2025屆山東專卷博雅聞道數學高一下期末經典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．直線l：的傾斜角為（）A． B． C． D．2．如圖是一個正四棱錐，它的俯視圖是（）A． B．C． D．3．某城市修建經濟適用房．已知甲、乙、丙三個社區分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若首批經濟適用房中有90套住房用于解決住房緊張問題，采用分層抽樣的方法決定各社區戶數，則應從乙社區中抽取低收入家庭的戶數為（）A．40 B．36 C．30 D．204．函數的最大值為（）A． B． C． D．5．已知兩個等差數列，的前項和分別為，，若對任意的正整數，都有，則等于()A．1 B． C． D．6．已知直線經過兩點，則的斜率為（）A． B． C． D．7．若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．若直線與直線關于點對稱，則直線恒過點()A． B． C． D．9．已知角α的終邊過點P(2sin60°,-2cos60°),則sinα的值為()A． B． C．- D．-10．設,,,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．為了研究問題方便,有時將余弦定理寫成:,利用這個結構解決如下問題:若三個正實數，滿足,，，則_______.12．中，，則A的取值范圍為______．13．若函數的反函數的圖象過點，則________．14．如圖，正方體中，的中點為，的中點為，為棱上一點，則異面直線與所成角的大小為__________．15．設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，下列四個命題正確的是________．①若l⊥β，則α⊥β；②若α⊥β，則l⊥m；③若l∥β，則α∥β；④若α∥β，則l∥m.16．設等差數列的前項和為，若，，則的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統計數據如表l所示：表1根據以上數據，繪制了如右圖所示的散點圖．(1)根據散點圖判斷，在推廣期內，y=a+bx與(2)根據(1)的判斷結果及表1中的數據，求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；參考數據：其中υ參考公式：對于一組數據u1,υ1,18．設數列，滿足：，，，，.（1）寫出數列的前三項；（2）證明：數列為常數列，并用表示；（3）證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式.19．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，點是的中點，點是和的交點．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．20．如圖，三棱柱中，側面為菱形，的中點為，且平面．(1)證明：；(2)若，，，試畫出二面角的平面角，并求它的余弦值．21．已知正項等比數列中，，，等差數列中，，且.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由直線的斜率，又，再求解即可.【詳解】解：由直線l：，則直線的斜率，又，所以，即直線l：的傾斜角為，故選：C.【點睛】本題考查了直線傾斜角的求法，屬基礎題.2、D【解析】

根據正四棱錐的特征直接判定即可.【詳解】正四棱錐俯視圖可以看到四條側棱與頂點,且整體呈正方形.故選：D【點睛】本題主要考查了正四棱錐的俯視圖,屬于基礎題.3、C【解析】試題分析：利用分層抽樣的比例關系,設從乙社區抽取戶，則，解得.考點：考查分層抽樣.4、D【解析】

令，根據正弦型函數的性質可得，那么，可將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題．【詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數的值域與函數的值域相同．∵函數圖象的對稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【點睛】本題考查三角函數中的恒等變換、函數的值域，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意換元法的使用，將問題轉化為二次函數的值域問題.5、B【解析】

利用等差數列的性質將化為同底的，再化簡，將分子分母配湊成前n項和的形式，再利用題干條件，計算。【詳解】∵等差數列，的前項和分別為，，對任意的正整數，都有，∴．故選B.【點睛】本題考查等差數列的性質的應用，屬于中檔題。6、A【解析】

直接代入兩點的斜率公式，計算即可得出答案。【詳解】故選A【點睛】本題考查兩點的斜率公式，屬于基礎題。7、C【解析】

根據程序框圖依次計算得到答案.【詳解】根據程序框圖依次計算得到結束故答案為C【點睛】本題考查了程序框圖，意在考查學生對于程序框圖的理解能力和計算能力.8、C【解析】

利用直線過定點可求所過的定點.【詳解】直線過定點，它關于點的對稱點為，因為關于點對稱，故直線恒過點，故選C.【點睛】一般地，若直線和直線相交，那么動直線必過定點（該定點為的交點）.9、D【解析】

利用特殊角的三角函數值得出點的坐標，然后利用正弦的定義，求得的值.【詳解】依題意可知，所以，故選D.【點睛】本小題主要考查三角函數的定義，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.10、B【解析】

根據與特殊點的比較可得因為,,,從而得到,得出答案.【詳解】解:因為,,,所以.故選:B【點睛】本題主要考查指數函數和對數函數的單調性與特殊點的問題,要熟記一些特殊點,如,,.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，利用余弦定理得出的三邊長，由此計算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點睛】本題考查余弦定理的應用，問題的關鍵在于將題中的等式轉化為余弦定理，并轉化為三角形的面積來進行計算，考查化歸與轉化思想以及數形結合思想，屬于中等題.12、【解析】

由正弦定理將sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC變為，然后用余弦定理推論可求，進而根據余弦函數的圖像性質可求得角A的取值范圍．【詳解】因為sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因為，所以．【點睛】在三角形中，已知邊和角或邊、角關系，求角或邊時，注意正弦、余弦定理的運用．條件只有角的正弦時，可用正弦定理的推論，將角化為邊．13、【解析】

由反函數的性質可得的圖象過，將代入，即可得結果.【詳解】的反函數的圖象過點，的圖象過，故答案為．【點睛】本題主要考查反函數的基本性質，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于基礎題.14、【解析】

根據題意得到直線MP運動起來構成平面，可得到面，進而得到結果.【詳解】取的中點O連接，，根據題意可得到直線MP是一條動直線，當點P變動時直線就構成了平面，因為MO均為線段的中點，故得到，四邊形為平行四邊形，面，故得到，又面，進而得到.故夾角為.故答案為.【點睛】這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內，轉化為平面角的問題；或者證明線面垂直進而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時候.15、①【解析】

由線面的平行垂直的判定和性質一一檢驗即可得解.【詳解】由平面與平面垂直的判定可知，①正確；②中，當α⊥β時，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；③中，l∥β時，α，β可以相交；④中，α∥β時，l，m也可以異面．故答案為①.【點睛】本題主要考查了線面、面面的垂直和平行位置關系的判定和性質，屬于基礎題.16、－6【解析】

由題意可得，求解即可.【詳解】因為等差數列的前項和為，，所以由等差數列的通項公式與求和公式可得解得.故答案為-6.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）y=c?dx【解析】

(1)根據散點圖判斷，y=c?dx適宜；（2）y=c?dx，兩邊同時取常用對數得：【詳解】（1）根據散點圖判斷，y=c?dx適宜作為掃碼支付的人數y關于活動推出天數（2）∵y=c?dx，兩邊同時取常用對數得：1gy=1g(c?d設1gy=v,∴v=1gc+1gd?x∵x=4,v∴lgd=把樣本中心點(4,1.54)代入v=1gc+1gd?x,得:∴v=0.54+0.25x，∴y關于x的回歸方程式：y=把x=8代入上式，y=3.47×活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470；【點睛】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關關系的變量的數據間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關系，這條直線過樣本中心點．線性回歸方程適用于具有相關關系的兩個變量，對于具有確定關系的兩個變量是不適用的,線性回歸方程得到的預測值是預測變量的估計值，不是準確值.18、（1），，（2）證明見解析,（3）證明見解析,【解析】

（1）利用遞推關系式直接求解即可.（2）由整理化簡得，從而可證出結論.（3）首先由遞推關系式證出，再由對數的運算性質以及等比數列的定義即可證出.利用【詳解】（1），，；（2）證明：，∴為常數列4，即，∴；（3），∴是以為首項，2為公比的等比數列，∴.【點睛】本題考查了由數列的遞推關系式研究數列的性質、等比數列的定義，屬于中檔題.19、(1)證明見解析；（2）.【解析】

(1)在中，利用中位線性質得到，證明平面.(2)直接利用體積公式得到答案.【詳解】在中，點是的中點，底面是正方形點為中點根據中位線性質得到，平面，故平面.(2)底面【點睛】本題考查了線面平行，三棱錐體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20、(1)見證明；(2)二面角圖見解析；【解析】

（1）由菱形的性質得出，由平面，得出，再利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于是得出；（2）過點在平面內作，垂足為點，連接，可證出平面，于是找出二面角的平面角為，并計算出的三邊邊長，利用銳角三角函數計算出，即為所求答案．【詳解】（1）連接，因為側面為菱形，所以，且與相交于點．因為平面，平面，所以．又，所以平面因為平面，所以．（2）作，垂足為，連結，因為，，，所以平面，又平面，所以.所以是二面角的平面角.因為，所以為等邊三角形，又，所以，所以.因為，所以.所以.在中，.【點睛】本題考查直線與直線垂直的證明，二面角的求解，在這些問題的處理中，主要找出一些垂直關系，二面角的求解一般有以下幾種方法：①定義法；②三垂線法；③垂面法；