類模型輕“繩”模型輕“桿”模型情境圖示

輕“繩”模型輕“桿”模型彈力特征彈力只能向下或為0

彈力可能向下，可能向

上，也可能為0

輕“繩”模型輕“桿”模型力學方程臨界特征v＝0，即FN＝0，此時FN＝mg2.解題思路考向1

輕“繩”模型問題【典例2】

如圖所示，乘坐游樂園的翻滾過山車時，質量為m的人隨車在豎直平面內旋轉，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（

）A.過山車在最高點時人處于倒坐狀態，全靠保險帶拉住，沒有保險

帶，人就會掉下來B.人在最高點時對座位不可能產生大小為mg的壓力C.人在最低點時對座位的壓力等于mgD.人在最低點時對座位的壓力大于mg

考向2

輕“桿”模型【典例3】

如圖所示，質量為1.6kg、半徑為0.5m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內，小球A和B（均可視為質點）的直徑略小于細圓管的內徑（內徑遠小于細圓管半徑）。它們的質量分別為mA＝1kg、mB＝2kg。某時刻，小球A、B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為vA＝3m/s，此時桿對圓管的彈力為零。則B球的速度大小vB為（取g＝10m/s2）（

）A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s

題型三

斜面上圓周運動的臨界極值問題1.題型簡述：在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，

如靜摩擦力控制、繩控制、桿控制等，物體的受力情況和所遵循的

規律也不相同。2.解題關鍵——重力的分解和視圖物體在斜面上做圓周運動時，設斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的

分力與物體受到的支持力相等，解決此類問題時，可以按以下操

作，把問題簡化。

C.1.0rad/sD.0.5rad/s解析：由題意知臨界條件為物體在圓盤最低點受到的摩擦力為最大

靜摩擦力，根據牛頓第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝mrω2，

解得ω＝1.0rad/s，C正確，A、B、D錯誤。

如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的輕

桿，一端固定在O點，另一端系一質量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做

圓周運動。g取10m/s2。若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B

的最小速度是（

）A.4m/s

02聚焦“素養”·提能力巧學妙解應用

A.汽車過該彎道時受到重力、支持力、摩擦力和向心力B.汽車過該彎道時所受徑向靜摩擦力大小為4000NC.汽車過該彎道時的向心加速度大小為3m/s2D.汽車能安全通過該彎道的最大速度為40m/s12345678910

123456789102.有一豎直轉軸以角速度ω勻速旋轉，轉軸上的A點有

一長為l的細繩系有質量為m的小球。要使小球在隨

轉軸勻速轉動的同時又不離開光滑的水平面，重力加

速度為g，則A點到水平面的高度h最大為（

）B.

ω2g12345678910

12345678910題型二

豎直平面內圓周運動的臨界極值問題3.（多選）滾筒洗衣機靜止于水平地面上，衣物隨著滾筒一起在豎直

平面內做高速勻速圓周運動，以達到脫水的效果，滾筒截面如圖所

示，A點為最高點，B點為最低點，CD為水平方向的直徑，下列說

法正確的有（

）A.衣物運動到A點時處于超重狀態B.衣物運動到B點時脫水效果最好C.衣物運動到C點或D點時，洗衣機對地面的摩擦力不

為零D.衣物在B點時，洗衣機對地面的壓力等于洗衣機的重力12345678910

12345678910在衣物運動中，衣物運動到C點或D點時，洗衣機對衣物的水平作用

力提供衣物做圓周運動需要的向心力，可知此時衣物對洗衣機在水平

方向作用力最大，而洗衣機是靜止的，可知地面對其的摩擦力最大，

根據牛頓第三定律可知，衣物運動到C點或D點時洗衣機對地面的摩

擦力最大，故C正確。123456789104.如圖所示，一質量為m＝0.5kg的小球（可視為質點），用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動，g＝10m/s2，下列說法不正確的是（

）A.小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少

為2m/sB.當小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力為15ND.若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過4m/s12345678910

123456789105.（多選）如圖甲所示，某體操運動員用一只手抓住單杠，伸展身

體，以單杠為軸做圓周運動。該運動員運動到最高點時，用力傳感

器測得他與單杠間彈力大小為F，用速度傳感器記錄他在最高點的

速度大小為v，得到F-v2圖像如圖乙所示。g取10m/s2，則下列說法

中正確的是（

）12345678910A.該運動員的質量為65kgB.該運動員的重心到單杠的距離為0.9mC.當該運動員在最高點的速度為4m/s時，單杠對他的彈力方向向上D.當該運動員在最高點的速度為4m/s時，單杠對他的彈力方向向下12345678910

12345678910題型三

斜面上圓周運動的臨界極值問題6.如圖，有一傾斜的勻質圓盤（半徑足夠大），盤面與水平面的夾角

為θ，繞過圓心并垂直于盤面的轉軸以角速度ω勻速轉動，有一物體

（可視為質點）與盤面間的動摩擦因數為μ（設最大靜摩擦力等于

滑動摩擦力），重力加速度為g。要使物體能與圓盤始終保持相對

靜止，則物體與轉軸間最大距離為（

）12345678910

123456789107.如圖所示，長為l的輕桿兩端各固定一個質量均為m的小球a、b，系

統置于傾角為θ的光滑斜面上，且桿可繞位于中點O的轉軸平行于斜

面轉動，當小球a位于最低點時給系統一初始角速度ω0，不計一切

阻力，則（

）A.在輕桿轉過180°的過程中，角速度逐漸減小B.只有ω0大于某臨界值，系統才能做完整的圓周運

動C.輕桿受到轉軸的力的大小始終為2mgsinθD.輕桿受到轉軸的力的方向始終在變化12345678910解析：

由題意可知，在轉動過程中，系統的重力勢能不變，那

么當系統有初始角速度時，系統的動能也不變，因此系統始終勻速

轉動，故A、B錯誤；選兩球及桿作為系統，根據牛頓第二定律有F

－2mgsinθ＝man＋m（－an），解得F＝2mgsinθ，而輕桿受到轉軸

的力的方向始終沿著斜面向上，故C正確，D錯誤。12345678910

8.如圖所示，疊放在水平轉臺上的物體A、B及物體C能隨轉臺一起以

角速度ω勻速轉動，A、B、C的質量分別為3m、2m、m，A與B、B

和C與轉臺間的動摩擦因數都為μ，A和B、C離轉臺中心的距離分別

為r和1.5r。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物體A、B、C均可視為

質點，重力加速度為g，下列說法正確的是（

）A.B對A的摩擦力一定為3μmgB.B對A的摩擦力一定為3mω2rD.若轉臺的角速度逐漸增大，最先滑動的是A物體12345678910

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123456789109.如圖所示，餐桌中心是一個半徑為r＝1.5m的圓盤，

圓盤可繞中心軸轉動，餐桌其余部分不轉動，近似

認為圓盤與餐桌在同一水平面內且兩者之間的間隙

可忽略不計。已知放置在圓盤邊緣的小物體與圓盤

的動摩擦因數為μ1＝0.6，與餐桌的動摩擦因數為μ2＝0.225，餐

桌離地高度為h＝0.8m。設小物體與圓盤以及餐桌之間的最大靜摩

擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。12345678