山東省泰安市第四中學2025屆數學高一下期末統考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（）A． B． C． D．2．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．3．為三角形ABC的一個內角,若,則這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形4．已知集合，集合為整數集，則（）A． B． C． D．5．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，事件“至少1名女生”與事件“全是男生”（）A．是互斥事件，不是對立事件B．是對立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對立事件D．既不是互斥事件也不是對立事件6．設等差數列{an}的前n項的和Sn，若a2+a8＝6，則S9＝（）A．3 B．6 C．27 D．547．在等比數列中，，，，則等于()A． B． C． D．8．點、、、在同一個球的球面上，，.若四面體的體積的最大值為，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．9．在區間內任取一個實數，則此數大于2的概率為（）A． B． C． D．10．設等比數列的公比為,其前項的積為,并且滿足條件：；給出下列論:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然數等于198.其中正確的結論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．把函數的圖像上各點向右平移個單位，再把橫坐標變為原來的一半，縱坐標擴大到原來的4倍，則所得的函數的對稱中心坐標為________12．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發到河對岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時，所用時間是__________（精確到）．13．過點作圓的切線，則切線的方程為_____．14．的值為________.15．已知變量之間滿足線性相關關系，且之間的相關數據如下表所示：_____.12340.13.1416．若是方程的解，其中，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數列中，，.（1）分別計算，，的值；（2）由（1）猜想出數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.18．設數列滿足，，，.s（1）證明：數列是等差數列，并求數列的通項；（2）求數列的通項，并求數列的前項和；（3）若，且是單調遞增數列，求實數的取值范圍.19．（1）若關于x的不等式2x＞m（x2+6）的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集．（2）若2kx＜x2+4對于一切的x＞0恒成立，求k的取值范圍．20．已知向量，，.（1）若，求實數的值；（2）若，求向量與的夾角.21．已知是等差數列，滿足，，數列滿足，，且是等比數列.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據奇函數和增函數的定義逐項判斷.【詳解】選項A：不是奇函數，不正確；選項B:：在是減函數，不正確；選項C：定義域上沒有單調性，不正確；選項D：設，是奇函數，，在都是單調遞增，且在處是連續的，在上單調遞增，所以正確.故選:D.【點睛】本題考查函數的性質，對于常用函數的性質要熟練掌握，屬于基礎題.2、A【解析】

根據公式，向量在向量上的投影等于，計算求得結果.【詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【點睛】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎題型.3、B【解析】試題分析：由,兩邊平方得,即,又,則,所以為第三、四象限角或軸負半軸上的角,所以為鈍角．故正確答案為B．考點：1．三角函數的符號、平方關系;2．三角形內角．4、A【解析】試題分析：，選A.【考點定位】集合的基本運算.5、C【解析】至少1名女生的對立事件就是全是男生.因此事件“至少1名女生”與事件“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件6、C【解析】

利用等差數列的性質和求和公式，即可求得的值，得到答案．【詳解】由題意，等差數列的前n項的和，由，根據等差數列的性質，可得，所以，故選：C．【點睛】本題主要考查了等差數列的性質，以及等差數列的前n項和公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、C【解析】

直接利用等比數列公式計算得到答案.【詳解】故選：C【點睛】本題考查了等比數列的計算，屬于簡單題.8、D【解析】

根據幾何體的特征，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時體積最大，可得與面垂直時體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．【詳解】根據題意知，、、三點均在球心的表面上，且，，，則的外接圓半徑為，的面積為，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時體積最大，所以，當與面垂直時體積最大，最大值為，，設球的半徑為，則在直角中，，即，解得，因此，球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體體積取最大值，是解答的關鍵．9、D【解析】

根據幾何概型長度型直接求解即可.【詳解】根據幾何概型可知，所求概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型概率問題的求解，屬于基礎題.10、B【解析】

利用等比數列的性質及等比數列的通項公式判斷①正確；利用等比數列的性質及不等式的性質判斷②錯誤；利用等比數列的性質判斷③錯誤；利用等比數列的性質判斷④正確，，從而得出結論.【詳解】解：由可得又即由，即,結合，所以，，即，，即，即①正確；又，所以，即，即②錯誤；因為，即值是中最大值，即③錯誤；由，即，即，又，即，即④正確，綜上可得正確的結論是①④，故選：B.【點睛】本題考查了等比數列的性質及不等式的性質，重點考查了運算能力，屬中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，【解析】

根據三角函數的圖象變換，求得函數的解析式，進而求得函數的對稱中心，得到答案.【詳解】由題意，把函數的圖像上各點向右平移個單位，可得，再把圖象上點的橫坐標變為原來的一半，可得，把函數縱坐標擴大到原來的4倍，可得，令，解得，所以函數的對稱中心為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及三角函數的對稱中心的求解，其中解答中熟練三角函數的圖象變換，以及三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、6【解析】

先確定船的方向，再求出船的速度和時間.【詳解】因為行程最短，所以船應該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時間是.故答案為6【點睛】本題主要考查平面向量的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、或【解析】

求出圓的圓心與半徑分別為：，，分別設出直線斜率存在與不存在情況下的直線方程，利用點到直線的距離等于半徑即可得到答案．【詳解】由圓的一般方程得到圓的圓心和半徑分別為;，;（1）當過點的切線斜率不存在時，切線方程為：，此時圓心到直線的距離，故不與圓相切，不滿足題意；（2）當過點的切線的斜率存在時，設切線方程為：，即為；由于直線與圓相切，所以圓心到切線的距離等于半徑，即，解得：或，所以切線的方程為或；綜述所述：切線的方程或【點睛】本題考查過圓外一點求圓的切線方程，解題關鍵是設出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑得到關系式，屬于中檔題．14、【解析】

利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式，結合根式運算，化簡求得表達式的值.【詳解】依題意，由于，所以故答案為：【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式、二倍角公式，考查根式運算，屬于基礎題.15、【解析】

根據回歸直線方程過樣本點的中心，代入數據即可計算出的值.【詳解】因為，，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題考查根據回歸直線方程過樣本點的中心求參數，難度較易.16、【解析】

把代入方程2cos（x+α）＝1，化簡根據α∈（0，2π），確定函數值的范圍，求出α即可．【詳解】∵是方程2cos（x+α）＝1的解，∴2cos（+α）＝1，即cos（+α）＝．又α∈（0，2π），∴+α∈（，）．∴+α＝．∴α＝．故答案為【點睛】本題考查三角函數值的符號，三角函數的定義域，考查邏輯思維能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),；

(2),證明見解析【解析】

(1)分別令即可運算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當時成立,再假設當時,成立,再利用推導出即可.【詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當時,成立；假設當時,成立,且即當時,,即,化簡得,,即也滿足,當時成立,故對于任意的,有,證畢.所以.【點睛】本題主要考查了數學歸納法的運用，其中步驟為：(1)證明當取第一個值時命題成立.對于一般數列取值為0或1；(2)假設當()且為自然數）時命題成立,證明當時命題也成立.

綜合(1)(2),對一切自然數,命題都成立.18、（1）證明見解析，；（2），；（3）.【解析】

（1）利用等差數列的定義可證明出數列是等差數列，并確定該數列的首項和公差，即可得出數列的通項；（2）利用累加法求出數列的通項，然后利用裂項法求出數列的前項和；（3）求出，然后分為正奇數和正偶數兩種情況分類討論，結合可得出實數的取值范圍.【詳解】（1），等式兩邊同時減去得，，且，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，因此，；（2），，，；（3）.當為正奇數時，，，由，得，可得，由于數列為單調遞減數列，；當為正偶數時，，，由，得，可得，由于數列為單調遞增數列，.因此，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用等差數列的定義證明等差數列，同時也考查了累加法求通項、裂項求和法以及利用數列的單調性求參數，充分利用單調性的定義來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1）；（2）【解析】

（1）原不等式等價于根據不等式的解集由根與系數的關系可得關于的方程，解出的值，進而求得的解集；（2）由對于一切的恒成立，可得，求出的最小值即可得到的取值范圍．【詳解】（1）原不等式等價于，所以的解集為則，，所以等價于，即，所以，所以不等式的解集為（2）因為，由，得，當且僅當時取等號.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，不等式恒成立問題和基本不等式，考查了方程思想和轉化思想，屬基礎題．20、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標表示可構造方程求得結果；（2）利用向量夾角公式可求得，進而根據向量夾角的范圍求得結果.【詳解】（1），解得：（2）又【點睛】本題考查平面向量共線的坐標表示、向量夾角的求解問題；考查學生對于平面向量坐標運算、數量積運算掌握的熟練程度，屬于基礎應用問題.21、（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用等差數列，等比數列的通項公式先求得公差和公比，即得到結論;（2）利用分組求和法，由等差數列及等比數列