2022-2023學(xué)年上學(xué)期期中聯(lián)考九年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共10小題；每小題3分，共30分）1.若關(guān)于x的方程為一元二次方程，則a滿(mǎn)足（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義知：二次項(xiàng)系數(shù)非零，即可求得a滿(mǎn)足的條件．【詳解】由題意知：，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，其一般形式為：，掌握定義是本題的關(guān)鍵，特別注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)條件．2.如果2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則n的值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次方程的解的定義，將代入關(guān)于的方程，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：是方程的解，，．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．3.在下列圖案中，屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形．根據(jù)定義逐一判斷即可．【詳解】A．是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確；B．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形定義，解決本題的關(guān)鍵是找出對(duì)稱(chēng)中心．4.拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為即可得到結(jié)果．【詳解】∵二次函數(shù)解析式為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(5，m)與點(diǎn)B(-5，-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則m的值為（）A.3 B.-3 C.5 D.-5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得．【詳解】解：∵點(diǎn)A(5，m)與點(diǎn)B(-5，-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，即m為3，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．6.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則n的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．7.拋物線(xiàn)y＝x2向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式是（）A.y＝（x+1）2﹣2 B.y＝（x﹣1）2+2C.y＝（x﹣1）2﹣2 D.y＝（x+1）2+2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律（左加右減，上加下減）進(jìn)行解答即可．【詳解】拋物線(xiàn)y＝x2向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得y＝（x+1）2+2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的平移以及拋物線(xiàn)解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．8.如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（）.A.（32﹣2x）（20﹣x）=570 B.32x+2×20x=32×20﹣570C.（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D.32x+2×20x﹣2x2=570【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，觀(guān)察圖形，列出方程即可.【詳解】解：設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意得：(32?2x)(20?x)=570，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)題意列方程.理解題意是解題的關(guān)鍵.9.對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“共生數(shù)”．例如：四位數(shù)2156，因?yàn)?×6=2×（1+5），所以2156是“共生數(shù)”．有一個(gè)四位數(shù)為“共生數(shù)”，它的千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字相等，百位上的數(shù)字比千位上的數(shù)字多3，十位上的數(shù)字比個(gè)位上數(shù)字的一半少1，則這個(gè)“共生數(shù)”四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為a，由題意可分別表示出十位、百位及千位上的數(shù)字，再由“共生數(shù)”可得到方程，解方程即可．【詳解】設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為a，由題意得：十位上的數(shù)字為、百位及千位上的數(shù)字分別為與a，由此數(shù)是“共生數(shù)”，則得方程：，解方程得：或（舍去），即這個(gè)“共生數(shù)”四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是新定義問(wèn)題，考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解新定義的含義并正確列出方程是關(guān)鍵．10.已知大小一樣的矩形和矩形如圖1擺放，，現(xiàn)在把矩形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，若，則的值為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)與交于點(diǎn)H，由已知可得、都是等腰直角三角形，由勾股定理可得、的長(zhǎng)，從而可求得的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)H，如圖，∵四邊形、四邊形都是矩形，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，同理，是等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，由勾股定理得：，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，由題意得到若干個(gè)等腰直角三角形是問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11.已知方程，則方程的兩個(gè)根是，______．【答案】6【解析】【分析】由因式分解法解一元二次方程的方法即可求解．【詳解】由題意得：或，解得：，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ顷P(guān)鍵．12.若是二次函數(shù)，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義：形如的函數(shù)叫二次函數(shù)，從三個(gè)方面：①含有一個(gè)未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)為2次；③是一個(gè)整式理解即可得到答案．【詳解】解：是二次函數(shù)，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，從三個(gè)方面：①含有一個(gè)未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)為2次；③是一個(gè)整式去理解概念是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13.如圖，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°后得到，若，則的度數(shù)是______．【答案】##30度【解析】【分析】根據(jù)將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，可得，即可得出答案．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．14.如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【答案】10【解析】【分析】成績(jī)就是當(dāng)高度y=0時(shí)x的值，所以解方程可求解．【詳解】解：當(dāng)y=0時(shí)，，解得：（不合題意，舍去），所以推鉛球的距離是10米；故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，滲透了函數(shù)與方程相結(jié)合的解題思想方法．15.已知二次函數(shù)．（），下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值；③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)；④如果，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，其中，正確的結(jié)論有______（填序號(hào)即可）．【答案】①②④【解析】分析】①把代入即可判斷，②根據(jù)開(kāi)口方向即可判斷，③寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸方程后即可判斷，④根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口方向，增減性即可判斷．【詳解】解：當(dāng)，二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，故①正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，二次函數(shù)有最小值，故②正確，符合題意；∵此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，故③錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故④正確，不符合題意；綜上所述，①②④正確，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、增減性規(guī)律，這是進(jìn)一步研究二次函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)．16.定義：在同一平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離．如圖，在平面內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊，點(diǎn)為三角形內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，在外有一點(diǎn)，，當(dāng)?shù)冗吚@著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)到的最短距離的取值范圍為_(kāi)____________________．【答案】【解析】【分析】由題意以及正三角形的性質(zhì)得過(guò)正三角形各邊的中點(diǎn)時(shí)，最大；過(guò)正三角形的頂點(diǎn)時(shí)，最小，分別在兩種情況下求出的值即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)為三角形內(nèi)角平分線(xiàn)交點(diǎn)，故為外接圓的圓心，如圖所示：設(shè)的中點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)與邊上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中，最小，此時(shí)最大；如圖所示：過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與邊上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中，最大，此時(shí)最小；下面我們具體求解的最大值與最小值：①連接，如圖所示：∵正邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為三角形內(nèi)角平分線(xiàn)交點(diǎn)，的中點(diǎn)是，∴，，，∴，∵，∴，即的最大值為；②連接，過(guò)作于，如圖所示：∵正邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為三角形內(nèi)角平分線(xiàn)交點(diǎn)，，∴，，，∴，，∵，∴，即的最小值為；綜上所述，的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，外心的定義及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含角的直角三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意得出最大、最小時(shí)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8小題，共72分）17解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【小問(wèn)1詳解】∵∴，解得，【小問(wèn)2詳解】∵∴解得，【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．18.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）當(dāng)時(shí)，判斷方程根的情況；（2）若該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求n的值．【答案】（1）該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，原方程為，∴，∴該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；【小問(wèn)2詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，．（1）畫(huà)出關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的，并寫(xiě)出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；（2）直接寫(xiě)出面積為_(kāi)_____；（3）將繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的橫縱坐標(biāo)的相反數(shù)，確定點(diǎn)坐標(biāo)后，連接各點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到所求圖形；（2）如圖所示（見(jiàn)詳解），利用“割補(bǔ)法”，則，由此即可求解；（3），，繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并作連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的的各點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，如圖所示，即為所求，∴的坐標(biāo)為．【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，利用“割補(bǔ)法”，∴，∴，∴的面積為．【小問(wèn)3詳解】解：∵，，繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，，∴如圖所示，連接，，，設(shè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則從點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的距離相等，且，∴，∴在中，，∴，即點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，∴旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)上，即旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)上，如圖所示，∴旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變換，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的變換，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，“割補(bǔ)法”求面積是解題的關(guān)鍵．20.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求a的值；（2）求此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；（3）當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】（1）1（2）直線(xiàn)（3）【解析】【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，即可求得a的值；（2）由即可求得對(duì)稱(chēng)軸；（3）求得拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得x的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，得：，解得：；即a的值為1．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，函數(shù)為，而，所以此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．【小問(wèn)3詳解】令，解得：，，即拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為與，∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．21.如圖是由小正方形組成6×5的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．點(diǎn)A、B，C，D均在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示．（1）如圖1，畫(huà)出線(xiàn)段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的線(xiàn)段，（點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F），再在上找一點(diǎn)G，使；（2）如圖2，在A(yíng)C上找一點(diǎn)H，使，再在上找一點(diǎn)P，使．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）易得點(diǎn)B、C繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F，連接即可；把F點(diǎn)向上平移兩格得點(diǎn)H，連接，則與的交點(diǎn)為G，即點(diǎn)G滿(mǎn)足條件；（2）把C點(diǎn)向左平移2格得點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)H，則點(diǎn)H滿(mǎn)足條件；把點(diǎn)D向上移一格得到點(diǎn)N，連接交于P，則點(diǎn)P滿(mǎn)足條件．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，點(diǎn)B、C繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F，連接，則是線(xiàn)段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的線(xiàn)段；把F點(diǎn)向上平移兩格得點(diǎn)H，連接，與的交點(diǎn)為G，則，即點(diǎn)為所求作；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴過(guò)點(diǎn)D作的平行線(xiàn)即可．把C點(diǎn)向左平移2格得點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)H，則，所以；把點(diǎn)D向上移一格得到點(diǎn)N，連接交于P，易證，可證，則．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，學(xué)會(huì)分析并靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．22.某藥店在口罩銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：一款進(jìn)價(jià)為元/盒的口罩，銷(xiāo)售單價(jià)為元/盒時(shí)，每天可售出盒．藥店在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：若銷(xiāo)售單價(jià)每降價(jià)1元，則每天可多售出盒，設(shè)每盒降價(jià)x元（，x為整數(shù)）（1）降價(jià)后，每盒盈利元時(shí)，每天可售出盒（用含x的式子表示）；（2）為了盡快減少庫(kù)存，當(dāng)每盒降價(jià)多少元時(shí)，每天可盈利元?（3）在滿(mǎn)足藥店正常銷(xiāo)售的情況下，每盒降價(jià)多少元時(shí)，可取得最大利潤(rùn)，并求此時(shí)最大利潤(rùn)．【答案】（1），（2）3元（3）每盒降價(jià)2元時(shí)，可取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為元【解析】【分析】（1）每盒降價(jià)x元，則利潤(rùn)也降x元，由原利潤(rùn)與降價(jià)之差即得現(xiàn)在每盒的利潤(rùn)；由降價(jià)而增加的銷(xiāo)售量與原有銷(xiāo)售量之和即為現(xiàn)在每天的銷(xiāo)售量；（2）由題意列出方程，解方程即可；（3）設(shè)每天的利潤(rùn)為y元，可得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)關(guān)系式可求得利潤(rùn)的最大值．【小問(wèn)1詳解】解：未降價(jià)前，每盒的利潤(rùn)為（元），降價(jià)后每盒的利潤(rùn)為元；因銷(xiāo)售單價(jià)每降價(jià)1元，則每天可多售出30盒，所以銷(xiāo)售單價(jià)降價(jià)x元，則可增加銷(xiāo)售盒，所以現(xiàn)在每天的銷(xiāo)售量為盒；故答案為：，；【小問(wèn)2詳解】解：由題意得方程：，解方程得：，，為了減少庫(kù)存，則取，不合題意，答：為了盡快減少庫(kù)存，當(dāng)每盒降價(jià)3元時(shí)，每天可盈利450元；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)每天的利潤(rùn)為y元，由可得：，整理得：，∵，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；答：當(dāng)每盒降價(jià)2元時(shí)，可取得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)為元．【點(diǎn)睛】本題是銷(xiāo)售與利潤(rùn)實(shí)際問(wèn)題，考查了列代數(shù)式、解一元二次方程及二次函數(shù)的最值，理解題意，找到等量關(guān)系式列出方程與函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．23.如圖，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若且求的面積；（3）如圖3，將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至處，過(guò)D作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于F，若，直接寫(xiě)出的值為．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及，可得，再由已知可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，則由平行四邊形的性質(zhì)得，證明，可得，從而由已知面積關(guān)系可得，由勾股定理可求得的長(zhǎng)，從而可求得平行四邊形的面積；（3）連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得，則可得，設(shè)，由旋轉(zhuǎn)及勾股定理可分別求得、、，進(jìn)而可求得，由勾股定理求得，則最后可求得結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，如圖，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，即，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，即，∴，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：；∴，∴平行四邊形的面積為；；【小問(wèn)3詳解】連接，如圖，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，，，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)