2023-2024學年高考數學數列小專題過關練習

一、單選題

1.已知數列④，后-以，而，…,則20是這個數列的（）

A.第6項B.第7項C.第9項D.第11項

2.己知等比數列｛"/的前〃項和為S”，4=3,且3岳，2邑，$3成等差數列，則數列｛%｝的

通項公式為（）

a31

B.%=出C.%=3"口.n="-

公差為d的等差數列｛"”｝的首項為％,前

3.〃項和為S”，且滿足2%=%+5,貝1]

S13二()

A.55B.60C.65D.70

已知等差數列｛"'｝的前〃項和為S",且為=5

4.,‘5-15,則數列J的前2021項和

為()

2021202020212022

A.2022B.2021C.2020D.2021

1；2

設等比數列｛“"｝的前"項和為S",若耳。：',則$：$5等于（）

5.*=

A.3:4B.2:3C.1：2D.1：3

（?=1--------22）

6.已知數列洶/中，％=2,%.,則4。21等于（）

J_

A.-1B.2C.2D.2

%+%

在等比數列｛%｝中，％=1,a2a3=8,貝°/+%()

A.8B.6C.4D

8.如果數列包｝滿足為=2,%=1,且%-%%-%,那么此數列的第1。項為（）

111J

A.210B.29C.10D.5

、多選題

9.已知等差數列｛"J是遞增數列，其前〃項和為S，，，且滿足%=3%,則下列結論正確

A.d>0

C.當"=5時，S"最小D.當時，〃的最小值為8

10.已知等比數列｛為｝中，滿足q=1應=2,則（）

A.數列他”｝是等比數列

B.數列是遞增數列

C.數列｛唾2%｝是等差數列D.數列卜"｝中，'。々。應。仍成等比數列

11.數列｛""｝的前〃項和為邑，已知$"=-二+7",貝ij（）

A.｛“/是遞增數列

當〃〉4時，?<0

當"=3或4時，￡取得最大值

12.已知數列｛""｝的前”項和為邑，4=1,"12%_|+1,〃=2上+1.則下列選項正

確的為（）

R=16

B.數列）是以2為公比的等比數列

C.對任意的左eN*,=2/，+1-3

D.工>1°0°的最小正整數”的值為15

13.若數列｛%｝滿足q=L"向一丁"+1,則.”

s“_2"a6

14.等差數列｛"/和也｝的前〃項和分別為￡與J若（3/7+1,則a等于.

15.《塵劫記》是在元代的《算學啟蒙》和明代的《算法統宗》的基礎上編撰的一部古典數

學著作，其中記載了問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生16只，且雌雄各半.1個月后,

有一對老鼠生了16只小老鼠，一共有18只；2個月后，每對老鼠各生了16只小老鼠，一共

有162只.以此類推，假設〃個月后共有老鼠%只，則氏=.

16.設數列滿足%",%=6,且%+2-2%+/=2,若IKI表示不超過x的最大整數，

-20212021202f

----+----+…+----=

則。2。2021」

答案：

1.B

【分析】根據數列的特征求出通項，可得2石所在的位置.

【詳解】數列"后,2"布，…，即叵后血被開方數是首項為2公差為3的

等差數列，

可得原數列通項為%=歷""eN*,

275=720=73x7-1,所以2石是這個數列的第7項.

故選：B

2.C

【分析】利用31，2S",成等差數列，求出公比再利用等比數列通項公式求解.

【詳解】因為3sI,2星，S3成等差數列，所以3品+5=4邑，所以

3%+%+%+%=4（%+。2）,將％=3代入得，%=3/，所以4=3,所以%=3".

故選：C.

3.C

【分析】根據等差數列基本量運算知識進行計算即可.

【詳解】因為公差為"的等差數列｛4｝的首項為為,且滿足2%=%+5,

所以2（%+4d）=％+2d+5即4+6d=5

斤以%=13%+只魯4=13（%+6d）=65

故選：C

4.A

【分析】根據等差數列性質求出｛"」通項公式，繼而求出通項公式，最后用裂項相

消解出答案.

Jq+4d=5Jq=1

【詳解】設首項為外,公差為d,由題意可得15%+l°dT5,解得[d=l,

111__]

包｝的通項公式為得%%+「〃（〃+1）〃“+L

1111112021

1——i————1-???-|--------------------------—-----------

數列U%+iJ的前2021項和為223202120222022.

故選：A.

5.A

【分析】根據給定條件，利用等比數列片段和性質計算作答.

【詳解】等比數列｛""｝的前"項和為S”，則35再。一$5,九一九成等比數列，

「-若

q_巴v_v__生q_e2Je一網

設。5-7”，則2,2,所以m4,所以4,

3m

45_4_3

m

所以‘54；即&:工=3:4.

故選：A.

6.C

【分析】根據給定的遞推公式，求出數列｛“"｝的周期，再借助周期性計算即得.

【詳解】數列｛%｝中，當"'2時，“"1??-i,則

Q=l_j_=l____\=1__"〃-11

U1

n+\1111

%1__L%Tan-\~1

an-X

an+2=1-------=1---------\----=an-\

%+l______L_

,因此當〃GN"時,%+3=%，即數列｛"/是以3為周期的

周期數列，

aa=1

2021=3x673+2=?2--=!

所以q2

故選：C

7.A

【分析】利用等比數列的通項公式進行求解即可.

【詳解】設該等比數列的公比為九

因為四=L

所以由02%=8=>l?q?l?q2=8nq3=8nq=2

%+%=+?)=/=23=8

因止匕"i+24+a[%+a?

故選：A

8.D

1_X1_1

【分析】由已知的遞推式取倒數，得到新數列1""構成以出為為首項，以1為公比

的等比數列.求出該等比數列的通項后利用累加法可得數列｛%｝的第10項.

。〃,a〃一1=%，。〃+1%—%=%—%+1

【詳解]由"〃%一%+1得％"-Ian'an+l,

%+1%=]

J__1__J___1_J__1_

即%%+1an,所以%%-1

所以數列146-J構成以出生為首項,

以1為公比的等比數歹U,

1

又

4=2a2=1%22

所以可得%生2,

a3a22

J__1__￡

%%5,

111,1、1n?

------=—一=—Q=W

累加得％%2，所以％2,即“八

1

Q］。=—

所以5.

故選：D.

9.ABD

【分析】由遞增的等差數列可知d>°;由結合等差數列通項公式可得q=%-4"=-3d<0

最后根據等差數列求和公式與">°可求得最值，即可判斷CD

【詳解】因為｛"/是遞增數列，所以4>0.因為%=3%,

所以%+2"=3%,所以"=%,所以％=%-44=-3"<0,故人，B正確；

又因為%=%-"="々=0,所以S3="，且為S”的最小值，故C錯誤；

Ss=8（"；"J=4Q+%）=4%=4">0§==0

又22故D正確.

故選：ABD

10.AC

【分析】由題意利用等比數列的性質、通項公式及前n項和公式，判斷各個選項是否正確,

從而得出結論.

【詳解】等比數列｛%｝中，滿足q=1國=2,則%=2",有々“=221,

由%=2,a2n,數列｛&」是首項為2公比為4的等比數列，故A正確;

Mr

而見⑺,則數列10"是遞減數列，故B不正確；

又bg2%=〃-l,log2%=0,log2an+1-log2a?=n-（77-1）=1

故數列｛10g2。"｝是首項為o公差為1的等差數列，故C正確；

10

S=lzZl=2-l邑修2L

數列｛（｝中，|01-2,且o=2J,邑0=23°-1,4。S20,故D錯誤

故選：AC.

11.BCD

回〃=1

a—<

【分析】A選項，根據“〔邑一$5"22求出通項公式，進而得至包｝單調

遞減，A錯誤；B選項，由通項公式直接求解即可；C選項，解不等式即可；D選項，根據

二次函數的開口方向和對稱軸可得D正確.

［詳解］A選項，當,22時，4,=S“_S,T=_2〃+8

又〃i=S］=6=-2xl+8所以4=-2n+8

因為%+「%=-2（"+1）+8+2"-8=-2<0

則."｝是遞減數列，故A錯誤；

B選項，由%=-2"+8可得陽=-12,故B正確；

C選項，令為=-2"+8<0,解得〃>4,故c正確；

7

D選項，因為夕=一X+7工的對稱軸為2,開口向下，

又“eN*,所以當"=3或4時，E,取得最大值，故D正確.

故選：BCD.

12.BD

【分析】根據題設的遞推關系可得出=%一1=1，％田-2%=1,從而可得叫2-2海=2,由

此可得｛的J的通項和｛出1｝的通項，從而可逐項判斷正誤.

[詳解]由題設可得=1，%+「2%=1,

因為"1=1,%_%=1,故4=4+1=2,

aa

所以2k+2~Q2Hl=1，％+1_2a2k=1,所以2k+2_2a2k=2,

所以。2*+2+2=2(%+2),因為9+2=4彳0,故%+2w0,

-2左+2+2_2

所以勾+2,所以3"+2｝為等比數列，

所以%+2=4x2-即/*=21-2,故&=16-2=14,故A錯，C錯.

i+,

又=2-2-l=2"「3,故a2t_,+3=2封，

出《+1+3=2

所以&i+3,即｛*+3｝(左")是以2為公比的等比數列，故B正確.

S[4=Q]+%+…+%4=%+(4+1)+。3+(。3+1)。13+("13+1)

=2(q+%+/+%+〃9++%3)+7=2x62—3+2,-3+…+2*-3)+7=981

S]5=S14+%5=981+509=1490〉1000,

故S〃>1000的最小正整數〃的值為15,故D正確.

故選：BD.

關鍵點點睛：題設中給出的是混合遞推關系，因此需要考慮奇數項的遞推關系和偶數項的遞

推關系，另外討論D是否成立時注意先考慮兒的值.

【分析】由2可化簡為2、，,從而得數列""分為等比數列從而可

求解.

【詳解】由題意得2,從而可得2、),

%+i-2-1

所以見一25,所以數列包一2｝為等比數列,

又因為％=1,所以％一2=-1

1_

所以數列｛""一2｝首項為一1,公比為5的等比數歹I],

所以通項公式為“T=?出，得見

故答案為.12)

11

14.17

S=〃(%+%)1二帥+4)-+%

【分析】在等差數列中，"一2'"一2，得出方4+6■，結合通項公式,

即可得到4的值.

【詳解】等差數列｛“■｝和也｝中，

&_"(%+%)T_帥+“)

"-2，"-2,

S"

所以《4+2，設等差數列m｝和也｝的公差分別為

Sn_ax+au2%+104%+54a6Sn2n

則112Z)1+10d24+5d24,且北3〃+l,

a6_2x1111

所以%3x11+117.

11

故答案為.17

15.2x9'

【分析】依題意得出第九個月老鼠與第〃+1個月老鼠總數的關系，再根據等比數列的定義求

出數列的通項公式即可.

【詳解】假設"個月后共有老鼠為只，則”+1個月后共有老鼠只，

%+i=%+16x2=9%6?eN,）

所以2、

又6=18,所以％,

所以數列｛“■｝是以18為首項9為公比的等比數列，

所以%=18x91=2x9"

故答案為.2x9"

16.2020

【分析】根據題意，得到（%+2一%+|）一9向一為）=2,得到｛%+「％｝為等