五年級奧數數論與整除培訓教材

第一講數字趣題...............................

第二講分解質因數（一）.......................

第三講分解質因數（二）.......................

第四講最大公因數.......................

第五講最小公倍數（一）.......................

第六講最小公倍數（二）.......................

第一講數字趣味題

【專題導引】

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我們最常見的國際通用的阿拉伯數字（或稱為數碼）。

數是由十個數字中的一個或幾個根據位值原則排列起來，表示事物的多少或次序。

數字和數是兩個不同的概念，但它們之間有密切的聯系。這里所講的數字問題是研究

一個若干位數與其他各位數字之間的關系。數字問題可采用下面的方法：

1、根據已知條件，分析數或數字的特點，尋找其中的規律。

2、將各種可能一一列舉，排除不符合題意的部分，從中找出符合題意的結論。

3、找出數中數字之間的相差關系和倍數關系，轉化成“和倍”、“差倍”等問題。

4、條件復雜時，可將題中條件用文字式、豎式表示，然后借助文字式、豎式進行分

析推理。

【典型例題】

【例1】一個兩位數的兩個數字和是10。如果把這個兩位數的兩個數字對調位置，組成一個

新的兩位數（我們稱新數為原數的倒轉數），就比原數大72。求原來的兩位數。

【試一試】

1、一個兩位數，十位上的數字是個位上數字的3倍。如果把這兩個數字對調位置，組成一

個新的兩位數，與原數的差為54。求原數。

2、一個兩位數，十位上的數字是個位上數字的2倍。如果把這兩個數字對調位置，組成一

個新的兩位數，與原數的和為132。求原數。

【例2】把數字6寫到一個四位數的左邊，再把得到的五位數加上8000,所得的和正好是原

來四位數的35倍。原來的四位數是多少？

【試一試】

1、有一個三位數，如果把數字4寫在它的前面可得到一個四位數，寫在它的后面也能得到

一個四位數，已知這兩個四位數相差2889,求原來的三位數。

2、把數字8寫在一個三位數的前面得到一個四位數，這個四位數恰好是原三位數的21倍。

原三位數是多少？

【例3】如果一個數，將它的數字倒排后所得的數仍是這個數，我們稱這個數為對稱數。例

如22、565、1991、20702等都是對稱數。求在1,1000中共有多少個對稱數？

【試一試】

1、有一個四位數的對稱數，四位數字之和為10,十位數字比個位數字多3,求這個四位數。

2、在對稱數中，年份數1991不僅是一個稱數，而且還可以寫成兩個對稱數的積，即1991=11

X18E在1000年?2000年中除1991年外，還有哪些數既是對稱數，又可以寫成兩個或三

個對稱數的積？

【例4】一個六位數的末位數字是7,如果把7移到首位，其他五位數字順序不動，新數就

是原來數的5倍，原來的六位數是多少？

【試一試】

1、如果把數字6寫在一個數的個位數字后面，得到的新數比原數增加了6000。原數是多少？

2、有一個六位數，它的個位數字是6,如果把6移至第一位，其余數字順序不變，所得新

六位數是原數的4倍。原六位數是多少？

【例5】某地區的郵政編碼可用AABCCD表示，已知這六個數字的和是11,A與D的和乘以A

等于B,D是最小的非零自然數，這個郵政編碼是多少？

【試一試】

1、一個三位數，個位上的數字是十位上數字的4倍，十位上的數字是百位上數字的2倍。

這個三位數必定是多少？

2、有一個六位數，其中右邊三個數字的和恰好等于末尾的兩位數。求這個六位數。

課外作業

家長簽名：__________

1、有一些兩位整數，所有數字和是4,這樣的兩位整數一共有幾個？

2、498與7的數字之和是28,那么它們和的數字之和是多少？你發現什么規律？

3、一個兩位數，十位上的數字比個位上數字少2。如果把這兩個數的個位與十位上的數字

對調，所得的新兩位數與原數和是154o求原數。

4、有一個三位數，它的個位數字是3,如果把3移到百位，其余兩位依次改變，所得的新

數與原數相差171。求原來的三位數。

5、在五位數中，既是對稱數，又可以寫成兩個對稱數的積的最小的數是多少？

6、在一個兩位數的兩個數字中間加一個0,那么，所得的三位數比原數大6倍。求這個兩

位數.

*7、求各位上數字之和等于34的最小的四位數。

第二講分解質因數（一）

【專題導引】

一個自然數的因數中，為質數的因數叫做這個數的質因數。

把一個合數，用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例如：24=2X2X2X3,

75=3X5X5。

我們數學課本上介紹的分解質因數，是為求最大公因數、最小公倍數服務的。其實，

把一個數分解成質因數相乘的形式，能啟發我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。

【典型例題】

【例1】把18個蘋果平均分成若干份，每份大于1個，小于18個。一共有多少種不同的分

法？

【試一試】

1、有60個同學分成人數相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人，不多于15人,

有哪幾種分法？

2、195個同學排成長方形隊伍做早操，行數和列數都大于1,共有幾種排法？

【例2】寫出若干個連續的自然數，使它的積是15120。

【試一試】

1、有一個長方體，它的長、寬、高是三個連續的自然數，且體積是39270立方厘米，求這

個長方體的表面積。

2、有4個孩子，恰好一個比一個大1歲，4人的年齡積是3024,問這4個孩子中最大的幾

歲？

【例3］將下面八個數平均分成兩組，使這兩組數的乘積相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

【試一試】

1、有三個自然數a、b、c,已知aXb=30,bXc=35,cXa=42,求aXbXc的積是多少？

2、把40、44、45、63、65、78、99、105這八個數平均分成兩組，使兩組四個數的乘積相

等。

【例4】王老師帶領一班同學去植樹，學生恰好分成4組，如果王老師和學生每人植樹一樣

多，那么他們一共植了539棵。這個班有多少個學生？每人植樹多少棵？

【試一試】

1、3月12日是植樹節，李老師帶領同學排成兩路人數相等的縱隊去植樹，已知李老師和同

學們每人植樹的棵數相等，一共植了111棵樹，求有多少個同學？

2、小青去看電影，他買的票的排數與座位號數的積是391,而且排數比座位號數大6,小青

買的電影票是幾排幾座？

【*例5］下面的算式里，口里數字各不相同，求這四個數字的和。

□□xnn=i995

【*試一試】

1、在下面算式的框內，各填入一個數字，使算式成立。

□□□XD=1995

2、下面四張小紙片各蓋住一個數字，如果這四個數字是連續的偶數，請寫出這個完整的算

式。

□□義口口=1288

課外作業

家長簽名：__________

1、100以內的質數有哪些？

2、54+()=()……4,在括號內填入適當的數，使等式成立，共有幾種不同的填

法？

3、甲數比乙數大9,兩個數的積是792,求甲、乙兩數分別是多少？

4、四個連續奇數的積是19305,這四個奇數各是多少？

5、把30、33、42、52、65、66、67、78、105九個數分成三組，使每個組的數的乘積相等,

寫出這三組數。

6、把一籃蘋果分給4人，使四人的蘋果數一個比一個多2,且他們的蘋果個數之積是1920,

這籃蘋果共有幾個？

*7、在下面算式里，四個小紙片各蓋住一個數字，被蓋住的四個數字總和是多少？

□□

乂門□

1653

第三講分解質因數（二）

【專題導引】

許多題目，特別是一些競賽題，初看起來很玄妙，但它們都與乘積有關，對于這類題

目，我們可以用分解質因數的方法來解。因此，掌握并靈活應用分解質因數的知識，能解答

許多一般方法不能解答的與積有關的應用題。

【典型例題】

【例1】三個質數的和是80,這三個數的積最大可以是多少？

【試一試】

1、如果A+B=70,AXB-1161,那么A-B等于多少？

1、把1、2、3、4、5、6、7、8、9九張卡片分給甲、乙、丙三人，每人各3張。甲說：“我

的三個數的積是48。”乙說：“我的三個數的和是16。”丙說：“我的三個數的積是63。”

問甲、乙、丙各拿了哪幾張卡片？

【例2】一個兩位數除310余37,這個數可以是（）或（

【試一試】

1、237除以一個兩位數，所得的余數是6,請寫出適合于這個條件的所有兩位數。

2、5100除以一個三位數，余數是95,這個三位數最大是多少？

【例3】某班同學在班主任老師帶領下去種樹，學生恰好平均分成三組，如果師生每人種樹

一樣多，一共種了1073棵。那么，平均每人種了多少棵？

【試一試】

1、一個長方體的長、寬、高是三個連續的自然數。已知這個長方體的體積是9240立方厘米,

那么，這個長方體的表面積是多少？

2、老師用216元買一種鋼筆若干支，如果每支鋼筆便宜1元錢，那么他就能多買3支。問:

每支鋼筆原價多少元？

.1554221小八

【例4】把——和——約分。

186187

【試一試】

把下面的幾個分數約分。

K竺143

2、

69T17

【*例5】小明用2.16元買了一種畫片若干張，如果每張畫片的價錢便宜1分錢，那么他

還能多買3張。問小明買了多少張畫片？

[*試一試]

1、求2310的約數中，除它本身以外最大的約數是多少？

2、自然數a乘以2376,所得的積正好是自然數b的平方。求a最小是多少？

課外作業

家長簽名：__________

1、在下面括號內填上15以內適當的質數。

10=()+()=()X()=()-()

2、如果AXB=50,它們的和最大是多少？

3、長方形的面積是375平方米，已知它的寬比長少10米，長和寬的和是多少米?

4、有一塊長方形的場地，它是由319塊1平方分米的水泥方磚鋪成的，求這塊長方形場地

的周長。

5、王老師帶同學們擦玻璃，同學們恰好平均分成3組。如果師生每人擦的塊數同樣多，一

共擦111塊，那么，平均每人擦了多少塊？

6、把下面的幾個分數約分。

247161

(1)(2)

323253

*7、將750元獎金平均分給若干個獲獎者，如果每人所得的錢數化成角為單位的數就正好

是得錢人數的12倍。求獲獎人數和每人分得的錢數。

第四講最大公因數

【專題導引】

幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個公因數叫做這幾個數的最

大公因數。我們可以把自然數a、b的最大公因數記作（a、b）,如果（a、b）=1,則a和b

互質。

求幾個數的最大公因數可以用分解質因數法和短除法等方法。

【典型例題】

【例1】一張長方形的紙，長7分米5厘米、寬6分米。現在要把它裁成一塊塊正方形，而

且正方形長為整厘米數，有幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？

【試一試】

1、把1米3分5厘米長、1米5厘米寬的長方形紙，裁成同樣大小的正方形，至少能裁多

少塊？

2、一塊長45厘米、寬30厘米的長方形木板，把它鋸成若干塊正方形而無剩余，所鋸成的

正方形的邊長最長是多少厘米？

【例2】一個長方體木塊，長2.7米，寬1.8分米、高1.5分米。要把它切成大小相等的正

方體木塊，不許有剩余，正方體的棱長最大是多少分米？

【試一試】

1、一個長方體木塊的長是4分米5厘米、寬3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成

大小相等的正方體木塊，不許有剩余，求所切正方體木塊的棱長最長是多少厘米？

2、有50個梨，75個橘子和100個蘋果，要把這些水果平均分給幾個小組，并且每個小組

分得的三種水果的個數也相同，最多可以分給幾個小組？

【例3】一個數除200余4；除300余6；除500余10。求這個數最大是多少？

【試一試】

1、一個數除150余6,除250余10,除350余14,這個數最大是多少？

2、如果把110塊糖平均分給五（1）班的同學，則多5塊；如果把210塊糖果平均分給這個

班同學正好分完；如果把240塊糖果平均分給這班同學，還少5塊。五（1）班最多有多少

名同學？

【例4】一條道路由甲村經過乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙兩村相距675

米。現在準備在路邊栽樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，并在甲、乙兩村和乙、丙兩村的

中點都要種上樹，求相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米？

【試一試】

1、一條公路由A經B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。現在路邊植樹，要求

相鄰兩樹間的距離相等，并在B點及AB、BC的中點上都要植一棵，那么兩樹間的距離最多

有多少米？

2、有336支鉛筆，252塊橡皮，210個文具盒，用這些文具，最多可以分成多少份同樣的禮

物？在每份禮物中，鉛筆、橡皮、文具盒各有多少？

【*例5】用一張長1072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最

后沒有剩余，這些正方形的邊長最長是多少？

[*試一試]

1、用輾轉相除法求568和1065的最大公因數。

2、試用輾轉相除法判斷1547與3135是否互質。

課外作業

家長簽名：__________

1、分數當中分子和分母的最大公因數是_____________。

324—

2、把長90厘米，寬42厘米的長方形鐵片剪成長是整厘米，面積都相等的正方形鐵片，恰

無剩余，則至少剪多少塊？

3、將一塊長80米、寬60米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形。問：小正方形的面

積最大是多少？

4、有3根鋼管，它們的長度分別是240厘米、200厘米及480厘米，如果把它們截成同樣

長的小段，且不許有剩余，每小段最長可以是多少厘米？

5、工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王師傅比其他工人多加工若干個外，其他

工人加工的都同樣多。已知他們第一批共加工2100個，其中王師傅比每個工人多加工7個;

每二批加工1800個，其中王師傅比每個工人多加工6個；第三批加工1600個，其中王師傅

比每個工人多加工13個。這批工人最多有多少人？

6、甲數是36,甲、乙兩數的最小公倍數是288,最大公因數是4,乙數是多少？

7、判斷!皿是不是最簡分數。

15015

第五講最小公倍數（一）

【專題導引】

幾個數公有的倍數叫做公倍數，其中最小的一個公倍數，叫做這幾個數的最小公倍數。

自然數a、b的最小公倍數可以記作[a、b],當（a、b）=1時。[a、b]=aXb。兩個數的最

大公因數和最小公倍數有著下列關系：

最大公因數X最小公倍數=兩數的乘積

即（a、b）X[a、b]=aXb

要解答求最小公倍數的問題，關鍵要根據題目中的已知條件，對問題作全面的分析，

若要求的數對已知條件來說，是處于被除數的地位，通常就是求最小公倍數，解題時要避免

和最大公因數問題混淆。

【預備思考1]“[:]”表示求最小公倍數，氣）”表示求最大公因數。

求：（9,3）=[9,3]=

（31,62）=[31,62]=

【預備思考題2]有一包糖果，如果平均分給8個小朋友，正好分完，如果平均分給10個

小朋友，也正好分完。這包糖果至少有多少粒？

【典型例題】

【例1】兩個數的最大公因數是15,最小公倍數是90,求這兩個數分別是多少？

【試一試】

1、兩個數的最大公因數是9,最小公倍數是90,求這兩個數分別是多少？

2、兩個數的最大公因數是12,最小公倍數是60,求這兩個數的和是多少？

【例2】兩個自然數的積是360,最小公倍數是120,這兩個數各是多少？

【試一試】

1、求36和24的最大公因數和最小公倍數的乘積。

2、已知兩數的積是3072,最大公因數是16,求這兩個數。

【例3】甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數到圖書館去一次，甲3天去一次，乙4

天去一次，丙5天去一次。有一天，他們三人恰好在圖書館相會。問至少再過多少天他們三

人又在圖書館相會？

【試一試】

1、1路、2路和5路車都從東站發車，1路車每隔10分鐘發一輛，2路車每隔15分鐘發一

輛，而5路車每隔20分鐘發一輛。當這三種路線的車同時發車后，至少要過多少分鐘又有

這三種路線的車同時發車？

2、甲、乙、丙從同一起點出發沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一

圈用80秒，丙跑一圈用100秒，問：再過多少時間三人第二次同時從起點出發？

【例4】一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少

塊？

【試一試】

1、用長9厘米、寬6厘米、高7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要用這樣的長

方體多少塊？

2、有200塊長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，要把這些木塊堆成一個盡可能

大的正方體，這個正方體的體積是多少立方厘米？

【*例5】甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環形跑道從同一

點同時同方向跑步，經過多少時間三人又同時從出發點出發？

【*試一試】

1、有一條長400米的環形跑道，甲、乙二人同時同地出發，反向而行，1分鐘后第一次相

遇；若二人同時同地出發，同向而行，則10分鐘后第一次相遇。己知甲比乙快，求二人的

速度。

2、一環形跑道長240米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒行8米，乙每秒行

6米，丙每秒行5米。至少經幾分鐘三人再次從原出發點同時出發？

課外作業

家長簽名：__________

1、17和7的最小公倍數與最大公因數之和是。

2、用長10厘米，寬6厘米的長方形地板磚鋪出一個正方形，至少要用多少塊?

3、兩個自然數的和是52,它們的最大公因數是4,最小公倍數是144。這兩個數各是多少？

4、已知兩個數的最小公倍數是210,它們的積是1260,它們的和是72,求這兩個數的差。

5、五年級一班的同學每周一都要去看軍屬張爺爺，二班的同學每6天去看一次，三班的同

學每兩周去看一次。如果“六一”兒童節三個班的同學同一天去看張爺爺，那么，再過多少

天他們三個班的同學再次同一天去張爺爺家？

6、一個長方體長2.7米、寬1.8米、高1.5米，要把它切成大小相等的正方體小塊，不許

有剩余，這些小正方體的棱長最多是多少分米？

*7、甲、乙、丙三人在一條長240米的跑道上來回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米,

丙每秒跑3米。若三人同時從一端出發，再經過多少時間三人又從此處同時出發？

第六講最小公倍數（二）

【專題導引】

最小公倍數的應用題，解題方法比較獨特。當有些題中所求的數不正好是己知數的最

小公倍數時，我們可以通過“增加一部分”或“減少一部分”的方法，使問題轉換成已知數

的最小公倍數，從而求出結果。

【預備思考題1】有一個自然數，被8除余5,被5除余2,這個自然數最小是多少？

【預備思考題2】一袋糖，平均分給7個小朋友或8個小朋友后，最后都余下5塊，這袋糖

至少有多少塊？

【典型例題】

【例1】有一個自然數，被10除余7,被7除余4,被4除余1。這個自然數最小是多少？

【試一試】

1、學校六年級有若干個同學排隊做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行

也余2人。那么六年級最少有多少人？

2、一個數能被3、5、7整除，但被11除余1。這個數最小是多少？

【例2】有一批水果，總數在1000個以內，如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每

28個裝一箱，最后一箱還差2個；如果每32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共

有多少個？

【試一試】

1、一所學校的同學排隊做操，排成14行、16行、18行都正好能成長方形。這所學校至少

有多少人？

2、有一批乒乓球，總數在1000個以內，4個裝一袋，5個裝一袋或6個、7個、8個裝一袋

最后都剩下一個。這批乒乓球到底有多少個？

【例3】一盒圍棋子，4顆4顆數多3顆，6顆6顆數多5顆，15顆15顆數多14顆，這盒

棋子在150至200顆之間，問共有多少顆？

【試一試】

1、有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。這批樹苗數在150?

200之間。求共有多少棵樹苗？

2、五（1）班的五十多位同學去大掃除，平均分成4組多2人，平均分成5組多3人。請你

算一算，五（1）班有多少位同學？

【例4］從學校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來每兩根電線桿之間相距

50米，現在要改成每兩根之間相距60米，除兩端兩根不需移動外，中途還有多少根不必移

動？

【試一試】

1、插一排紅旗共26面。原來每兩面之間的距離是4米，現在改為