江蘇省南京市示范名校2025屆高一數學第二學期期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等差數列中，若，則（）A．-21 B．-15 C．-12 D．-172．設為等比數列，給出四個數列：①，②，③，④.其中一定為等比數列的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①②3．在數列中，若，，，設數列滿足，則的前項和為（）A． B． C． D．4．已知向量，則向量的夾角為（）A． B． C． D．5．已知函數，如果不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A． B．C． D．6．已知集合，，，則（）A． B． C． D．7．已知等差數列中，，，則的值為（）A．51 B．34 C．64 D．5128．已知是偶函數，且時.若時，的最大值為，最小值為，則（）A．2 B．1 C．3 D．9．P是直線x+y+2=0上任意一點，點Q在圓x-22+yA．2 B．4-2 C．4+210．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側面積（單位：cm2）為（）A．48 B．64 C．120 D．80二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數列滿足，則________.12．若直線與圓相交于，兩點，且（其中為原點），則的值為________．13．平面四邊形中,,則=_______.14．把正整數排列成如圖甲三角形數陣，然后擦去第偶數行中的奇數和第奇數行中的偶數，得到如圖乙的三角形數陣，再把圖乙中的數按從小到大的順序排成一列，得到一個數列，若，則______________．15．函數的值域是________16．如圖，在正方體中，點P是上底面（含邊界）內一動點，則三棱錐的主視圖與俯視圖的面積之比的最小值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．甲、乙兩臺機床同時加工直徑為10cm的零件，為了檢驗零件的質量，從零件中各隨機抽取6件測量，測得數據如下（單位：mm）：甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.（1）分別計算上述兩組數據的平均數和方差（2）根據（1）的計算結果，說明哪一臺機床加工的零件更符合要求.18．請你幫忙設計2010年玉樹地震災區小學的新校舍，如圖，在學校的東北力有一塊地，其中兩面是不能動的圍墻，在邊界內是不能動的一些體育設施．現準備在此建一棟教學樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地，問如何設計，才能使教學樓的面積最大？19．已知曲線上的任意一點到兩定點、距離之和為，直線交曲線于兩點，為坐標原點．（1）求曲線的方程；（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段的中點為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線過點，求面積的最大值，以及取最大值時直線的方程．20．為了解人們對某種食材營養價值的認識程度，某檔健康養生電視節目組織名營養專家和名現場觀眾各組成一個評分小組，給食材的營養價值打分（十分制）．下面是兩個小組的打分數據：第一小組第二小組（1）求第一小組數據的中位數與平均數，用這兩個數字特征中的哪一種來描述第一小組打分的情況更合適？說明你的理由．（2）你能否判斷第一小組與第二小組哪一個更像是由營養專家組成的嗎？請比較數字特征并說明理由．（3）節目組收集了烹飪該食材的加熱時間：（單位：）與其營養成分保留百分比的有關數據：食材的加熱時間（單位：）營養成分保留百分比在答題卡上畫出散點圖，求關于的線性回歸方程（系數精確到），并說明回歸方程中斜率的含義．附注：參考數據：，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．21．中，D是邊BC上的點，滿足，，.（1）求；（2）若，求BD的長.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據等差數列的前n項和公式得：，故選A.2、D【解析】

設，再利用等比數列的定義和性質逐一分析判斷每一個選項得解.【詳解】設，①,,所以數列是等比數列；②，，所以數列是等比數列；③，不是一個常數，所以數列不是等比數列；④，不是一個常數，所以數列不是等比數列.故選D【點睛】本題主要考查等比數列的判定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】

利用等差中項法得知數列為等差數列，根據已知條件可求出等差數列的首項與公差，由此可得出數列的通項公式，利用對數與指數的互化可得出數列的通項公式，并得知數列為等比數列，利用等比數列前項和公式可求出.【詳解】由可得，可知是首項為，公差為的等差數列，所以，即．由，可得，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，數列的前項和為，故選D.【點睛】本題考查利用等差中項法判斷等差數列，同時也考查了對數與指數的互化以及等比數列的求和公式，解題的關鍵在于結合已知條件確定數列的類型，并求出數列的通項公式，考查運算求解能力，屬于中等題.4、C【解析】試題分析：，設向量的夾角為，考點：向量夾角及向量的坐標運算點評：設夾角為，5、A【解析】

一元二次不等式大于零解集是，先判斷二次項系數為負，再根據根與系數關系，可求出a,b的值，代入解析式，求解不等式.【詳解】由的解集是，則故有，即.由解得或故不等式的解集是，故選：A.【點睛】對于含參數的一元二次不等式需要先判斷二次項系數的正負，再進一步求解參數.6、C【解析】由題意得，因為，所以，所以，故，故選C.7、A【解析】

根據等差數列性質;若，則即可。【詳解】因為為等差數列，所以，，所以選擇A【點睛】本題主要考查了等差數列比較重要的一個性質；在等差數列中若，則，屬于基礎題。8、B【解析】

根據函數的對稱性得到原題轉化為直接求的最大和最小值即可.【詳解】因為函數是偶函數，函數圖像關于y軸對稱，故得到時，的最大值和最小值，與時的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；根據對勾函數的單調性得到函數的最小值為，，故最大值為，此時故答案為：B.【點睛】這個題目考查了函數的奇偶性和單調性的應用，屬于基礎題。對于函數的奇偶性，主要是體現函數的對稱性，這樣可以根據對稱性得到函數在對稱區間上的函數值的關系，使得問題簡化.9、D【解析】

首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小，得到直線與圓是相離的，根據圓上的點到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑，求得結果.【詳解】因為圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+2所以直線x+y+2=0與圓(x-2)2所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，即PQmin故選D.【點睛】該題考查的是有關直線與圓的問題，涉及到的知識點有直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，圓上的點到直線的距離的最小值問題，屬于簡單題目.10、D【解析】

先還原幾何體，再根據錐體側面積公式求結果.【詳解】幾何體為一個正四棱錐，底面為邊長為8的正方體，側面為等腰三角形，底邊上的高為5，因此四棱錐的側面積為，選D.【點睛】解答此類題目的關鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據題意可求得和的等式相加，求得，進而推出，判斷出數列是以6為周期的數列，進而根據求出答案。【詳解】將以上兩式相加得數列是以6為周期的數列，故【點睛】對于遞推式的使用，我們可以嘗試讓取或，又得一個遞推式，將兩個遞推式相加或者相減來找規律，本題是一道中等難度題目。12、【解析】

首先根據題意畫出圖形，再根據求出直線的傾斜角，求斜率即可.【詳解】如圖所示直線與圓恒過定點，不妨設，因為，所以，兩種情況討論，可得，.所以斜率.故答案為：【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，同時考查了數形結合的思想，屬于簡單題.13、【解析】

先求出，再求出，再利用余弦定理求出AD得解.【詳解】依題意得中，，故．在中，由正弦定理可知，，得．在中，因為，故．則．在中，由余弦定理可知，，即．得．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.14、1028【解析】圖乙中第行有個數，第行最后的一個數為，前行共有個數，由知出現在第45行，第45行第一個數為1937，第個數為2011，所以．[來15、【解析】

利用函數的單調性，結合函數的定義域求解即可．【詳解】因為函數的定義域是，，函數是增函數，所以函數的最小值為：，最大值為：．所以函數的值域為：，．故答案為，．【點睛】本題考查函數的單調性以及函數的值域的求法，考查計算能力．16、【解析】

設正方體的棱長為，求出三棱錐的主視圖面積為定值，當與重合時，三棱錐的俯視圖面積最大，此時主視圖與俯視圖面積比值最小.【詳解】設正方體的棱長為，則三棱錐的主視圖是底面邊為，高為的三角形，其面積為，當與重合時，三棱錐的俯視圖為正方形，其面積最大，最大值為，所以，三棱錐的主視圖與俯視圖面積比的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖面積計算應用問題，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）乙機床加工的零件更符合要求.【解析】

(1)直接由平均數和方差的計算公式代入數據進行計算即可.

(2)由平均數和方差各自說明數據的特征，做出判斷.【詳解】（1），，，.（2）因為，，說明甲、乙機床加工的零件的直徑長度的平均值相同.且甲機床加工的零件的直徑長度波動比較大，

因此乙機床加工的零件更符合要求.【點睛】本題考查計算數據的平均數和方差以及根據數據的平均數和方差做出相應的判斷，屬于基礎題.18、在線段上取點，過點分別作墻的平行線，建一個長、寬都為17米的正方形，教學樓的面積最大【解析】

可建立如圖所示的平面直角坐標系，根據截距式寫出AB所在直線方程，然后可設G點的坐標為，再根據題目中的要求可列出教學樓的面積的表達式,,然后利用一元二次函數求最值即可．【詳解】解：如圖建立坐標系，可知所在直線方程為，即.設，由可知．∴.由此可知，當時，有最大值289平方米．故在線段上取點，過點分別作墻的平行線，建一個長、寬都為17米的正方形，教學樓的面積最大．【點睛】本題考查一元二次函數求最值解決實際問題，屬于中檔題19、（1）（2）證明見解析；（3）或【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．（2）設直線，設，聯立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．（3）設直線方程是與橢圓方程聯立，根據面積公式，代入根與系數的關系，利用換元和基本不等式求最值.【詳解】（1）由題意知曲線是以原點為中心，長軸在軸上的橢圓，設其標準方程為，則有，所以，∴.（2）證明：設直線的方程為，設則由可得，即∴，∴，，，∴直線的斜率與的斜率的乘積=為定值（3）點，由可得，，解得∴設當時，取得最大值.此時，即所以直線方程是【點睛】本題考查橢圓定義及方程、韋達定理的應用及三角形面積的范圍等問題，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，函數與方程思想，是中檔題．20、（1）中位數為，平均數為，中位數更適合描述第一小組打分的情況；（2）由可知第二小組的打分人員更像是由營養專家組成；（3）散點圖見解析；回歸直線為：；的含義：該食材烹飪時間每加熱多分鐘，則其營養成分大約會減少．【解析】

（1）將第一小組打分按從小到大排序，根據中位數和平均數的計算方法求得中位數和平均數；由于存在極端數據，可知中位數更適合描述第一小組打分情況；（2）分別計算兩組數據的方差，由可知第二小組打分相對集中，其更像是由營養專家組成；（3）由已知數據畫出散點圖；利用最小二乘法計算可得回歸直線；根據的含義，可確定斜率的含義.【詳解】（1）第一小組的打分從小到大可排序為：，，，，，，，則中位數為：平均數為：可發現第一小組中出現極端數據，會造成平均數偏低則由以上算得的兩個數字特征可知，選擇中位數更適合描述第一小組打分的情況．（2）第一小組：平均數為方差：第二小組：平均數：方差：可知，，第一小組的方差遠大于第二小組的方差第二小組的打分相對集中，故第二小組的打分人員更像是由營養專家組成的（3）由已知數據，得散點圖如下，，且，則關于的線性回歸方程為：回歸方程中斜率的含義：該食材烹飪時間每加熱多分鐘，則其營養成分大約會減少．【點睛】本題考查計算數據的中位數、平均數和方差、根據方差確定數據的波動性、回歸直線的求解問題；考查