考點09平面向量

本節概要

知識點一向量的有關概念

知識點二向量的線性運算

知識點三數乘

—知識點

，知識點四平面向量的坐標運算

知識點五平面向量的數量積

平

面J知識點六向量數量積的運算律

向

量

廠考點一概念的辨析

考點二平面向量的基本定理(線性運算)

一考點-一考點三共線定理

考點四坐標運算

考點五數量積

知識講解

一.向量的有關概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模).

⑵零向量：長度為o的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.(沒有方向上的規定)

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：G與任一向量平行或共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量

二.向量的線性運算

(一)加法：求兩個向量和的運算

1.三角形法則：首尾連，連首尾

a+h

b

a

三角形法則

2.平行四邊形法則：起點相同連對角

a

平行四邊形法則

3.運算律

1111

交換律：a+b=b+a

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(二)減法

1.三角形法則：共起點，連終點，指向被減

三角形法則

2.平行四邊形法則：共起點，連終點，指向被減

三.數乘：求實數7與向量;的積的運算

1111111

1.數乘：|Aa|=|R|a|,當2>0時，；la與a的方向相同；當k0時，2a與a的方向相反；當丸=0時，2a=

0

2.運算律

11tititit

(1)Mpa)=(九u)a(2)(X+|i)a=Xa+)ia(3)X(a+b)=Xa+?.b

3.向量共線定理

向量L與非零向量;共線的充要條件是有且只有一個實數人使得

4.平面向量基本定理

如果：，2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量;，有且只有一對實數九,

1ou.o(_■

心，使a=力速1+弱02.其中，不共線的向量e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底

四.平面向量的坐標運算

1.向量加法、減法、數乘及向量的模

1

設a=（xi，yi）,6=（尤2，J2），則

111111________

a+b=（xi+x2，9+竺），a—b=（xi—%2,9一"），Aa=（Zxi，2yi）,|a|=y|xl+yl.

2.向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A（xi,yi）,Bg以），則屈=（X2—XI,刃一yi）,|A^|=yj（X2—xi）2+（y2~y1）2.

3.平面向量共線的坐標表示

設a=（xi,州），b=（x2f及），其中a#）.a,b共線＜=^1,2—%2%=。.

4.向量的夾角

（1）已知兩個非零向量a和b,作況=a,ob=b,則NA05就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是

[0,71]

xix2+yiy2

（2）夾角cos3=yjxl+yiyjjd+yl

5.向量在平面幾何中的應用

問題類型公式表示

1111111

線平行、點共線等問題a〃b=a=丸1）71”一%2%=0,其中a=（xi，州），b=。2,竺），a#0

1111111

a_Lboa-b=0Gi%2+yiy2=0，其中a=O，y。，b=（x2，/），且。，b為非

垂直問題

零向量

，b111

夾角問題COS6—溫a為向量a,。的夾角），其中a,b為非零向量

長度問題|a|=迎=4元2+,2,其中a=Q,j）,a為非零向量

五.平面向量的數量積

設兩個非零向量；，b的夾角為6,則數量向.cos9叫做；與i的數量積（或內積），

定義

記作ab

|a|cos3叫做向量a在i方向上的投影，

投影

|i|cos。叫做向量1在a方向上的投影

幾何意義數量積；?%等于;的長度?；?與i在;的方向上的投影?bicose的乘積

如圖，在邛:面內任取一點。，作麗=a,而=b,過點M作直線ON的垂線，垂

111

bb

足為Ml，L川西就是向量。在向量占上的投影向量，記為西=4---

投影向量1)b

4

*

°bM\N

六.向量數量積的運算律

1111

(l)ab=ba.

iiiiiiii

(2)(Aa)-b=4(ab)=a(Ab)=2ab.

iiiiii

(3)(a+b)-c=ac+bc

典例剖析

考點一概念的辨析

【例1-1](2023,新疆)下列說法正確的是()

A.若卜|<W，貝!Ja<bB.若a,6互為相反向量，貝!Ja+6=0

C.空間中兩平行向量相等D.在四邊形ABC。中，AB-AD=DB

【答案】D

【解析】對于A,向量不可以比較大小，所以A錯誤；

對于B,若a,b互為相反向量，則a+b=0，故B錯誤；

對于C,兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯誤；

對于D,四邊形ABCD中，AB-AD=DB，故D正確.

故選：D

【例1-2](2023?安徽阜陽)下列命題中錯誤的有()

A.平行向量就是共線向量

B.相反向量就是長度相等且方向相反的向量

C.同向，且忖>||,貝必>b

D.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件

【答案】C

【解析】根據向量的概念，可知A、B正確；

對于C項，向量不能比較大小，故C錯誤；

對于D項，根據平行向量以及相等向量的概念，可知D正確.故選：C.

【變式】

1.（2023?遼寧沈陽）（多選）下列命題中正確的是（）

A.單位向量的模都相等

B.長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量

C.方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大

D.兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同

【答案】AD

【解析】根據單位向量的概念可知，單位向量的模都相等且為1,故A正確；

根據共線向量的概念可知，長度不等且方向相反的兩個向量是共線向量，故B錯誤；

向量不能夠比較大小，故C錯誤；

根據相等的向量的概念可知，兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故D正確.

故選：AD.

2.（2023?安徽阜陽）（多選）給出下列命題，其中敘述錯誤的命題為（）

A.向量AB的長度與向量54的長度相等

B.向量a與方平行，則a與b的方向相同或相反

C.忖+忖=|a-6|oa與方方向相反

D.若非零向量￡與非零向量方的方向相同或相反，則a+石與a,6之一的方向相同

【答案】BCD

【解析】對于A,向量A8與向量BA的長度都為線段AB長度，所以其長度相等，A正確；

對于B,當“=0時，不成立，故B錯誤；

對于C,當￡與。之一為零向量時，不成立，故C錯誤；

對于D,a+b=6時，a+6方向是任意的，與a,6的方向都不相同；

故選：BCD

3.（2023?河南省）（多選）下列結論不正確的是（）

A.單位向量都相等

B.對于任意a,b,必有卜+6尼卜|+忖

C.若a〃6，則一定存在實數％,使a=/L6

D.若。.6=0，貝Ua=。或萬=0

【答案】ACD

【解析】對于A,單位向量的模長相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，A錯誤；

對于B,任意￡,6根據向量加法的幾何意義知,+qW,+W，當且僅當a、b共線同向時取B正確;

對于C,若。〃人不一定存在實數幾，使a=26，如awO且〃=0時，命題不成立，C錯誤；

對于D,若.心=卜帆cos6>=。，則0=0或6=0或°_1b，?D錯誤.

故選：ACD

考點二平面向量的基本定理（線性運算）

【例2-1］（2022?全國?課時練習）化簡（1）（AB-CD）-（AC-BD）

（2）OA-OD+AD;

⑶AB+DA+BD-BC-CA.

【答案】（1）0;（2）0;（3）AB-

【解析】（1）方法一（統一成加法）：（AB-CD）-（AC-BD）=AB-AC-CD+BD

=AB+BD+DC+CA=AD+DA=O

、,一,—UULuimuui

萬法二（利用QA—OB=5A）：（AB-CD）-（AC-BD）=AB-CD-AC+BD

=AB-AC-CD+BD=CB-CD+BD=DB+BD=O

UULUUU1UUU1UUUUUIU1

⑵OA-OD+AD=DA+AD=0-

（3）AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+AC+BD-BC

=AB+DC+CD=AB

【例2-2］（2024?四川自貢?統考一模）如圖所示的ABC中，點。是線段2C上靠近B的三等分點，點E是

線段A3的中點，則￡>E=（）

3663

C.--AB--ACD.--AB+-AC

6363

【答案】B

【解析】DE=DB+BE=-CB--AB=-^AB-AC^--AB=--AB--AC.i^'B

323263

【例2-3］（2023?廣東汕頭?校考一模）在平行四邊形A3CD中，G為ABC的重心，滿足

AG=xAB+yAD（x,yeR）,則x+2y=（）

45

A.—B.—C.0D.—1

33

【答案】A

【解析】如圖，設AC與8D相交于點。，G為，ABC的重心,

可得。為30的中點，BG=2GO,

所以AG=A0+0G=40+108=40+工08=工畫+40”畫-4））=248+工皿

362、,6、'33

,91214

因為AG=xAB+yAZ）（%,y￡R）,所以％=§,y=,，則x+2y=耳+2*耳=§.故選：A.

【變式】

1.(2023?云南大理?統考一模)在ABC中，AB=3AD，貝!)8=()

111uumUULTiUUKunr

A.AB——ACB.AB+-ACC.-AB-ACD.-AB+AC

3333

【答案】C

【解析】回A2=3A￡＞，^\CD=AD-AC=^AB-AC,故選：C.

2.（2023?遼寧）在.ABC中，CM=3MB，AN+CN=0,貝I（）

1327

A.MN=-AC+-ABB.MN=-AB+-AC

4436

13

C.MN=-AC--ABD.MN=-AC——AB

6344

【答案】D

【解析】因為CM=3MB，AN+CN=b，

所以M是位于BC上的靠近點5的四等分點，N為AC的中點，如下圖所示:

N

所以肱V=A/V—AMnLAe—AB—BMuLAe—AB—LBC=-AC-AB--^AC-AB^=-AC--AB.

224244*4

故選：D

3.（2023?河南校聯考模擬預測）在平行四邊形ABC。中，點E滿足皮）=4BE，CE=+〃5c（%〃￡R）,

則沏=（）

333

A.——B.——C.D.1

16816

【答案】A

【解析】因為BO=48E，則C￡>-CB=4（CE-CB）,

131313

整理得CE=—CD+—CB=—BA——BC,可得；［=—,〃=——，

故選：A.

4.（2023?山東德州,德州市第一中學校聯考模擬預測）已知ABC,點。在線段BC上（不包括端點），向量

12

AD-xAB+yAC,一+一的最小值為（）

xy

A.272B.2V2+2

C.20+3D.26+2

【答案】C

【解析】ABC,點O在線段3C上（不包括端點），

故存在力,使得BD=2BC，即4。一A3=；L4C-九42，即AD=；L4C+（1-X）AB,

因為向量AD=xA8+yAC,所以y=2,x=l-X,

可得尤+y=i，

x>0,y>0,由基本不等式得

12

—+—=（污1+y）=l+2+^+乎3+2^|^=2拒+3,

%y

當且僅當>="?,即y=2-應,尤=應-1時等號成立.故選：C.

考點三共線定理

【例3-1］（2023?上海長寧?統考一模）設向量。=（1,-2）力=（-1,加），若兩人則心=.

【答案】2

【解析】因為。配，則lxw=（-2）x（-l）,解得,〃=2.故答案為：2.

umn/T1、

【例3-2】（2023北京）已知〃、b為不共線的向量，AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3^a-b）,貝！J（）

A.AB,C三點共線B.AC,。三點共線

C.AB,。三點共線D.B,C,。三點共線

【答案】C

【解析】因為4、b為不共線的向量，所以〃、人可以作為一組基底，

對于A：AB=a+5b，BC=-2a+Sb,若存在實數，使得AB=而，

則a+56=d-2a+昉），所以，方程組無解，所以與BC不共線，故A、B、C三點不共線，即A

錯誤；

對于B：因為AB=q+5b，BC=-2a+8b>所以AC=42+20=。+56+卜2。+助）=-。+136,

同理可以說明不存在實數乙使得AC=fCQ，即AC與CD不共線，故A、C、D三點不共線，即B錯誤；

uum/T

對于C：因為8C=-2a+8b，CD=3^a-bj,

所以B￡）=BC+C￡）=-2a+86+3（a-6）=a+56,

又AB=a+5b=BD，所以故A、B、。三點共線，即C正確；

uum,r

對于D：BC=-2a+Sb>CD=3\a-by

同理可以說明不存在實數乙使得2C=fC￡）,即8c與CD不共線，故8、C、。三點不共線，即D錯誤；

故選：C

【變式】

1.（2023?北京?統考模擬預測）已知向量。=（孤1）,6=（3,祖+2）.若ab,則利=.

【答案】1或-3

【解析】因為向量。=（加,1）,b=（3,m+2）,ab,

所以有機(〃?+2)=1X3=>7〃=1,或加=一3,

故答案為：1或-3

2.（2023?海南?校聯考模擬預測）已知向量OA=（3,-4）,OB=（6,-3）,OC=（5-m,-3-m）,若點A,B,

C三點共線，則實數機=.

【答案】1/0.5

【解析】AB=OB-OA=（3,\）,AC=OC-OA=（2-m,l-m）,

311

因為點A,B,C三點共線，所以:;一=--,解得加=不

2-m1-m2

故答案為：y.

3.（2022?四川成都）已知向量Z與b為一組基底，若MO+4日與a+2K平行，則實數根=.

【答案】2

【解析】因為向量a與B為一組基底，所以￡與B不共線.

又因為ma+46與a+26平行，

所以儂z+43=,a+2B"eR,即加"太=%+2高，

m=A

因為a與6不共線，所以解得m=2,A=29

22=4

所以實數用的值為2.

故答案為：2.

4.（2023?云南紅河?校考模擬預測）已知華々是兩個不共線的非零向量，若2耳-6與e共線“￡R），

貝打=.

【答案】—/0.5

【解析】因為2q—02與e；-fe；共線。eR）,所以2q-e；=X（e；-招?），

又q,e；是兩個不共線的非零向量，所以2=4-l=X?（T）,所以/=；,

故答案為：

5(2022?浙江)已知e；,e；為不共線的兩個單位向量，若-e?與q+&2平行，則4的值為

_昱

【答案】--

【解析】因為百e「e；與q+2e；平行，所以存在實數〃，使得與+兒4=-e?),即

(1-//卜］+(幾+〃)02=0,

又q,e；為不共線，所以卜「為：。，解得I

-卜+〃=0上

I3

考點四坐標運算

【例4-1】(2023?福建寧德)(多選)設向量。匕=(2,0),則下列說法正確的是()

A.|<7-Z?|=|?|B.(a-b^//aC.(a-b^VaD..在方上的投影向量為(1,0)

【答案】ACD

【解析】由題意可知a=(L-l),6=(2,0),Sfc|a|=V2,a-/7=(-l,-l),...|a-&|=7(-l)2+(-l)2=^,A正確;

因為(T)x(T)-(T)xl=2/0,故(a-b),a不平行，B錯誤;

因為(―l)xl+(-l)x(-l)=0,故c正確；

由于a/=lx2+(—l)x0=2,向=2,

故a在6上的投影向量為公-2=2?%S=(L0)，D正確,

⑸網22

故選：ACD

［例4-2］(2023?山東濱州?統考二模)(多選)已知向量&=。,帆)，人=(2,Y),則下列說法正確的是()

A.若林+U=Ji6,則772=5B.若amb,貝U7〃=一2

C.若a上b,則根=TD.若m=1,則向量a,8的夾角為鈍角

【答案】BD

【解析】解：對于A,因為d=(L〃2),b=（2,T）,所以a+b=（3,〃z—4）,\a+b\=^9+（/n-4）~=-\/10,解

得m=5或m=3,故A錯誤;

對于B,因為。團4）,所以2m=-4,解得加=一2,故B正確；

r11

對于C,因為a_Z,〃，所以a=2—=0，解得m=彳，故C錯誤；

2

對于D,當機=1時，a=（1,1）,］力=2-4=-2<0,又因為此時a，b不共線，所以向量a,6的夾角為鈍

角，故D正確.

故選：BD.

【變式】

1.（2023?湖南?校聯考二模）（多選）已知向量。=（2,-1）,忖=2,，"=（1,2）,則（）

A.aA.CB.|a|=|c|C.6=（4,-2）D.b=a+c

【答案】AB

【解析】因為a-C=（2,-l）-（l,2）=0,所以a'c,則A正確；卜卜卜卜君，則B正確；

因為“/人所以設b=2a=〃2,-l）=（2ZT）,因為欠=2卜|=2石，

所以J（2㈤?+（T）2=2右,解得2=±2,所以。=（4,-2）或6=（T,2）,故C錯誤；

a+c=（3』）wb,故D錯誤.故選：AB

2.（2023?山西?校聯考模擬預測）（多選）設向量a=（退,-1）,6=（0,2）,貝I」（）

A.|a|=|^|B.a與b的夾角為不

C.（2a+6）與》共線D.（2a+6）_L6

【答案】AD

【解析】因為a=（省,T），6=（0,2）,所以M=^/^斤=2,慟=2,故A正確；

因為1=（省,-1）,方=（0,2）,所以cos?&=||w=*總

97r

因為兩向量夾角的范圍為［0,可，所以a與b的夾角為甘，故B錯誤；

因為a=（g,—l）,6=（0,2）,所以2a+6=2（點-1）+（0,2）=（2g,0）,

又匕=（0,2）,所以僅a+6）/=0,所以（2a+b），6,所以（2a+b）與B不共線，故C錯誤，D正確.

故選：AD.

3.(2023?廣東廣州?統考三模)(多選)已知向量4=(1,2),8=(-2,1),則()

A.(?-Z?)±(?+b)B.(a-b)ll{a+b)

C.\a-b\=\a+b\D.在〃上的投影向量是〃

【答案】AC

【解析】因為"b=(3,l),a+b=(-l,3),

所以(。-6)-(a+。)=3x(-1)+1x3=0,(a-。)_L(a+b),故A正確;

因為3x3-lx(-l)=1020,故B錯誤;

\a-b\=A/10,\a+b\=V10,故C正確；

因為j=(-3T)在a上的投影向量是竺謂&徐=春瑩=F，故D錯誤.

故選：AC.

4.(2023?福建泉州?統考模擬預測)(多選)已知向量2=(?1),6=(cos6,sin6),則下列說法正確的是(

A.若，則a_LbB.若a/lb，則。=?

36

C.4/的最大值為2D.卜川的取值范圍是[1,3]

【答案】ACD

【解析】對于A：當0=4■時，b=(cos?,sinf]=,

止匕時=+5xl=0,故〃工人，即A正確；

對于B：若〃〃力，則cow—V5sin^，所以tan。=所以e=q+E,k￡Z,故B錯誤；

對于C：=V3cos^+sin^=2^^-cos^+^-sin^=2sin+ye[-2,2],故C正確；

對于D：因為a=(百』)，Z?=(cos<9,sin6>),所以忖=+儼=2,忖=Jcos"O+sii?6=1,

所以,=A/J-2a.Z?+『=JH_2〃心+愀

=j-4sin,+￡|,因為sin"牛[-1』，所以5-4sin,+小[1,9],所以…4,3],故D正確;

故選：ACD

考點五數量積

【例5-1］（2023?全國?統考高考真題）已知向量。=（3,1）/=（2,2）,貝|cos（a+b,a-6〉=)

1

ARV17r>n2-

A.b.-------C.U.-------

171755

【答案】B

【解析】因為a=(3,1)力=(2,2),所以a+〃=(5,3),a-6=(l,-l),

貝40+0=5/?萬=取，,_@=足1=忘，(a+6).(a-6)=5xl+3x(-l)=2,

/、[a+b\\a-b\?J17

所以cos(a+"a-〃)=------n——1-=~^7一月

'/卜+耳卜-4v34xV217

故選：B.

【例5-2］（2023?北京?統考高考真題）已知向量〃，］滿足乙+萬=（2,3）曾一萬=（一2,1）,則|&『一|萬『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量近,5滿足。+5=(2,3),&—〃=(—2,1),所以|a|2—|切2=(a+?.3—?=2x(—2)+3xl=—l.

故選：B

【例5-3】（2022?全國?統考高考真題）已知向量a,b滿足|a|=l,|切=6,|a-2b|=3,則（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】S\a-2b|2=|a|2-4a-b+4\b^,XE|a|=l,\b\=>/3,\a-2b|=3,

回9=1—4a-6+4x3=13—，回。-6=1故選：C.

【例5-4](2023?全國?模擬預測)已知。=(L-2),力=(私1),若a，(a+6),則向量&在。上的投影向量為

()

A.(-3,1)B.(U)C.1;』)D.(-1,2)

【答案】B

【解析】〃=(1,-2),b=(m,l)f：.d+b=(l+m,-V),

a±(a+b),:.a-(a+b)-l+m+2-Q,解得機=-3,b=(-3,1),

3」

?，.向量a在方上的投影向量為2~2.故選：B.

【變式】

1.（2023?四川成都?統考一模）已知向量4=卜1,g）,6=（2,0）,則cos（d,b）=（）

小1

ABC.——D

2-I2-4

【答案】C

(-1)x2+若xO]_

【解析】因為。=卜1,6）,6=（2,0）,所以

W1芾2.

(-l)2+(^j2X722+02

故選：C.

2.（2023?四川涼山?統考一模）已知平面向量a,b滿足卜-26|=1,a.6=1，則k+26卜(

A.6B.272C.3D.2不

【答案】C

【解析】因為卜-2+1,°/=1，所以卜+2可I=〃2+4a,b+4Z?2=Q2—4。,b+4b2+Set,b=\ct—2bI+Set,b=9,

即。+2b=3.故選：C

3.（2023?全國?高三校聯考階段練習）設平面向量2=（1,3）,出1=2,且用=炳,則（2a+b）（a-。）=（）

A.1B.14D.710

【答案】B

【解析】因為。=（1,3）,所以同=質,又|b|=2,則|4一口2=02-24/+匕2=14一2°2=10,所以0.6=2,

貝1」（2。+6）（。-6）=2合一。力一方2=20—2—4=14,故選：B.

4.（2023,廣東凍莞市東華高級中學校聯考一模）已知。=（L3）,6=（2,5）,則向量a在向量b上的投影向

量為（）

348524

A.B.C.D.

29?293,3

【答案】B

a-b2+1517

【解析】因為。=(L3),6=(2,5),則向量d在向量萬上的數量投影為府=耳赤=7為，

17b171

所以向量。在向量b上的投影向量為而*耐=7五x回

5.(2023?全國?校聯考模擬預測)已知非零向量a與b滿足|a|=21b|,若|a+2b|=|a+b|,則cos(a,6)=()

【答案】B

【解析】因為|a+2b|=|a+》|,所以|肝+4出|2+4入5=|即2+|殲+2苕％,

所以3S『+2a力=0,而⑷=2|〃|,所以3|。『+4|112cosm/〉=0,

所以cos(a,Z?)=—一.

故選：B

6.(2023?全國?模擬預測)己知平面向量d,6滿足。=(1,2),g-2°|=6且(b-2a)J_a,則|5|=()

C.75

【答案】B

【解析】設b=(x,y),因為|b-2a|=6\Z?-2a=(x,j)-(2,4)=(x-2,j-4),

所以J(x-2)2+(y-4>=6,即(x-2y+(y-4)2=5①.

又因為S-2a)_La,所以(。一2a>a=0,

即(尤一2)xl+(y—4)x2=0,即無一2=—2(_y—4)(2).

Ix=0x=4

聯立①②可得〈或

y=5J=3

所以b=(0,5)或》=(4,3),所以|b|=5.

故選：B

鞏固基礎

ab

1.（2023?北京大興?校考三模）設”，6是非零向量，"R=W"是"。=6"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

ab

【解析】由口=慟表示單位向量相等，則。涉同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出a=b,

ab

由a=b表示b同向且模相等，則口=W，

ab

所以"R=W"是:=的必要而不充分條件?

故選：B

2.（2023?湖南長沙?雅禮中學校考一模）下列說法正確的是（）

A.若ab,則&與6的方向相同或者相反

ab

B.若a,b為非零向量，且時=可，則。與b共線

C.若“b,則存在唯一的實數4使得d=4。

D.若4，是兩個單位向量,且忖一匐=1.則忸+匐=應

【答案】B

【解析】對于A,當°=0時，a與。的方向可以既不相同也不相反，所以該選項錯誤；

abab

對于B,a,b為非零向量，時表示與a方向相同的單位向量，M表示與石方向相同的單位相同，由于同=卜，

所以a與。共線，所以該選項正確；

對于C,當6=0，&為非零向量時，X不存在，所以該選項錯誤；

對于D,由忖一匐=1得1+1—2e/e；=l,;.2e/e2=l,所以0+e?卜+e?）2=Jl+l+2q=8所以該

選項錯誤.故選：B.

3.(2023?陜西商洛)已知。為團ABC所在平面內一點，AD=2AB>E為AC邊的中點，貝！|()

A.DE=AC-2ABB.DE=2AB-AC

C.DE=-AC-2ABD.DE^-AC-AB

22

【答案】C

【解析】由題意可知OE=ZM+AE=-2A8+；AC,

故選：C.

4.(2023下?云南大理?高二云南省下關第一中學校考期中)如圖，在平行四邊形ABC。中，E是對角線AC

上靠近點C的三等分點，點F在BE上且為中點，^AF=xAB+yAD,則x+y=()

【答案】A

【解析】點尸在8E上且為中點，且E是對角線AC上靠近點C的三等分點，

則AF=AB+BF=AB+-BE=AB+-AE--AB=-AB+-AE=-AB+-X-AC=-AB+-(AB+AD]

2222222323、'

5—17

——ABH—ADx+y=-,故選：A.

636

5.(2023,江蘇?統考模擬預測)在；ABC中，AD=2D8，點P在C。上，5.AP=mAC+^AB(meR),則〃『=

【答案】D

3

【解析】因為AO=2O5，所以ABu'AD,

1131

所以AP=MAC+—AB=MAC+—X—AD=^AC+—AO,

3322

又P,C,。三點共線，所以機+g=l,得〃2=(

故選：D.

6.(2022?全國?統考高考真題)在.ABC中，點。在邊A8上，BD=2DA,記C4=wC0=〃，則C5=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3zz

【答案】B

【解析】因為點。在邊AB上，BD=2DA,所以8。=2%，即O)-CB=2(C4-C￡?),

所以CB=3CD-2CA=3〃-2m=-2m+3n.

故選：B.

7.(2023?全國?統考高考真題)已知向量a=(l,1),6=(1,-1),若(。+樹，(“+〃6),則()

A.%+//=1B.%+4=-1

C.A//=1D.2//=-1

【答案】D

【解析】因為a=(1,1),〃=(1,—1),所以a+=(1+4,1—4),a+jub=(1+//,1—,

由(a+2Z?)_L(a+4。)可得，(4+2今(〃+46)=0,

即(1+4)(1+〃)+(1_4)(1_〃)=0,整理得：沏=7.

故選：D.

8.(2022?全國?統考高考真題)已知向量。=(3,4),辦=(1,0),c=a+m，若v〃,c>=<"c>,貝打=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

9+3Z+163+Z

【解析】c=(3+t,4)cos(a,c)=cos0,c),即解得故選:C

5kl=W=5,

9.(2023?全國,模擬預測)平面向量。=。,-2)/=(2,m)，若(j//6，則,-司=()

A.6B.2C.75D.76

【答案】C

【解析】因為a//6，所以lx機=-2義2,解得〃=zY,所以a-6=(-1,2),所以卜-可=6.

故選：C.

10.(2023?全國?模擬預測)已知。=(1,0),b=(m,l),若。乂。-6),則向量d在方上的投影向量為()

A.---B.(1,1)

\7

D.

【答案】C

【解析】由a=。,0)、Z?=(m,l),則a—b=(l-八一1),

由a_L(a—〃)，則有1x(1—機)+0x(—1)=0,解得a=1,

a-b1V2

即辦=(1,1),則a在〃上的投影為

W~y/]+i~2'

1

11

a-b

十-

2-2-

則向量。在Z?上的投影向量為分

故選：C.

IL(2023?全國?模擬預測)向量d=(l,2),b=(-2,-l),那么向量a-b在a上的投影向量為()

B.□

3

D.

5

【答案】A

【解析】因為&=(1,2),b=(-2,-l),所以。-少=(3,3),貝必一/,在a上的投影向量的模為

/「.(a-b\-aQQA/S9\/5a(918A

cosia"b=\|J=2="貝0-b在a上的投影向量為三一「=匕，三.