安徽省安慶市大觀區第一中學2025屆數學高一下期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330C．220 D．1102．在銳角三角形中，，，分別為內角，，的對邊，已知，，，則的面積為（）A． B． C． D．3．某種產品的廣告費支出x與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下對應數據：x24568y3040t5070根據上表提供的數據，求出y關于x的回歸直線方程為y=6.5x+17.5，則tA．40 B．50 C．60 D．704．對于一個給定的數列，定義：若，稱數列為數列的一階差分數列；若，稱數列為數列的二階差分數列．若數列的二階差分數列的所有項都等于，且，則（）A．2018 B．1009 C．1000 D．5005．已知集合，，則（）A． B． C． D．6．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，，，點滿足，記，，，則的大小關系為()A． B．C． D．8．不等式的解集是A． B．C．或 D．9．已知平面向量，，，，且，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．10．以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的標準方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．圓與圓的公共弦長為______________。12．對于數列，若存在，使得，則刪去，依此操作，直到所得到的數列沒有相同項，將最后得到的數列稱為原數列的“基數列”.若，則數列的“基數列”的項數為__________________．13．方程的解集是______.14．已知，，若，則______．15．已知等差數列滿足，則__________．16．若數列是等差數列，則數列也為等差數列，類比上述性質，相應地，若正項數列是等比數列，則數列_________也是等比數列.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某科研小組對冬季晝夜溫差大小與某反季節作物種子發芽多少之間的關系進行分析，分別記錄了每天晝夜溫差和每100顆種子的發芽數，其中5天的數據如下，該小組的研究方案是：先從這5組數據中選取3組求線性回歸方程，再用方程對其余的2組數據進行檢驗.日期第1天第2天第3天第4天第5天溫度（℃）101113128發芽數（顆）2326322616（1）求余下的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；（2）若選取的是第2、3、4天的數據，求關于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與2組檢驗數據的誤差均不超過1顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，請問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？（參考公式；線性回歸方程中系數計算公式：，，其中、表示樣本的平均值）18．數列的前n項和滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）若數列為等差數列，且，求數列的前n項.19．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當為何值時，PB⊥AC？20．向量，，，函數．（1）求的表達式，并在直角坐標中畫出函數在區間上的草圖；（2）若方程在上有兩個根、，求的取值范圍及的值．21．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面底面ABCD，已知，為正三角形．（1）證明．（2）若，，求二面角的大小的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由題意得，數列如下：則該數列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數列的部分和，設，所以，則，此時，所以對應滿足條件的最小整數，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數列的特征，進而判斷出該數列的通項和求和.另外，本題的難點在于數列里面套數列，第一個數列的和又作為下一個數列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數列中，需要進行判斷.2、D【解析】由結合題意可得：，故，△ABC為銳角三角形，則，由題意結合三角函數的性質有：，則：，即：，則，由正弦定理有：，故.本題選擇D選項.點睛：在解決三角形問題中，求解角度值一般應用余弦定理，因為余弦定理在內具有單調性，求解面積常用面積公式，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯系起來.3、C【解析】分析：由題意，求得這組熟記的樣本中心(x詳解：由題意，根據表中的數據可得x=2+4+5+6+85把(x,y)代入回歸直線的方程，得點睛：本題主要考查了回歸分析的初步應用，其中熟記回歸直線的基本特征——回歸直線方程經過樣本中心點是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.4、C【解析】

根據題目給出的定義，分析出其數列的特點為等差數列，利用等差數列求解.【詳解】依題意知是公差為的等差數列，設其首項為，則，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．選C.【點睛】本題考查新定義數列和等差數列，屬于難度題.5、A【解析】

先分別求出集合，，由此能求出．【詳解】集合，，1，，或，，，．故選：．【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．6、D【解析】

根據任意角三角函數定義可求得；根據誘導公式可將所求式子化為，代入求得結果.【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查任意角三角函數值的求解、利用誘導公式化簡求值問題；關鍵是能夠通過角的終邊上的點求得角的三角函數值.7、C【解析】

可建立合適坐標系，表示出a,b,c的大小，運用作差法比較大小.【詳解】以為圓心，以所在直線為軸、軸建立坐標系，則，，，設，則，，，，，，，，故選C.【點睛】本題主要考查學生的建模能力，意在考查學生的理解能力及分析能力，難度中等.8、B【解析】試題分析：∵，∴，即，∴不等式的解集為．考點：分式不等式轉化為一元二次不等式．9、B【解析】

根據可得到：，由此求得；利用向量夾角的求解方法可求得結果.【詳解】由題意知：，則設向量與向量的夾角為則本題正確選項：【點睛】本題考查向量夾角的求解，關鍵是能夠通過平方運算將模長轉變為向量的數量積，從而得到向量的位置關系.10、D【解析】分析：由條件求出圓心坐標和半徑的值，從而得出結論．詳解：圓心坐標為(1,2)，半徑r＝＝5，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.故選D.點睛：本題主要考查求圓的標準方程的方法，求出圓心坐標和半徑的值，是解題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用兩圓一般方程求兩圓公共弦方程，求其中一圓到公共弦的距離，利用直線被圓截得的弦長公式可得所求.【詳解】由兩圓方程相減得兩圓公共弦方程為，即，圓化為，圓心到直線的距離為1，所以兩圓公共弦長為，故答案為.【點睛】本題考查兩圓位置關系，直線與圓的位置關系，考查運算能力，屬于基本題.12、10【解析】

由題意可得,只需計算所有可能取值的個數即可.【詳解】因為求的可能取值個數,由周期性,故只需考慮的情況即可.此時.一共19個取值,故只需分析,又由,故,,即不同的取值個數一共為個.即“基數列”分別為和共10項.故答案為10【點睛】本題主要考查余弦函數的周期性.注意到隨著的增大的值周期變化,故只需考慮一個周期內的情況.13、或【解析】

根據三角函數的性質求解即可【詳解】，如圖所示：則故答案為：或【點睛】本題考查由三角函數值求解對應自變量取值范圍，結合圖形求解能夠避免錯解，屬于基礎題14、【解析】

首先令，分別把解出來，再利用整體換元的思想即可解決．【詳解】令所以令，所以所以【點睛】本題主要考查了整體換元的思想以及對數之間的運算和公式法解一元二次方程．整體換元的思想是高中的一個重點，也是高考常考的內容需重點掌握．15、【解析】

由等差數列的性質計算．【詳解】∵是等差數列，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查等差數列的性質，屬于基礎題．等差數列的性質如下：在等差數列中，，則．16、【解析】

利用類比推理分析，若數列是各項均為正數的等比數列，則當時，數列也是等比數列．【詳解】由數列是等差數列，則當時，數列也是等差數列．類比上述性質，若數列是各項均為正數的等比數列，則當時，數列也是等比數列．故答案為：【點睛】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）線性回歸方程是可靠的.【解析】

（1）用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值；（2）由已知數據求得與，則線性回歸方程可求；（3）利用回歸方程計算與8時的值，再由已知數據作差取絕對值，與1比較大小得結論．【詳解】解：（1）設“余下的2組數據恰好是不相鄰2天數據為事件”，從5組數據中選取3組數據，余下的2組數據共10種情況：，，，，，，，，，．其中事件的有6種，；（2）由數據求得，，且，．代入公式得：，．線性回歸方程為：；（3）當時，，，當時，，．故得到的線性回歸方程是可靠的．【點睛】本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，考查古典概型的概率計算問題，屬于中檔題．18、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用與的關系，即要注意對進行討論，再根據等比數列的定義，證明為常數；（2）利用錯位相減法對數列進行求和.【詳解】解（1）當時，，所以因為①，所以當時，②，①-②得，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，，所以，因為，所以，設的公差為，則，所以所以，，所以，則，以上兩式相減得：，所以.【點睛】數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和可采用錯位相減法求和，注意求和后要保證常數的準確性.19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

1）連結BD交AC于O，連結EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設N為AD中點，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【詳解】（1）連結BD交AC于O，連結EO,因為O，E分別為BD.PD的中點,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設N為AD中點，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當時，PB⊥AC．【點睛】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問題找異面直線垂直，第三問難度較大，需要把異面直線垂直轉化為射影垂直，即共面垂直問題．20、（1），見解析（2）或，或．【解析】

（1）根據數量積的坐標表示，二倍角公式，輔助角公式即可求出的表達式，再根據五點作圖法或者平移法即可作出其在上的草圖；（2）依題意知，函數在上的圖象與直線有兩個交點，根據數形結合，即可求出的取值范圍及的值．【詳解】（1）依題知，．將正弦函數的圖象向右平移個單位，再將各點的橫坐標變為原來的，即可得到的圖象，截取的部分即得，如圖所示：（2）依題可知，函數在上的圖象與直線有兩個交點，根據數形結合，可知，或，當時，兩交點關于直線對稱，所以；當時，兩交點關于直線對稱，所以．故或，或．【點睛】本題主要考查數量積的坐標表示，二倍角公式，輔助角公式的應用，正弦型函數圖象的畫法，以及方程的根與兩函數圖象交點的個數關系的應用，意在考查學生的數學運算能力，數形結合能力，以及轉化能力，屬于中檔題．21、（1）證明見解析．（2）二面角的余弦值為．【解析】

（1）作于點，連接，根據面面垂直性質可得底面ABCD，由三角形全等性質可得，進而根據線面垂直判定定理證明平面，即可證明.（2）根據所給角度和線段關系，可證明以均為等邊