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甘肅省白銀市育正學校高三新高考最后一次模擬試卷數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)fxA. B.C. D.2.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為,若,,則()A. B. C. D.3.已知函數(shù)滿足,當時,,則()A.或 B.或C.或 D.或4.已知函數(shù)的定義域為,且,當時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.85.已知曲線的一條對稱軸方程為,曲線向左平移個單位長度,得到曲線的一個對稱中心的坐標為,則的最小值是()A. B. C. D.6.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.407.已知,是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于兩點.若依次構成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.8.已知雙曲線的右焦點為,過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,延長交右支于點,若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.9.下列結論中正確的個數(shù)是()①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列通項公式為,則該數(shù)列是等差數(shù)列;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則;③在中,“”是“”的必要不充分條件;④若,則的最大值為2.A.1 B.2 C.3 D.010.已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上,其底面邊長為4,、、分別為側(cè)棱,,的中點.若在三棱錐內(nèi),且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍,則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為()A. B. C. D.11.一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進價元,乙每件進價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件12.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點為,過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點,,若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為,則的值為_________.14.點是曲線()圖象上的一個定點,過點的切線方程為,則實數(shù)k的值為______.15.已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與圖象的交點為,,…,,則______.16.設復數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,若是的共軛復數(shù),則____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知()過點,且當時,函數(shù)取得最大值1.(1)將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù),求函數(shù)的表達式;(2)在(1)的條件下,函數(shù),求在上的值域.18.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程;(2)求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.19.(12分)已知圓外有一點,過點作直線.(1)當直線與圓相切時,求直線的方程;(2)當直線的傾斜角為時,求直線被圓所截得的弦長.20.(12分)已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.21.(12分)(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)在平面直角坐標系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)過點且與直線平行的直線交于,兩點,求點到,的距離之積.22.(10分)已知函數(shù)的最小正周期是,且當時,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的圖象(要列表).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由f12=e-14>0排除選項D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項D,f-1=-e【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及x→02、C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進而得到數(shù)列的通項和前項和,根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列,所以,故即,由可得或,因為為遞增數(shù)列,故符合.此時,所以或(舍,因為為遞增數(shù)列).故,.故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.3、C【解析】

簡單判斷可知函數(shù)關于對稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計算,結合對稱性,可得結果.【詳解】由,可知函數(shù)關于對稱當時,,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關于對稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗分析能力,屬中檔題.4、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關系及指數(shù)冪運算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用,屬于中檔題.5、C【解析】

在對稱軸處取得最值有,結合,可得,易得曲線的解析式為,結合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應用,涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對稱性,考查學生數(shù)形結合、數(shù)學運算的能力,是一道中檔題.6、B【解析】

,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,考查等差數(shù)列基本量的計算,是一道容易題.7、D【解析】

如圖所示,設依次構成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.8、D【解析】

設雙曲線的左焦點為,連接,,,設,則,,,和中,利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設雙曲線的左焦點為,連接,,,設,則,,,,根據(jù)對稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.9、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義,線面關系,余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可;【詳解】解:①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列的通項公式為,可得為一次項系數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列,故①正確;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則與可以相交或平行,故②錯誤;③在中,,而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要條件,故③錯誤;④若,則,所以,當且僅當時取等號,故④正確;綜上可得正確的有①④共2個;故選:B【點睛】本題考查命題的真假判斷,主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),考查運算能力和推理能力,屬于中檔題.10、D【解析】

如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面,計算,由勾股定理解得,此外接球的體積為,三棱錐體積為,得到答案.【詳解】如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中,過作底面的垂線,垂足為,與平面交點記為,連接、.依題意,所以,設球的半徑為,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的體積為,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距離為,則,所以三棱錐體積為,所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選:D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,三棱錐體積,球體積,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.11、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù),數(shù)形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負數(shù),并準確的畫出可行域,本題是一道基礎題.12、A【解析】

化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式,利用所得到的圖象關于軸對稱列方程即可求得,問題得解。【詳解】函數(shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

設,寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得,由拋物線定義得焦點弦長,求得,再寫出的垂直平分線方程,得,從而可得結論.【詳解】拋物線的焦點坐標為,直線的方程為,據(jù)得.設,則.線段垂直平分線方程為,令,則,所以,所以.故答案為:1.【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題,根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關鍵.14、1【解析】

求出導函數(shù),由切線斜率為4即導數(shù)為4求出切點橫坐標,再由切線方程得縱坐標后可求得.【詳解】設,由題意,∴,,,即,∴,.故答案為:1.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,函數(shù)圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數(shù)值.本題屬于基礎題.15、18【解析】

由題意得函數(shù)f(x)與g(x)的圖像都關于點對稱,結合函數(shù)的對稱性進行求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)關于點對稱,,函數(shù)關于點對稱,所以兩個函數(shù)圖象的交點也關于點(1,2)對稱,與圖像的交點為,,…,,兩兩關于點對稱,.故答案為:18【點睛】本題考查了函數(shù)對稱性的應用,結合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵,屬于中檔題.16、【解析】

由于,則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

試題分析:(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為,則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得:,結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域為.試題解析:(1)由函數(shù)取得最大值1,可得,函數(shù)過得,,∵,∴,.(2),,,值域為.18、(1),(2)最大值,最小值【解析】

(1)由曲線的參數(shù)方程,得兩式平方相加求解,根據(jù)直線的極坐標方程,展開有,再根據(jù)求解.(2)因為曲線C是一個半圓,利用數(shù)形結合,圓心到直線的距離減半徑即為最小值,最大值點由圖可知.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得:因為直線的極坐標方程為.所以所以即(2)如圖所示:圓心C到直線的距離為:所以圓上的點到直線的最小值為:則點M(2,0)到直線的距離為最大值:【點睛】本題主要考查參數(shù)方程,普通方程及極坐標方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關系,還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)或(2).【解析】

(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結果;(2)先求出直線方程,然后求得圓心與直線的距離,由弦長公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當斜率不存在時,直線的方程為,滿足題意當斜率存在時,設直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當直線的傾斜角為時,直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長為【點睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式及弦長公式,培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.20、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)求解出導函數(shù),分析導函數(shù)的單調(diào)性,再結合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可;(2)根據(jù)導函數(shù)零點,判斷出的單調(diào)性,從而可確定,利用以及的單調(diào)性,可確定出之間的關系,從而的值可求.【詳解】(1)證明:∵,∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,令,,則在上單調(diào)遞減,,故.令,則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.∴.由(*)式得.∴,顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù),方程有且僅有唯一的

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