專題06幾何最值四大模型模型一：軸對(duì)稱最值模型模型二：直角之最值模型模型三：費(fèi)馬點(diǎn)最值模型模型四：面積法求定值模型一：將軍飲馬問題1.已知：如圖，定點(diǎn)A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度理由：在l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小.已知：如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周長(zhǎng)最小）解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，點(diǎn)P即為所求；理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.模型二：費(fèi)馬點(diǎn)【費(fèi)馬點(diǎn)問題】問題：如圖1，如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小？圖文解析：如圖1，把△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′．則△CPP′為等邊三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵點(diǎn)A′可看成是線段CA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BA′為定長(zhǎng)∴當(dāng)B、P、P′、A′四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小．最小值為BA.′【如圖1和圖2，利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.【知識(shí)應(yīng)用】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.模型一：軸對(duì)稱最值模型1.（春?廬江縣期末）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，BD＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EP+BP的最小值為（）A．4 B．2 C．2 D．82.（2022?埇橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為8，E為AB的中點(diǎn)，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+AP的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．43.（2022春?裕華區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值（）A．2 B．3 C．2 D．4．（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為的4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為?（）A． B． C． D．5．（2023?煙臺(tái)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，且AE＝CF，連結(jié)CE，DF，則CE+DF的最小值為（）A．26 B．25 C．24 D．22模型二：直角之最值模型6．（2023春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.87．（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH．若∠B＝45°，BC＝2，則GH的最小值為（）A． B． C． D．8．（2023秋?石景山區(qū)期末）如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠AEB＝90°，連接CE．若AB＝2，則CE長(zhǎng)的最小值為．9．（2023秋?洪洞縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)，M分別是AD，DE的中點(diǎn)，則FM的最小值為（）A．12 B．10 C．9.6 D．4.810．（2023秋?頭屯河區(qū)期末）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別是BC，CD上的一動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連結(jié)AE，BF，兩線交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值是（）A． B． C． D．11．（2023秋?海珠區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)，連接MD，則MD的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．312．（2023秋?建湖縣期中）如圖，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上滑動(dòng)，且DE＝6，若點(diǎn)M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4模型三：費(fèi)馬點(diǎn)最值模型13.（2023秋?白銀區(qū)期末）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．14．（2023秋?太和縣期末）如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PBC+∠PDC＝45°，則CP的最小值是（）A． B． C． D．模型四：面積法求定值15．（2023秋?東河區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．16.（2023春?東昌府區(qū)期中）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，M、N分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（）A． B． C． D．1．（2023?深圳模擬）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD＝EB＝8，BF＝2，則DE+CF的最小值為（）A．10 B． C． D．2．（2023春?邗江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF與EG交于點(diǎn)P．連接DP，則DP的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023春?南譙區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，邊AB，AD的長(zhǎng)分別為4和3，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，且EC＝BF，連接FC，當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，AE+FC的最小值為（）A．7 B． C．10 D．4．（2023?德陽）如圖，?ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PG的最小值是（）A．1 B． C． D．35．（2023春?常州期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且BE＝AF，則EF的最小值是（）A．2 B．3 C． D．6．（2023春?遵化市期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為（）A．5 B． C． D．7．（2023春?長(zhǎng)豐縣期末）如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE＝BC，點(diǎn)P是CE上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊BD，BC的距離之和PM+PN的值（）A．是定值 B．是定值8 C．有最小值 D．有最大值88．（2023春?廬江縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．11 B．12 C．13 D．149．（2023?福田區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝AM＝6，BC＝4，點(diǎn)N為線段AM上一點(diǎn)，且AN＝AM，連接BN和CM，則BN+CM的最小值為（）A． B．5 C． D．10．（2023?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC上的點(diǎn)，且DE＝CF，連接DF，BE，求DF+BE的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2+211．（2023春?梁園區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．212．（2023春?江陰市期末）如圖，E為正方形ABCD中BC邊上的一點(diǎn)，且AB＝12，BE＝4，M、N分別為邊CD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持MN⊥AE，則AM+NE的最小值為（）A．8 B．8 C．8 D．1213．（2023秋?萊西市期末）如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作EF⊥OC于點(diǎn)F，EG⊥OD于點(diǎn)G，連接FG，則FG的最小值為（）A．2.4 B．3 C．4.8 D．414.（2022春?海口期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝8，BD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．615．（2023春?孝南區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則PM的最小值為（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.416．（2023?蕪湖一模）如圖，在正方形ABCD中，已知邊AB＝5，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C重合），連接AE，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，則線段CF的最小值為（）?A．5 B． C． D．專題06幾何最值四大模型模型一：軸對(duì)稱最值模型模型二：直角之最值模型模型三：費(fèi)馬點(diǎn)最值模型模型四：面積法求定值模型一：將軍飲馬問題1.已知：如圖，定點(diǎn)A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度理由：在l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小.已知：如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周長(zhǎng)最小）解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，點(diǎn)P即為所求；理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.模型二：費(fèi)馬點(diǎn)【費(fèi)馬點(diǎn)問題】問題：如圖1，如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小？圖文解析：如圖1，把△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′．則△CPP′為等邊三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵點(diǎn)A′可看成是線段CA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BA′為定長(zhǎng)∴當(dāng)B、P、P′、A′四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小．最小值為BA.′【如圖1和圖2，利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.【知識(shí)應(yīng)用】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.模型一：軸對(duì)稱最值模型1.（春?廬江縣期末）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，BD＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EP+BP的最小值為（）A．4 B．2 C．2 D．8【答案】C【解答】解：如圖，設(shè)AC，BD相交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，∵AB＝4，∴AO＝2，連接DE交AC于點(diǎn)P，連接BP，作EM⊥BD于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分線，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中點(diǎn)，EM⊥BD，∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，∴DM＝DO+OM＝BO＝3，∴DE＝＝＝2，故選：C．2.（2022?埇橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為8，E為AB的中點(diǎn)，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+AP的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】B【解答】解：如圖，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，連接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為8，∴AB＝BC＝4，AB?CE′＝8，∴CE′＝2，在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，∵BE＝EA＝2，∴E與E′重合，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C關(guān)于BD對(duì)稱，∴當(dāng)P與P′重合時(shí)，P′A+P′E的值最小，最小值為CE＝2，故選：B．3.（2022春?裕華區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值（）A．2 B．3 C．2 D．【答案】D【解答】解：作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G，連接PG、PE，則PE＝PG，CE＝CG＝2，連接BG，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，則∠BCH＝∠CBH＝45°，∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3，∴HG＝3﹣2＝1，∴Rt△BHG中，BG＝＝，∵當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），∴PE+PF的最小值是．故選：D．4．（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為的4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為?（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性可知AE＝HE，HB＝AB＝4，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，AH＝8，DH＝，∴BF+DE最小值為4．故選：D5．（2023?煙臺(tái)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，且AE＝CF，連結(jié)CE，DF，則CE+DF的最小值為（）A．26 B．25 C．24 D．22【答案】A【解答】解：如圖，連接BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴CE+DF＝CE+BE，如圖，作點(diǎn)B關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接CB'，CB'即為CE+BE的最小值，∵AB＝12，AD＝10，∴BB'＝24，BC＝10，∴，∴CE+DF的最小值為26，故A正確．故選：A．模型二：直角之最值模型6．（2023春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8【答案】D【解答】解：如圖，連接AD．∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴．∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴四邊形AMDN為矩形，∴AD＝MN，∴當(dāng)AD最小時(shí)，MN最小．當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)S△ABC＝AB?AC＝AD?BC，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8，∴線段MN的最小值為4.8．故選：D．7．（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH．若∠B＝45°，BC＝2，則GH的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，∴GH是△AEF的中位線，∴，當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF最小，GH得到最小值，則∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴，∴，即GH的最小值為，故選：D8．（2023秋?石景山區(qū)期末）如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠AEB＝90°，連接CE．若AB＝2，則CE長(zhǎng)的最小值為﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：取AB中點(diǎn)O，連接OC，∵AB＝2，∴OB＝1，∴OC＝＝＝，∵∠AEB＝90°，∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)E在OC上時(shí)，CE有最小值，∴CE的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．9．（2023秋?洪洞縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)，M分別是AD，DE的中點(diǎn)，則FM的最小值為（）A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，∵F，M分別是AD，DE的中點(diǎn)，∴FM＝，∴當(dāng)AE取最小值時(shí)，F(xiàn)M的值最小，由垂線段最短可知，當(dāng)AE⊥BC于點(diǎn)E時(shí)，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故選：D．10．（2023秋?頭屯河區(qū)期末）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別是BC，CD上的一動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連結(jié)AE，BF，兩線交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，當(dāng)CPG在同一直線上時(shí)，CP有最小值，如圖所示：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴BC＝4，BG＝2，∴CG＝＝＝2，∵PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2﹣2，故選：A．11．（2023秋?海珠區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)，連接MD，則MD的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑作圓，交BD于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵點(diǎn)A和點(diǎn)M關(guān)于BE對(duì)稱，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值為4．故選：C．12．（2023秋?建湖縣期中）如圖，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上滑動(dòng)，且DE＝6，若點(diǎn)M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】A【解答】解：如圖，連接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵DE＝6，點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，∴CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣3＝2．故選：A．模型三：費(fèi)馬點(diǎn)最值模型13.（2023秋?白銀區(qū)期末）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．【答案】D【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等邊三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵M(jìn)D＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故選：D．14．（2023秋?太和縣期末）如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PBC+∠PDC＝45°，則CP的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，在凹四邊形BCDP中，∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°，∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°，∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°，得點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，使得∠BPD＝135°，即點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)，以A為圓心，AB為半徑的圓弧上，由圖可得AP+CP≥AC，當(dāng)點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CP取得最小值，最小值為AC﹣AP，在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝1，∴AC＝＝，∵AP＝AB＝1，∴CP＝AC﹣AP＝．故選：D．模型四：面積法求定值15．（2023秋?東河區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面積為12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴△AOD的面積為3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故選：C．16.（2023春?東昌府區(qū)期中）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，M、N分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴AB＝＝5，過N作NQ⊥AB于Q交BD于P，過P作PM⊥BC于M，則PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小，∵S菱形ABCD＝×6×8＝5NQ，∴NQ＝，即PM+PN的最小值是，故選：D．1．（2023?深圳模擬）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD＝EB＝8，BF＝2，則DE+CF的最小值為（）A．10 B． C． D．【答案】A【解答】解：在BC上截取BG＝BF，連接BE，CE，∵四邊形ABCD是正方形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，∵BF＝BG＝2，∴CG＝BC﹣BG＝6，∵EB＝8，BF＝2，∴點(diǎn)E在以B為圓心，8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在以B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在△BGE和△BFC中，，∴△BGE≌△BFC（SAS），∴∠BEG＝∠BCF，∠BGE＝∠BFC，BE＝BC，∴∠EGC＝∠CFE，∵BE＝BC＝8，∴∠BEC＝∠BCE，即∠FEC＝∠GCE，∴∠FCE＝∠GEC，又CG＝EF＝6，∠EGC＝∠CFE，∴△FCE≌△GEC（ASA），∴CF＝EG，當(dāng)E，G，D三點(diǎn)共線時(shí)，DE+CF取得最小值，最小值為DG的長(zhǎng)，∴DG＝＝＝10，故選：A．2．（2023春?邗江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF與EG交于點(diǎn)P．連接DP，則DP的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，取BE的中點(diǎn)Q，連接QP、QD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四邊形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，在Rt△BAF和Rt△EMG中，，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD，∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BEG＝90°，∴∠EPF＝90°，∴BF⊥EG，∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中點(diǎn)，∴，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝3﹣1＝2，∴QB＝QE＝1，∵QD﹣QP≤DP，∴當(dāng)Q、D、P共線時(shí)，DP有最小值，∵，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，∴，∴，∴PD的最小值為．故選：A．3．（2023春?南譙區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，邊AB，AD的長(zhǎng)分別為4和3，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，且EC＝BF，連接FC，當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，AE+FC的最小值為（）A．7 B． C．10 D．【答案】B【解答】解：延長(zhǎng)CB到M，使得BM＝BC，過點(diǎn)M作MT⊥MC，且MT＝AB，連接BT，TF，CT．在△ABC和△TMB中，，∴△ABC≌△TMB（SAS），∴AC＝BT，∠ACB＝∠TBM，∵∠ACB+∠ACD＝90°，∠TBM+∠TBF＝90°，∴∠TBF＝∠ACD，在△ACE和△TBF中，，∴△ACE≌△TBF（SAS），∴AE＝FT，∴AE+CF＝FT+CF，∵CF+FT≥CT，CT＝，∴AE+CF≥2，∴AE+CF的最小值為2．故選：B．4．（2023?德陽）如圖，?ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PG的最小值是（）A．1 B． C． D．3【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝BD，∴OD＝OC，∵DF∥AC，OD∥CF，∴四邊形OCFD為菱形，∵點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值．過D點(diǎn)作DM⊥AC于M，過G點(diǎn)作GP⊥AC與P，則GP∥MD，∵矩形ABCD的面積為12，AC＝6，∴2×AC?DM＝12，即2××6?DM＝12，解得DM＝2，∵G為CD的中點(diǎn)，∴GP為△DMC的中位線，∴GP＝DM＝1，故PG的最小值為1．故選：A．5．（2023春?常州期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且BE＝AF，則EF的最小值是（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解答】解：連接AC，作CG⊥AD于點(diǎn)G，則∠CGD＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝60°，∴AB＝CB＝AD＝CD＝6，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴∠ACB＝∠B＝∠CAF＝60°，CB＝CA＝CD＝6，DG＝AG＝AD＝×6＝3，∴CG＝＝＝3，∵CF≥CG，∴CF≥3，∴CF的最小值是3，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝60°，∴△ECF是等邊三角形，∴EF＝CF，∴EF的最小值為3，故選：D．6．（2023春?遵化市期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為（）A．5 B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB?h＝AB?AD，∴h＝AD＝2，∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝4，即PA+PB的最小值為4．故選：D．7．（2023春?長(zhǎng)豐縣期末）如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE＝BC，點(diǎn)P是CE上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊BD，BC的距離之和PM+PN的值（）A．是定值 B．是定值8 C．有最小值 D．有最大值8【答案】A【解答】解：如圖，連接BP，作EF⊥BC于點(diǎn)F，則∠EFB＝90°，∵正方形的性質(zhì)可知∠EBF＝45°，∴△BEF為等腰直角三角形，∵正方形的邊長(zhǎng)為8，∴BE＝BC＝8，∴BF＝EF＝BE＝4，∵PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，∴BE?PM+BC?PN＝BC?EF，∵BE＝BC，∴PM+PN＝EF＝4．則點(diǎn)P到邊BD，BC的距離之和PM+PN的值是定值4．故選：A．8．（2023春?廬江縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解答】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，則PC+QD＝PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE＝AB＝6，連接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，連接CE，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值為13．故選：C．9．（2023?福田區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝AM＝6，BC＝4，點(diǎn)N為線段AM上一點(diǎn)，且AN＝AM，連接BN和CM，則BN+CM的最小值為（）A． B．5 C． D．【答案】A【解答】解：在AB上截取BE＝MN，連接ME，CE，∵，AB＝AM＝6，∴AN＝4，MN＝2，∴BE＝MN＝2，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，∴AE＝AN，∵AB＝AM，∠BAN＝∠MAE，∴△BAN≌△∠MAE（SAS），∴BN＝ME，∴BN+CM＝ME+CM≥CE，當(dāng)C、M、E在一條直線上時(shí)，ME+CM的最小值為CE的長(zhǎng)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，由勾股定理得，即BN+CM的最小值為，故選：A．10．（2023?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC上的點(diǎn)，且DE＝CF，連接DF，BE，求DF+BE的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【答案】B【解答】解：延長(zhǎng)AB到G，使BG＝AB＝2，連接DG交BC于F'，連接GF，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝BG＝2，∠ABC＝∠FBG＝∠C＝90°，∴DG＝＝＝2，在△BCE和△GBF中，，∴△BCE≌△GBF（SAS），∴BE＝FG，∴DF+BE＝DF+FG，∴當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到F'，即D、F、G共線時(shí)，DF+FG最小，此時(shí)DF+BE最小，最小值為DG的長(zhǎng)，∴DF+BE最小值為2．故選：B．11．（2023春?梁園區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【解答】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1＝DP1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP＝FP．由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，∴當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值為BP1的長(zhǎng)．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故選：C．12．（2023春?江陰市期末）如圖，E為正方形ABCD中BC邊上的一點(diǎn)，且AB＝12，BE＝4，M、N分別為邊CD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持MN⊥AE，則AM+NE的最小值為（）A．8 B．8 C．8 D．12【答案】C【解答】解：過點(diǎn)D作DH∥MN，交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG∥MN，過點(diǎn)M作MG∥NE，兩直線交于點(diǎn)G，連接AG，如圖，∵四邊