貴州省畢節市大方縣三中2025屆高一數學第二學期期末學業質量監測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若，，，則（）A． B． C． D．2．圓心為的圓與圓相外切，則圓的方程為（）A． B．C． D．3．設為正數，為的等差中項，為的等比中項，則與的大小關為()A． B． C． D．4．某校高二理（1）班學習興趣小組為了調查學生喜歡數學課的人數比例，設計了如下調查方法：（1）在本校中隨機抽取100名學生，并編號1，2，3，…，100；（2）在箱內放置了兩個黃球和三個紅球，讓抽取到的100名學生分別從箱中隨機摸出一球，記住其顏色并放回；（3）請下列兩類學生站出來，一是摸到黃球且編號數為奇數的學生，二是摸到紅球且不喜歡數學課的學生。若共有32名學生站出來，那么請用統計的知識估計該校學生中喜歡數學課的人數比例大約是（）A．80% B．85% C．90% D．92%5．函數（，）的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A． B． C． D．6．若數列，若，則在下列數列中，可取遍數列前項值的數列為（）A． B． C． D．7．某校高一年級有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級的學生中隨機抽取25名學生進行問卷調查，則應抽取的女生人數為A．5 B．10 C．4 D．208．直線（，）過點(-1,-1),則的最小值為()A．9 B．1 C．4 D．109．已知是定義在上的奇函數，且當時，，那么（）A． B． C． D．10．《張丘建算經》中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布.A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為________12．把二進制數化為十進制數是：______．13．設，向量，，若，則__________．14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．15．___________.16．如圖,圓錐型容器內盛有水,水深,水面直徑放入一個鐵球后,水恰好把鐵球淹沒,則該鐵球的體積為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．三角比內容豐富，公式很多，若仔細觀察、大膽猜想、科學求證，你也能發現其中的一些奧秘.請你完成以下問題：（1）計算：,,；（2）根據（1）的計算結果，請你猜出一個一般的結論用數學式子加以表達，并證明你的結論，寫出推理過程.18．如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：.19．已知的內角所對的邊分別為，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.20．某科技創新公司在第一年年初購買了一臺價值昂貴的設備，該設備的第1年的維護費支出為20萬元，從第2年到第6年，每年的維修費增加4萬元，從第7年開始，每年維修費為上一年的125%．（1）求第n年該設備的維修費的表達式；（2）設，若萬元，則該設備繼續使用，否則須在第n年對設備更新，求在第幾年必須對該設備進行更新？21．已知函數（1）求函數的最小正周期；（2）若，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由正弦定理構造方程即可求得結果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理解三角形的問題，屬于基礎題.2、A【解析】

求出圓的圓心坐標和半徑，利用兩圓相外切關系，可以求出圓的半徑，求出圓的標準方程，最后化為一般式方程.【詳解】設的圓心為A，半徑為r，圓C的半徑為R,，所以圓心A坐標為，半徑r為3，圓心距為，因為兩圓相外切，所以有,故圓的標準方程為:,故本題選A.【點睛】本題考查了圓與圓的相外切的性質，考查了已知圓的方程求圓心坐標和半徑，考查了數學運算能力.3、B【解析】

由等差中項及等比中項的運算可得，，再結合即可得解.【詳解】解：因為為正數，為的等差中項，為的等比中項，則，，又，當且僅當時取等號，又，所以，故選：B.【點睛】本題考查了等差中項及等比中項的運算，重點考查了重要不等式的應用，屬基礎題.4、A【解析】

先分別計算號數為奇數的概率、摸到黃球的概率、摸到紅球的概率，從而可得摸到黃球且號數為奇數的學生，進而可得摸到紅球且不喜歡數學課的學生人數，由此可得估計該校學生中喜歡數學課的人數比例．【詳解】解：由題意，號數為奇數的概率為0.5，摸到黃球的概率為，摸到紅球的概率為那么按概率計算摸到黃球且號數為奇數的學生有個共有32名學生站出來，則有12個摸到紅球且不喜歡數學課的學生，不喜歡數學課的學生有：，喜歡數學課的有80個，估計該校學生中喜歡數學課的人數比例大約是：．故選：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、A【解析】

利用，求出，再利用，求出即可【詳解】，，，則有，代入得，則有，，，又，故答案選A【點睛】本題考查三角函數的圖像問題，依次求出和即可，屬于簡單題6、D【解析】

推導出是以6為周期的周期數列，從而是可取遍數列前6項值的數列．【詳解】數列，，，，，，，，，是以6為周期的周期數列，是可取遍數列前6項值的數列．故選：D.【點睛】本題考查數列的周期性與三角函數知識的交會，考查基本運算求解能力，求解時注意函數與方程思想的應用．7、B【解析】

直接利用分層抽樣按照比例抽取得到答案.【詳解】設應抽取的女生人數為，則，解得.故答案選B【點睛】本題考查了分層抽樣，屬于簡單題.8、A【解析】

將點的坐標代入直線方程：，再利用乘1法求最值【詳解】將點的坐標代入直線方程：，，當且僅當時取等號【點睛】已知和為定值，求倒數和的最小值，利用乘1法求最值。9、C【解析】試題分析：由題意得，，故，故選C．考點：分段函數的應用.10、B【解析】由題可知每天織的布的多少構成等差數列,其中第一天為首項,一月按30天計可得,從第2天起每天比前一天多織的即為公差.又,解得.故本題選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】

平分圓的直線過圓心，由此求得的等量關系式，進而利用基本不等式求得最小值.【詳解】由于直線始終平分圓的周長，故直線過圓的圓心，即，所以.【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎題.12、51【解析】110011（2）13、【解析】從題設可得，即，應填答案．14、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.15、【解析】

先將寫成的形式，再根據誘導公式進行求解.【詳解】由題意得：.故答案為：.【點睛】考查三角函數的誘導公式.，，,,.16、【解析】

通過將圖形轉化為平面圖形，然后利用放球前后體積等量關系求得球的體積.【詳解】作出相關圖形，顯然,因此，因此放球前，球O與邊相切于點M，故，則，所以，,所以放球后，而，而，解得.【點睛】本題主要考查圓錐體積與球體積的相關計算，建立體積等量關系是解決本題的關鍵，意在考查學生的劃歸能力，計算能力和分析能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2）.【解析】

（1）依據誘導公式以及兩角和的正弦公式即可計算出；（2）觀察（1）中角度的關系，合情推理出一般結論，然后利用兩角和的正弦公式即可證明．【詳解】（1）同理可得，，．（2）由（1）知，可以猜出：．證明如下：．【點睛】本題主要考查學生合情推理論證能力，以及誘導公式和兩角和的正弦公式的應用，意在考查學生的數學抽象素養和邏輯推理能力．18、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連、相交于點，證明四邊形為平行四邊形，得到，證明平面(2)證明平面推出【詳解】證明：(1)如圖，連、相交于點，，，，，，，∴四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，…(2)連因為三棱柱是直三棱柱，底面，平面，，，，，，平面，平面，.【點睛】本題考查了線面平行，線線垂直，線面垂直，意在考查學生的空間想象能力.19、（1）或；（2）、.【解析】

（1）由先求的值，再求角即可；（2）先由求出，再根據求出即可.【詳解】（1）由已知，又，所以，即，或；（2）因為，由可得，又因為，所以，即，總之、.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應用，屬常規考題.20、(1)(2)第9年【解析】

（1）將數列分為兩部分，分別利用等差數列和等比數列公式得到答案.（2）當時，恒成立，當時，，判斷是遞增數列，計算,得到答案.【詳解】（1）當時，數列是首項為20，公差為4的等差數列，；當時，數列是首項為，公比為的等比數列，又所以.因此第n年該設備的維修費的表達式因此為(2)設數列的前項和為，由等差及等比的求和公式得：當時，，此時恒成立，即