微專題09巧妙借助復數的幾何意義求與模有關的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：單模長最值問題題型二：多模長之和差最值問題題型三：模長的范圍問題【方法技巧與總結】求復數模的范圍與最值問題是熱點問題，其解題策略是：（1）把復數問題實數化、直觀化、熟悉化，即將復數問題轉化為實數問題來處理，轉化為實數范圍內，求模的范圍與最值問題來解決；（2）發掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉化為熟悉的問題來解答；（3）利用三角函數解決.【典型例題】題型一：單模長最值問題【典例1-1】（2024·高一·江蘇蘇州·期末）設是虛數單位，若復數，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】A【解析】因為，所以=，當時，.故選：A.【典例1-2】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）在復平面內，復數滿足，i為虛數單位，則的最小值為．【答案】【解析】因為，所以復數對應的點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，又的幾何意義是表示復數對應的點與點之間的距離，其最小值為原點到點之間的距離減去圓的半徑，故的最小值為.故答案為：.【變式1-1】（2024·高一·湖南長沙·期末）已知復數滿足，則的最小值是.【答案】【解析】因為，則，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.【變式1-2】（2024·高一·全國·單元測試）已知，求的最大值和最小值分別為.【答案】，【解析】設，則，所以，又，所以，即，可知復平面內對應的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，則，；所以的最大值和最小值分別為，.故答案為：，.【變式1-3】（2024·高一·全國·單元測試）若|，則的最小值為.【答案】1【解析】設，則.所以，即，所以，所以，故當時，的最小值為1.故答案為：1.題型二：多模長之和差最值問題【典例2-1】（2024·上海浦東新·模擬預測）已知復數，其中.則的最小值為.【答案】【解析】在圖中作出復數，和的位置，分別為點,令復數所在復平面上的點為，易得，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為菱形，，，所以復數所表示的點在線段上（包括端點），因為四邊形為菱形，所以垂直平分，所以有.于是由三角不等式，，當且僅當，即時等號成立，此時.故答案為：4.【典例2-2】（2024·浙江·高一嘉興一中校聯考）已知復數滿足，求的最小值______．【答案】13【解析】因為復數滿足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，則上式表示復平面上的點到點的距離和，因為關于實軸的對稱點為，所以因為，當三點共線時取等號，所以的最小值為13，即的最小值為13，故答案為：13【變式2-1】（2024·全國·高三專題練習）已知復數滿足，則的最小值為_________.【答案】【解析】設，因為，所以，所以或，因為，所以的軌跡為，根據復數的幾何意義可知表示復平面內點到與的距離和；顯然當，即時，故答案為：【變式2-2】著名的費馬問題是法國數學家皮埃爾·德費馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當的三個內角均小于120°時，則使得的點即為費馬點．根據以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則表示點到三頂點、、的距離之和.依題意結合對稱性可知的費馬點位于虛軸的負半軸上，且，則.此時.故選：B.題型三：模長的范圍問題【典例3-1】（2024·全國·高一專題練習）若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(),則其幾何意義為平面內一動點到兩定點，距離之差，由圖可知，當，，三點共線時，距離之差最大，當時，最小，則．的取值范圍是．故答案為：．【典例3-2】（2024·高一課時練習）已知復數滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】復數滿足，表示以原點為圓心，以3為半徑的圓，則的表示圓上的點到和的距離，由圖象可知，當點在處最小，最小為:，當點在處最大，最大為，則的取值范圍是，故答案為：【變式3-1】（2024·浙江寧波·高一效實中學校考）已知復數，其中為虛數單位.(1)當，且是純虛數，求的值；(2)當時，求的取值范圍.【解析】(1)是純虛數，故有，經計算有，;(2),所以有，如下圖，根據幾何意義，可知.【變式3-2】（2024·山西晉中·高二榆次一中校考開學考試）已知z為復數，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在復平面內，復數z對應的點的軌跡是以原點O為圓心，以1為半徑的圓，表示復平面內的點與點之間的距離.因為點與原點O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因為復數z滿足，不妨設，,則.因為，所以，所以的取值范圍是.故選:C.【變式3-3】（2024·全國·高三專題練習）復數z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】復數表示復平面上的點z到和的距離之和是4的軌跡是橢圓，則，的幾何意義是復平面上的點到坐標原點的距離，所以.故選：A.【過關測試】1．（2024·高一·廣東廣州·期末）瑞士數學家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然對數的底數，i是虛數單位，該公式被稱為歐拉公式．根據歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．B．的最大值為2C．復數在復平面內對應的點位于第二象限D．若，在復平面內分別對應點，，則面積的最大值為【答案】B【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，當時，的最大值為2，故B正確；對于C，，所以復數在復平面內對應的點位于第一象限，故C錯誤；對于D，，，，，所以的面積為：.則面積的最大值為，故D錯誤.故選：B.2．（多選題）（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期末）已知復數（為虛數單位）在復平面內對應的點為，復數滿足，則下列結論正確的是（

）A．點的坐標為B．（為的共軛復數）C．的最大值為D．的最小值為【答案】ABC【解析】對于A選項，因為，則，A對；對于B選項，由共軛復數的定義可得，B對；對于CD選項，設在復平面內的點，由復數滿足，，的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓上.故的最大值為到的距離與半徑的和為，最小值為到的距離與半徑的差為，故C對，D錯.故選：ABC.3．（多選題）（2024·高一·河北石家莊·期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若復數滿足，則C．若，則復數一定為實數D．若復數滿足，則最大值為【答案】ACD【解析】A選項，由于，根據復數相等的知識可知，A選項正確.B選項，若，則，但，B選項錯誤.C選項，設，由得，則，解得，所以為實數，C選項正確.D選項，由于，所以對應點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，而表示圓上的點到原點的距離，所以最大值為，D選項正確.故選：ACD4．（多選題）（2024·高一·廣東東莞·階段練習）設z為復數，則下列命題中正確的是（）A． B．C．若，則的最大值為2 D．若復數，則【答案】ACD【解析】對于A，設()，則，所以，而，所以成立，故A正確；對于B，設()，當均不為時，為虛數，而為實數，所以不成立，故B錯誤；對于C，，則復數對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義為復數對應的點與兩點間的距離，所以，如圖可知，當點P為時，最大，取最大值，最大值為2，故C正確；對于D，設()，（），由，則，則；；所以，故D正確.故選：ACD.5．（多選題）（2024·高一·江蘇無錫·期末）（多選）在復平面內，下列說法正確的是（

）A．若復數z滿足，則 B．若復數、滿足，則C．若，且，則 D．若，則的最大值為【答案】AD【解析】對于A選項，因為，則，得，故A正確；對于B選項，當，時，不滿足，排除B選項；對于C選項，設，，，則，那么，，那么，由于，但，排除C選項；對于D選項，若，如圖：的幾何意義為圓上的動點到定點的距離，則的最大值為.故選：AD.6．（多選題）（2024·高一·重慶江津·期末）已知復數，，則（

）A． B．若，則的最大值為2.C． D．在復平面內對應的點在第二象限【答案】AC【解析】對于A：復數，，，，又，，A正確；對于B：設，則，即，且，，即的最大值為3，B錯誤；對于C：，，又，則，故C正確；對于D：，其在復平面對應的點為，在第一象限，D錯誤.故選：AC.7．（2024·高一·江蘇鹽城·階段練習）在復平面內，已知復數滿足（為虛數單位），記對應的點為點，z對應的點為點，則點與點之間距離的最小值【答案】【解析】設，，,即，化簡整理可得，復數的對應點的軌跡，對應的點為點，點與點之間距離的最小值為，故答案為：8．（2024·高一·遼寧·階段練習）已知復數滿足，則（為虛數單位）的最大值為．【答案】6【解析】設(為實數)，則復數滿足的幾何意義是以原點為圓心，以1為半徑的圓上的點，則表示的幾何意義是圓上的點到的距離，根據圓的性質可知，所求最大值為.故答案為：6.9．（2024·高一·遼寧·期末）已知復數z滿足，則的最大值為．【答案】/【解析】設復數z在復平面中對應的點為，因為，則點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，且表示點到定點的距離，所以的最大值為.故答案為：.10．（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）若，且滿足，則的最大值為.【答案】3【解析】，復數的軌跡表示以點為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點到點的距離，如圖，當過點和圓的圓心，即為最大值.故答案為：11．（2024·高一·遼寧遼陽·期末）設復數在復平面內對應的點為，若，則的最大值為．【答案】7【解析】因為，則點組成的集合是圓心在原點O，半徑的圓及其內部．的坐標為．所以的最大值為．故答案為：7.12．（2024·高一·上海寶山·期末）已知，則的最大值是.【答案】6【解析】在復平面內，由，知復數對應點的軌跡是原點為圓心的單位圓，表示點與復數對應點的距離，所以的最大值為.故答案為：613．（2024·高一·上海浦東新·期末）如果復數滿足，那么的最大值是.【答案】6【解析】根據復數的幾何意義可知，滿足的復數在復平面內對應的點在以為圓心，以為半徑的圓上，的幾何意義為圓上的動點到的距離，如圖：當三點共線時，且在圓心的兩側時，距離最大，最大距離為，故答案為：14．（2024·福建福州·三模）已知復數，滿足，，則的最大值為.【答案】