課時規范練29利用導數研究函數的零點高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI20251234561.(2024·山東濟南模擬)已知函數f(x)=x3+3ax-2.(1)討論f(x)的單調性;(2)若函數f(x)只有一個零點,求實數a的取值范圍.1234561234561234562.(2024·廣東江門模擬)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,其中a≥1.(1)若a=1,求f(x)的單調區間;(2)討論函數f(x)的零點個數.123456解

(1)函數定義域為R,當a=1時,f(x)=e2x-ex-x,所以f'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1).當x<0時,f'(x)<0,當x>0時,f'(x)>0,則函數f(x)在(-∞,0)內單調遞減,在(0,+∞)內單調遞增,即函數f(x)的單調遞減區間是(-∞,0),單調遞增區間是(0,+∞).(2)當a=1時,由(1)知,f(x)min=f(0)=0,因此函數f(x)只有1個零點.當a>1時,f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),由f'(x)=0,得x=-ln

a,當x<-ln

a時,f'(x)<0,當x>-ln

a時,f'(x)>0,因此函數f(x)在(-∞,-ln

a)內單調遞減,在(-ln

a,+∞)內單調遞增,當x=-ln

a時,于是函數f(x)無零點.故當a=1時,函數f(x)有1個零點,當a>1時,函數f(x)無零點.1234563.(2024·福建寧德模擬)已知函數f(x)=ex-4sinx,其中e為自然對數的底數.(1)求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程;(2)證明:f(x)在[0,+∞)內有兩個零點.123456(1)解

因為f(x)=ex-4sin

x,所以f'(x)=ex-4cos

x,則f(0)=1,f'(0)=-3,故所求切線方程為y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.1234564.(2024·陜西渭南模擬)已知函數f(x)=xe2x-ax3(a∈R).(1)求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)當a≥16時,證明:函數f(x)在(0,+∞)內有兩個不同的零點.123456(1)解

因為f(x)=xe2x-ax3,則f'(x)=(2x+1)e2x-3ax2,所以f(1)=e2-a,f'(1)=3e2-3a,因此曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(e2-a)=(3e2-3a)(x-1),即y=3(e2-a)x-2(e2-a).123456x(0,1)1(1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘極小值e2↗1234565.(2024·遼寧錦州模擬)已知函數f(x)=x3-alnx.(1)當a=1時,求函數f(x)的極值;(2)函數f(x)在區間(1,e]上存在兩個不同的零點,求實數a的取值范圍.1234561234561234566.(2024·北京海淀模擬)已知函數f(x)=alnx+x2-(2a+1)x,其中a>0.(1)當a=1時,求函數f(x)的極小值;(2)求函數f(